Гидродинамическая устойчивость

Простая схема перехода от устойчивого течения к турбулентному. а) устойчивый, б) турбулентный

В гидродинамике , гидродинамическая устойчивость это область которая анализирует устойчивость и возникновение нестабильности потоков жидкости — . Изучение гидродинамической устойчивости направлено на то, чтобы выяснить, является ли данный поток устойчивым или неустойчивым, и если да, то как эти неустойчивости вызовут развитие турбулентности . Основы гидродинамической устойчивости, как теоретической, так и экспериментальной, были заложены, в первую очередь, Гельмгольцем , Кельвином , Рэлеем и Рейнольдсом в девятнадцатом веке. Эти фонды дали много полезных инструментов для изучения гидродинамической устойчивости. К ним относятся число Рейнольдса , уравнения Эйлера и уравнения Навье-Стокса . При изучении устойчивости потока полезно понимать более упрощенные системы, например, несжимаемые и невязкие жидкости, которые затем можно развивать в более сложных потоках. С 1980-х годов для моделирования и анализа более сложных потоков используется больше вычислительных методов.

Стабильные и нестабильные потоки

Чтобы различать различные состояния потока жидкости, необходимо учитывать, как жидкость реагирует на возмущение в исходном состоянии. Эти возмущения будут относиться к начальным свойствам системы, таким как скорость , давление и плотность . Джеймс Клерк Максвелл прекрасно выразил качественную концепцию стабильного и нестабильного потока, сказав:

«Когда бесконечно малое изменение настоящего состояния лишь на бесконечно малую величину изменит состояние в какой-то будущий момент, состояние системы, будь то в покое или в движении, называется устойчивым, но когда бесконечно малое изменение в текущее состояние может вызвать конечную разницу в состоянии системы за конечное время, о системе говорят, что она неустойчива».

Это означает, что при устойчивом течении любое бесконечно малое изменение, считающееся возмущением, не окажет заметного влияния на начальное состояние системы и со временем затухнет. Чтобы поток жидкости считался стабильным, он должен быть устойчив по отношению ко всем возможным возмущениям. Это означает, что не существует режима возмущения, при котором оно было бы неустойчиво.

С другой стороны, для неустойчивого течения любые изменения будут иметь заметное влияние на состояние системы, что затем приведет к увеличению амплитуды возмущения таким образом, что система постепенно отойдет от исходного состояния и никогда не вернется в исходное состояние. это. Это означает, что существует по крайней мере один вид возмущения, по отношению к которому поток неустойчив, и поэтому возмущение будет искажать существующее силовое равновесие.

Определение стабильности потока

Число Рейнольдса

Ключевым инструментом, используемым для определения стабильности потока, является число Рейнольдса (Re), впервые предложенное Джорджем Габриэлем Стоксом в начале 1850-х годов. Это безразмерное число , связанное с Осборном Рейнольдсом , который развил эту идею в начале 1880-х годов, дает соотношение инерционных и вязких членов. В физическом смысле это число представляет собой соотношение сил, обусловленных импульсом жидкости (инерционные члены), и сил, возникающих в результате относительного движения различных слоев текущей жидкости (вязкие члены). Уравнение для этого $$R_{e}={\frac {\text{inertial}}{\text{viscous}}}={\frac {\rho u^{2}}{\frac {\mu u}{L}}}={\frac {\rho uL}{\mu }}={\frac {uL}{\nu }}$$ где

• $\rho$ плотность
• $u$ скорость потока жидкости
• $\mu$ - динамическая вязкость, т. е. мера сопротивления жидкости сдвиговым потокам.
• $L$ - характерная длина системы
• $\nu ={\frac {\mu }{\rho }}$ кинематическая вязкость – она измеряет отношение динамической вязкости к плотности жидкости.

Число Рейнольдса полезно, поскольку оно может указать точки отсечки, когда поток стабилен или нестабильен, а именно критическое число Рейнольдса. $R_{c}$. По мере его увеличения амплитуда возмущения, которое может привести к нестабильности, уменьшается. Принято считать, что при высоких числах Рейнольдса потоки жидкости будут нестабильными. Высокого числа Рейнольдса можно достичь несколькими способами, например, если $\mu$ небольшое значение или если $\rho$ и ${\text{u}}$ являются высокими ценностями. Это означает, что практически сразу возникнут неустойчивости и течение станет неустойчивым или турбулентным.

Уравнение Навье–Стокса и уравнение неразрывности

Чтобы аналитически найти устойчивость потоков жидкости, полезно отметить, что гидродинамическая устойчивость имеет много общего со устойчивостью в других областях, таких как магнитогидродинамика , физика плазмы и упругость ; хотя физика в каждом случае различна, математика и используемые методы схожи. Основная задача моделируется нелинейными уравнениями в частных производных устойчивость известных стационарных и нестационарных решений. и исследуется Основными уравнениями почти всех задач гидродинамической устойчивости являются уравнение Навье – Стокса и уравнение неразрывности . Уравнение Навье – Стокса имеет вид: $${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} -\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} =-\nabla p_{0}+\mathbf {b} ,$$

где

• $\mathbf {u}$ поле скоростей жидкости
• $p_{0}$ это давление жидкости
• $\mathbf {b}$ это объемная сила, действующая на жидкость, например гравитация
• $\nu$ кинематическая вязкость
• ${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}$ частная производная поля скорости по времени
• $\nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)$ это оператор градиента

Здесь $\nabla$ используется как оператор , действующий на поле скорости в левой части уравнения, а затем воздействующий на давление в правой части.

а уравнение непрерывности имеет вид: $${\frac {D\mathbf {\rho } }{Dt}}+\rho \,\nabla \cdot \mathbf {u} =0$$ где ${\frac {D\mathbf {\rho } }{Dt}}$ – материальная производная плотности.

Снова $\nabla$ используется в качестве оператора на $\mathbf {u}$ и рассчитывает дивергенцию скорости.

Но если рассматриваемая жидкость несжимаема , а значит, плотность постоянна, то ${\frac {D{\boldsymbol {\rho }}}{Dt}}=0$ и следовательно: $$\nabla \cdot \mathbf {u} =0$$

Предположение о несжимаемости потока является правильным и применимо к большинству жидкостей, движущихся с любой скоростью. Именно предположения такой формы помогут упростить уравнение Навье – Стокса до дифференциальных уравнений, таких как уравнение Эйлера, с которыми легче работать.

Уравнение Эйлера

Если рассматривать невязкий поток, в котором вязкие силы малы и поэтому ими можно пренебречь в расчетах, то можно прийти к уравнениям Эйлера : $${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} =-\nabla p_{0}$$

Хотя в данном случае мы предполагали невязкую жидкость, это предположение не выполняется для течений с границей. Наличие границы вызывает некоторую вязкость в пограничном слое , которой нельзя пренебречь, и мы возвращаемся к уравнению Навье – Стокса. Поиск решений этих основных уравнений при различных обстоятельствах и определение их устойчивости является фундаментальным принципом определения устойчивости самого потока жидкости.

Анализ линейной устойчивости

Чтобы определить, является ли течение устойчивым или неустойчивым, часто используют метод анализа линейной устойчивости. В этом типе анализа основные уравнения и граничные условия линеаризуются. Это основано на том факте, что понятие «стабильного» или «нестабильного» основано на бесконечно малом возмущении. Для таких возмущений разумно предположить, что возмущения разных длин волн развиваются независимо. (Нелинейное основное уравнение позволит возмущениям с разными длинами волн взаимодействовать друг с другом.)

Анализ стабильности потока

См. Также: уравнение Орра – Зоммерфельда и уравнение Рэлея.

Теория бифуркации

Теория бифуркаций — полезный способ изучения устойчивости данного потока с учетом изменений, происходящих в структуре данной системы. Гидродинамическая устойчивость – это серия дифференциальных уравнений и их решений. Бифуркация возникает, когда небольшое изменение параметров системы вызывает качественное изменение ее поведения. Параметром, который изменяется в случае гидродинамической устойчивости, является число Рейнольдса. Можно показать, что возникновение бифуркаций соответствует возникновению неустойчивостей.

Лабораторные и вычислительные эксперименты

Лабораторные эксперименты — очень полезный способ получить информацию о данном потоке без использования более сложных математических методов. Иногда физическое наблюдение за изменением потока во времени столь же полезно, как и численный подход, и любые результаты этих экспериментов можно связать с основной теорией. Экспериментальный анализ также полезен, поскольку он позволяет очень легко варьировать определяющие параметры, и их эффекты будут видны.

При работе с более сложными математическими теориями, такими как теория бифуркаций и слабо нелинейная теория, численное решение таких задач становится очень сложным и трудоемким, но с помощью компьютеров этот процесс становится намного проще и быстрее. С 1980-х годов вычислительный анализ становится все более полезным, улучшение алгоритмов, которые могут решать основные уравнения, такие как уравнение Навье – Стокса, означает, что их можно более точно интегрировать для различных типов потока.

Приложения

Неустойчивость Кельвина – Гельмгольца

Это изображение, сделанное в Сан-Франциско, на котором показан узор, похожий на «океанскую волну», связанный с нестабильностью Кельвина-Гельмгольца, формирующейся в облаках.

Неустойчивость Кельвина -Гельмгольца (KHI) — это применение гидродинамической устойчивости, которое можно наблюдать в природе. Это происходит, когда две жидкости текут с разными скоростями. Разница в скорости жидкостей вызывает сдвиговую скорость на границе двух слоев. Скорость сдвига одной движущейся жидкости вызывает напряжение сдвига в другой, которое, если оно превышает сдерживающее поверхностное натяжение , приводит к нестабильности на границе раздела между ними. Это движение вызывает появление серии опрокидывающихся океанских волн, характерных для неустойчивости Кельвина – Гельмгольца. Действительно, кажущаяся волнообразная природа океана является примером образования вихрей , которые образуются, когда жидкость вращается вокруг некоторой оси, и часто связаны с этим явлением.

Нестабильность Кельвина-Гельмгольца можно увидеть в полосах атмосфер планет, таких как Сатурн и Юпитер , например, в гигантском вихре красного пятна. В атмосфере, окружающей гигантское красное пятно, находится крупнейший из известных примеров KHI, вызванный сдвиговой силой на границе различных слоев атмосферы Юпитера. Было сделано много изображений, на которых четко видны характеристики океанских волн, обсуждавшиеся ранее, с видимыми до 4 слоев сдвига.

Метеорологические спутники используют эту нестабильность для измерения скорости ветра над большими водоемами. Волны генерируются ветром, который рассекает воду на границе между ней и окружающим воздухом. Компьютеры на борту спутников определяют волнение океана, измеряя высоту волн. Это делается с помощью радара , где радиосигнал передается на поверхность и регистрируется задержка отраженного сигнала, известная как «время полета». Благодаря этому метеорологи могут понять движение облаков и ожидаемую турбулентность воздуха вблизи них.

Нестабильность Рэлея – Тейлора

Это двумерная модель неустойчивости Рэлея – Тейлора, возникающей между двумя жидкостями. В этой модели красная жидкость — сначала сверху, а затем снизу — представляет собой более плотную жидкость, а синяя жидкость представляет собой менее плотную.

Неустойчивость Рэлея -Тейлора является еще одним применением гидродинамической устойчивости и также возникает между двумя жидкостями, но на этот раз плотности жидкостей различны. Из-за разницы плотностей две жидкости будут пытаться уменьшить свою общую потенциальную энергию . Менее плотная жидкость будет пытаться прорваться вверх, а более плотная жидкость попытается прорваться вниз. Следовательно, есть две возможности: если более легкая жидкость находится сверху, граница раздела называется устойчивой, а если более тяжелая жидкость находится сверху, то равновесие системы неустойчиво к любым нарушениям границы раздела. В этом случае обе жидкости начнут смешиваться. Как только небольшое количество более тяжелой жидкости вытесняется вниз, а такой же объем более легкой жидкости поднимается, потенциальная энергия становится ниже, чем в исходном состоянии. поэтому возмущение будет расти и приводить к турбулентному течению, связанному с неустойчивостями Рэлея–Тейлора.

Это явление можно наблюдать в межзвездном газе , например, в Крабовидной туманности . Он выталкивается из галактической плоскости и магнитными полями космическими лучами , а затем становится нестабильным по Рэлею-Тейлору, если его выталкивают за пределы нормальной масштабной высоты . Эта нестабильность также объясняет грибовидное облако , которое образуется в результате таких процессов, как извержения вулканов и атомные бомбы.

Нестабильность Рэлея-Тейлора оказывает большое влияние на климат Земли. Ветры, дующие с побережья Гренландии и Исландии, вызывают испарение поверхности океана, над которым они проходят, увеличивая соленость океанской воды у поверхности и делая воду у поверхности более плотной. Это затем создает шлейфы , которые управляют океанскими течениями . Этот процесс действует как тепловой насос, транспортируя теплую экваториальную воду на север. Если бы океан не перевернулся, Северная Европа , вероятно, столкнулась бы с резким понижением температуры.

См. также

• Список гидродинамических неустойчивостей
• Ламинарно-турбулентный переход
• Стабильность плазмы
• Теорема Сквайра
• Поток Тейлора – Куэтта

Ссылки

• Дразин, П.Г. (2002), Введение в гидродинамическую устойчивость , Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-00965-2
• Чандрасекхар, С. (1961), Гидродинамическая и гидромагнитная стабильность , Дувр, ISBN  978-0-486-64071-6
• Чарру, Ф. (2011), Гидродинамические неустойчивости , Cambridge University Press, ISBN  978-1139500548
• Годреш, К.; Манневиль, П., ред. (1998), Гидродинамика и нелинейные неустойчивости , Cambridge University Press, ISBN  978-0521455039
• Лин, CC (1966), Теория гидродинамической устойчивости (исправленное издание), Cambridge University Press, OCLC   952854
• Суинни, Х.Л.; Голлуб, Дж. П. (1985), Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности (2-е изд.), Springer, ISBN  978-3-540-13319-3
• Хаппель, Дж.; Бреннер, Х. (2009), Гидродинамика с низким числом Рейнольдса (2-е изд.), ISBN  978-9024728770
• Фояс, К.; Мэнли, О.; Роза, Р.; Теман, Р. (2001), Уравнения Навье – Стокса и турбулентность , Cambridge University Press, ISBN  978-8126509430
• Пантон, Р.Л. (2006), Несжимаемый поток (3-е изд.), Wiley India, ISBN  978-8126509430
• Джонсон, Джей Р.; Винг, Саймон; Деламер, Питер А. (2014), «Нестабильность Кельвина-Гельмгольца в планетарных магнитосферах», Space Science Reviews , 184 (1–4): 1–31, Бибкод : 2014SSRv..184....1J , doi : 10.1007/ s11214-014-0085-з , S2CID   255067606

Внешние ссылки

• «Неустойчивости потока» . Национальный комитет фильмов по механике жидкости (NCFMF) . Проверено 9 марта 2009 г.
• «Сеть передовых методов нестабильности (AIM)» . различные авторы. Архивировано из оригинала 21 февраля 2015 года . Проверено 12 мая 2013 г.
• Шанкар, В. (2014). «Введение в гидродинамическую устойчивость» (PDF) . Кафедра математики ИИТ Канпура . Проверено 31 октября 2015 г.