Модель камеры-обскуры

Модель камеры-обскуры описывает математическую связь между координатами точки в трехмерном пространстве и ее проекцией на плоскость изображения идеальной камеры-обскуры , где апертура камеры описывается как точка и для фокусировки света не используются линзы. Модель не учитывает, например, геометрические искажения или размытие несфокусированных объектов, вызванные линзами и апертурами конечного размера. ^[1] Также не учитывается, что большинство практичных камер имеют только дискретные координаты изображения. Это означает, что модель камеры-обскуры может использоваться только в качестве аппроксимации первого порядка отображения 3D-сцены в 2D -изображение . Его достоверность зависит от качества камеры и, как правило, уменьшается от центра изображения к краям по мере увеличения эффекта искажения объектива.

Некоторые эффекты, которые не учитывает модель камеры-обскуры, можно компенсировать, например, путем применения подходящих преобразований координат к координатам изображения; другие эффекты достаточно малы, чтобы ими можно было пренебречь, если используется высококачественная камера. Это означает, что модель камеры-обскуры часто можно использовать в качестве разумного описания того, как камера отображает трехмерную сцену, например, в компьютерном зрении и компьютерной графике .

Геометрия

Геометрия , связанная с отображением камеры-обскуры, показана на рисунке. На рисунке присутствуют следующие основные объекты:

Трехмерная ортогональная система координат с началом в O . Здесь же апертура камеры находится . Три оси системы координат обозначаются как X1, X2, X3. Ось X3 указывает в направлении обзора камеры и называется оптической осью , главной осью или главным лучом . Плоскость, охватываемая осями X1 и X2, является передней стороной камеры или главной плоскостью .
Плоскость изображения, в которой трехмерный мир проецируется через апертуру камеры. Плоскость изображения параллельна осям X1 и X2 и расположена на расстоянии $f$ от начала координат О в отрицательном направлении оси X3, где f — фокусное расстояние камеры-обскуры. Практическая реализация камеры-обскуры подразумевает, что плоскость изображения расположена так, что она пересекает ось X3 в координате -f , где f > 0 .
Точка R на пересечении оптической оси и плоскости изображения. Эту точку называют главной точкой ^[2] или центр изображения .
Точка P где-то в мире по координате $(x_{1},x_{2},x_{3})$ относительно осей X1, X2 и X3.
Линия проекции точки P на камеру. Это зеленая линия, проходящая через точку и точку O. P
Проекция точки P на плоскость изображения Q. обозначается Эта точка определяется пересечением линии проекции (зеленой) и плоскости изображения. В любой практической ситуации можно предположить, что $x_{3}$ > 0, что означает, что точка пересечения четко определена.
В плоскости изображения также имеется двумерная система координат с началом координат в R и осями Y1 и Y2, параллельными X1 и X2 соответственно. Координаты точки Q относительно этой системы координат равны $(y_{1},y_{2})$ .

Апертура - обскура камеры, через которую должны пройти все проекционные линии, предполагается бесконечно малой, точкой. В литературе эта точка в трехмерном пространстве называется оптическим центром (или центром линзы или камеры) . ^[3]

Формулировка

Далее мы хотим понять, как координаты $(y_{1},y_{2})$ точки Q зависят от координат $(x_{1},x_{2},x_{3})$ точки П. Это можно сделать с помощью следующего рисунка, на котором показана та же сцена, что и на предыдущем рисунке, но теперь сверху, если смотреть вниз в отрицательном направлении оси X2.

Геометрия камеры-обскуры, если смотреть по оси X2.

На этом рисунке мы видим два подобных треугольника , у обоих части линии проекции (зеленые) являются гипотенузами . Катеты левого треугольника $-y_{1}$ и f и катеты прямоугольного треугольника равны $x_{1}$ и $x_{3}$ . Поскольку оба треугольника подобны, отсюда следует, что

{\frac {-y_{1}}{f}}={\frac {x_{1}}{x_{3}}}

или

y_{1}=-{\frac {f\,x_{1}}{x_{3}}}

Аналогичное исследование, если смотреть в отрицательном направлении оси X1, дает

{\frac {-y_{2}}{f}}={\frac {x_{2}}{x_{3}}}

или

y_{2}=-{\frac {f\,x_{2}}{x_{3}}}

Это можно резюмировать как

{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}}=-{\frac {f}{x_{3}}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}

это выражение, описывающее связь между трехмерными координатами $(x_{1},x_{2},x_{3})$ точки P и координат ее изображения $(y_{1},y_{2})$ заданной точкой Q в плоскости изображения.

Повернутое изображение и плоскость виртуального изображения

Преобразование 3D-координат в 2D, описываемое камерой-обскурой, представляет собой перспективную проекцию с последующим поворотом на 180° плоскости изображения. Это соответствует тому, как работает настоящая камера-обскура; полученное изображение поворачивается на 180°, и относительный размер проецируемых объектов зависит от их расстояния до фокальной точки, а общий размер изображения зависит от расстояния f между плоскостью изображения и фокальной точкой. Чтобы создать неповернутое изображение, чего мы и ожидаем от камеры, есть две возможности:

Поверните систему координат в плоскости изображения на 180° (в любую сторону). Именно так любая практическая реализация камеры-обскуры могла бы решить проблему; в фотокамере мы поворачиваем изображение перед тем, как на него посмотреть, а в цифровой камере мы считываем пиксели в таком порядке, что оно поворачивается.
Поместите плоскость изображения так, чтобы она пересекала ось X3 в точке f, а не в точке -f, и переработайте предыдущие расчеты. Это создаст виртуальную (или фронтальную) плоскость изображения , которую невозможно реализовать на практике, но предоставляет теоретическую камеру, анализировать которую может быть проще, чем реальную.

В обоих случаях результирующее сопоставление 3D-координат с координатами 2D-изображения задается выражением выше, но без отрицания, таким образом

{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}}={\frac {f}{x_{3}}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}

В однородных координатах

Отображение трехмерных координат точек пространства в координаты двумерного изображения также может быть представлено в однородных координатах . Позволять $\mathbf {x}$ — представление трехмерной точки в однородных координатах (четырехмерный вектор), и пусть $\mathbf {y}$ быть представлением изображения этой точки в камере-обскуре (трехмерный вектор). Тогда имеет место следующее соотношение

\mathbf {y} \sim \mathbf {C} \,\mathbf {x}

где $\mathbf {C}$ это $3\times 4$ матрица камеры и $\,\sim$ означает равенство между элементами проективных пространств . Это означает, что левая и правая части равны с точностью до ненулевого скалярного умножения. Следствием этого отношения является то, что также $\mathbf {C}$ можно рассматривать как элемент проективного пространства ; две матрицы камеры эквивалентны, если они равны с точностью до скалярного умножения. Это описание отображения камеры-обскуры как линейного преобразования $\mathbf {C}$ вместо доли двух линейных выражений позволяет упростить многие выводы отношений между трехмерными и двумерными координатами. ^{[ нужна ссылка ]}

См. также

Резекция камеры
Уравнение коллинеарности
Входной зрачок — эквивалентное расположение точечного отверстия по отношению к пространству объекта в реальной камере.
Выходной зрачок — эквивалентное расположение точечного отверстия относительно плоскости изображения в реальной камере.
Ибн аль-Хайсам
Камера-обскура , практическая реализация математической модели, описанная в этой статье.
Прямолинейная линза

Ссылки

^ Селиски, Ричард (2022). Компьютерное зрение: алгоритмы и приложения (2-е изд.). Спрингер Природа. п. 74. ИСБН 3030343723 . Проверено 30 декабря 2023 г.
^ Карло Томази (9 августа 2016 г.). «Простая модель камеры» (PDF) . cs.duke.edu . Проверено 18 февраля 2021 г.
^ Андреа Фузиелло (27 декабря 2005 г.). «Элементы геометрического компьютерного зрения» . Homepages.inf.ed.ac.uk . Проверено 18 декабря 2013 г.

Библиография

Дэвид А. Форсайт и Жан Понсе (2003). Компьютерное зрение: современный подход . Прентис Холл. ISBN 0-12-379777-2 .
Ричард Хартли и Эндрю Зиссерман (2003). Множественная геометрия в компьютерном зрении . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-54051-8 .
Бернд Йене (1997). Практическое руководство по обработке изображений для научных приложений . ЦРК Пресс. ISBN 0-8493-8906-2 .
Линда Г. Шапиро и Джордж К. Стокман (2001). Компьютерное зрение . Прентис Холл. ISBN 0-13-030796-3 .
Ган Сюй и Чжэнъю Чжан (1996). Эпиполярная геометрия в стерео, движении и распознавании объектов . Академическое издательство Клювер. ISBN 0-7923-4199-6 .
Селиски, Ричард (2022). Компьютерное зрение: алгоритмы и приложения (2-е изд.). Спрингер Природа. п. 925. ИСБН 3030343723 . Проверено 30 декабря 2023 г.

[1] Селиски, Ричард (2022). Компьютерное зрение: алгоритмы и приложения (2-е изд.). Спрингер Природа. п. 74. ИСБН 3030343723 . Проверено 30 декабря 2023 г.

[2] Карло Томази (9 августа 2016 г.). «Простая модель камеры» (PDF) . cs.duke.edu . Проверено 18 февраля 2021 г.

[3] Андреа Фузиелло (27 декабря 2005 г.). «Элементы геометрического компьютерного зрения» . Homepages.inf.ed.ac.uk . Проверено 18 декабря 2013 г.

[1]

[2]

[3]