Один (числовой формат)

Унумы ( универсальные числа ^[1]) — это семейство числовых форматов и арифметики для реализации действительных чисел на компьютере, предложенное Джоном Л. Густафсоном в 2015 году. ^[2] Они разработаны как альтернатива повсеместному стандарту чисел с плавающей запятой IEEE 754 . Последняя версия известна как posits . ^[3]

Тип I Унум

Первая версия unum, формально известная как unum типа I, была представлена в книге Густавсона «Конец ошибки» как надмножество формата чисел с плавающей запятой IEEE-754. ^[2] Определяющими особенностями формата unum типа I являются:

формат хранения переменной ширины как для мантиссы , так и для экспоненты , и
u -бит , который определяет, соответствует ли unum точному числу ( u = 0) или интервалу между последовательными точными числами ( u = 1). Таким образом, unum покрывает всю расширенную линию действительных чисел [−∞,+∞].

Для вычислений в этом формате Густафсон предложил использовать интервальную арифметику с парой unum, которую он назвал ubound , гарантируя, что результирующий интервал содержит точное решение.

Уильям М. Кахан и Густафсон обсуждали унумы на конференции Arith23 . ^[4]^[5]^[6]^[7]

Тип II Один

Унумы типа II были введены в 2016 году. ^[8] как модификация Unums, нарушившая совместимость IEEE-754.

Позит (Тип III Один)

В феврале 2017 года Густафсон официально представил unums (posits) типа III для фиксированных значений, подобных плавающей запятой, и допустимых для интервальной арифметики . ^[3] В марте 2021 года стандарт был ратифицирован и опубликован рабочей группой Posit. ^[9]

Позиции ^[3]^[10]^[11] являются аппаратно-дружественной версией unum, в которой устранены трудности, с которыми столкнулся исходный тип I unum из-за его переменного размера. По сравнению с числами с плавающей запятой IEEE 754 аналогичного размера, posits предлагают больший динамический диапазон и больше дробных битов для значений с величиной, близкой к 1 (но меньше дробных битов для очень больших или очень маленьких значений), и Густафсон утверждает, что они обеспечивают лучшую точность. ^[12]^[13] Исследования ^[14]^[15] подтвердите, что для некоторых приложений числа с плавающей запятой превосходят с плавающей запятой точность чисел . Позитивные значения имеют превосходную точность в диапазоне, близком к единице, где происходит большинство вычислений. Это делает очень привлекательным для текущей тенденции в глубоком обучении минимизировать количество используемых битов. Это потенциально помогает любому приложению ускориться, позволяя использовать меньшее количество битов (поскольку для точности требуется больше дробных битов), уменьшая пропускную способность сети и памяти, а также требования к питанию.

Формат n -битного posit обозначается меткой «posit», за которой следуют десятичные цифры n (например, 16-битный формат posit — «posit16») и состоит из четырех последовательных полей:

знак : 1 бит, представляющий целое число без знака s
режим: не менее 2 бит и до ( n − 1), представляющих целое число без знака r, как описано ниже.
экспонента : до 2 битов, доступных после режима, представляющих целое число без знака e
дробь : все оставшиеся биты, доступные после экспоненты, представляющие неотрицательное действительное двоичное рациональное f меньше 1.

Поле режима использует унарное кодирование из k одинаковых битов, за которыми следует бит противоположного значения, если какие-либо оставшиеся биты доступны, для представления целого числа без знака r, которое равно - k, если первый бит равен 0, или k - 1, если первый бит равен 1. Поля знака, показателя степени и дроби аналогичны полям знака, показателя степени и мантиссы IEEE 754 (соответственно), за исключением того, что поля положительного показателя степени и дроби могут отсутствовать или быть усечены и неявно расширены нулями - отсутствующий показатель степени рассматривается как 00₂ (представляющий 0), однобитовый показатель степени E ₁ рассматривается как E₁0₂ (представляющее целое число 0, если E ₁ равно 0, или 2, если E ₁ равно 1), а отсутствующая дробь рассматривается как 0.

Две кодировки, в которых все незнаковые биты равны 0, имеют специальную интерпретацию:

Если знаковый бит равен 1, положительное значение равно NaR («не настоящий»)
Если знаковый бит равен 0, положительное значение равно 0 (это беззнаковое значение, единственное значение, для которого sign функция возвращает 0)

В противном случае значение posit равно ${\textstyle ((1-3s)+f)\times 2^{(1-2s)\times (4r+e+s)}}$ , в котором r масштабируется по степеням 16, e масштабируется по степеням 2, f равномерно распределяет значения между соседними комбинациями ( r , e ), а s регулирует знак симметрично относительно 0.

Примеры


тип (положить n )	Двоичный	Ценить	Примечания
Любой	`1 0…`	`NaR`	все, что математически не определяется как уникальное действительное число ^[9]
Любой	`0 0…`	0
Любой	`0 10…`	1
Любой	`1 10…`	−1
Любой	`0 01 11 0…`	0.5
Любой	`0 0…1`	${\textstyle 2^{-4n+8}}$	наименьшее положительное значение
Любой	`0 1…`	${\textstyle 2^{4n-8}}$	наибольшее положительное значение
позиция8	`0 0000001`	${\textstyle 2^{-24}\approx 6.0\times 10^{-8}}$	наименьшее положительное значение
позиция8	`0 1111111`	${\textstyle 2^{24}\approx 1.7\times 10^{7}}$	наибольшее положительное значение
позиция16	`0 000000000000001`	${\textstyle 2^{-56}\approx 1.4\times 10^{-17}}$	наименьшее положительное значение
позиция16	`0 111111111111111`	${\textstyle 2^{56}\approx 7.2\times 10^{16}}$	наибольшее положительное значение
позиция32	`0 0000000000000000000000000000001`	${\textstyle 2^{-120}\approx 7.5\times 10^{-37}}$	наименьшее положительное значение
позиция32	`0 1111111111111111111111111111111`	${\textstyle 2^{120}\approx 1.3\times 10^{36}}$	наибольшее положительное значение

Примечание . Ожидается, что 32-битного posit будет достаточно для решения практически всех классов приложений. ^{[ нужна ссылка ]}.

Квайр

Для каждой позиции n тип точности ${\textstyle n}$ , стандарт определяет соответствующий тип «quire» quire n точности ${\textstyle 16\times n}$ , используется для накопления точных сумм произведений этих чисел без округления или переполнения в скалярном произведении для векторов до 2 ³¹ или более элементов (точный предел $2^{23+4n}$ ). Формат quire представляет собой целое число со знаком, дополненное до двух , интерпретируемое как кратное единицам величины. $2^{16-8n}$ за исключением специального значения с ведущим битом знака 1 и всеми остальными битами, равными 0 (что представляет NaR). Quires основан на работах Ульриха В. Кулиша и Уилларда Л. Миранкера . ^[16]

Действительный

Допустимые значения описываются как режим Unum типа III, который ограничивает результаты в заданном диапазоне. ^[3]

Реализации

Несколько программных и аппаратных решений реализуют posits. ^[14]^[17]^[18]^[19]^[20] Первый полный параметризованный аппаратный генератор позиционной арифметики был предложен в 2018 году. ^[21]

Реализации Unum были исследованы в Julia. ^[22]^[23]^[24]^[25]^[26]^[27] и МАТЛАБ . ^[28]^[29] С ++ Версия ^[30] доступна поддержка любых размеров чисел в сочетании с любым количеством битов экспоненты. Быстрая реализация на C, SoftPosit, ^[31] предоставленный исследовательской группой NGA на базе Berkeley SoftFloat, дополняет доступные программные реализации.

Проект автор	Тип	Точность	Квайр Поддерживать?	Скорость	Тестирование	Примечания
ГП-графический процессор Яркие Искры	Первый в мире FPGA GPGPU	32	Да	~3,2 тыс. тонн в секунду	Исчерпывающий. Никаких известных ошибок.	RaceEr GP-GPU имеет 512 ядер.
СофтПосит АСТАР*	Библиотека C на основе Berkeley SoftFloat Оболочка C++ для переопределения операторовОболочка Python с использованием SWIG SoftPosit	8, 16, 32 опубликованы и завершены;	Да	От ~60 до 110 MPOPS на ядре x86 (Broadwell)	8: Исчерпывающий; 16: Исчерпывающий список, кроме FMA, требуется32: Исчерпывающее испытание все еще продолжается.Никаких известных ошибок.	Лицензия с открытым исходным кодом. Самая быстрая и полная библиотека C для posits на данный момент. Разработан для подключаемого модуля сравнения чисел с плавающей запятой и положительных чисел IEEE.
posit4.nb АСТАР*	Блокнот математики	Все	Да	< 80 тыс. ПОПС	Исчерпывающий для низкой точности. Никаких известных ошибок.	Открытый исходный код (лицензия MIT). Исходное определение и прототип. Наиболее полная среда для сравнения чисел с плавающей запятой и положительных чисел IEEE. Множество примеров использования, включая линейные решатели.
posit-javascript АСТАР*	Виджет JavaScript	Преобразовать десятичное число в число 6, 8, 16, 32; сгенерируйте таблицы 2–17 с помощью es 1–4.	Н/Д	Н/Д; интерактивный виджет	Полностью протестирован	Генератор таблиц и преобразование
Универсальный Стиллуотер Суперкомпьютер, Инк.	библиотека шаблонов C++ библиотека CPython-оберткабиблиотека Голанга	Допустимая posit float произвольной точности (p) Один тип 1 (п)Один тип 2 (п)	Произвольные конфигурации запросов с программируемой мощностью	posit<4,0> 1 GPOPS posit<8,0> 130 MPOPSposit<16,1> 115 MPOPSposit<32,2> 105 MPOPSпозиция<64,3>50 МПОПСпозиция<128,4>1 МПОПСпозиция<256,5>800 КПОПС	Полный пакет проверки для произвольных позиций Случайные значения для больших конфигураций posit.Использует индукцию, чтобы доказать правильность nbits+1нет известных ошибок	Открытый исходный код. Лицензия МТИ. Полная интеграция с типами C/C++ и автоматическими преобразованиями.Поддерживает полную математическую библиотеку C++ (собственную и преобразование в/из IEEE).Интеграция во время выполнения: MTL4/MTL5, Eigen, Trilinos, HPR-BLAS.Интеграция приложений: G+SMO, FDBB, FEniCS, ODEintV2, TVM.ai.Интеграция аппаратных ускорителей (Xilinx, Intel, Achronix).
Спидго Чунг Шин Йи	библиотека Python	Все	Нет	~20 МПОПС	Обширный; нет известных ошибок	Открытый исходный код (лицензия MIT)
softposit-rkt Дэвид Тьен	Крепления SoftPosit для ракетки	Все	Да	Unknown	Unknown
sfpy Билл Зорн	Привязки SoftPosit для Python	Все	Да	~20–45 MPOPS на ядре Skylake 4,9 ГГц	Unknown
позицтава Диего Коэльо	Октавная реализация	Все	Нет	Unknown	Ограниченное тестирование; нет известных ошибок	GNU GPL
Сигмовидные числа Исаак Йонемото	Библиотека Юлии	Все <32, все ES	Да	Unknown	Нет известных ошибок (позитов). Ошибки деления (действительны)	Использует стандартную библиотеку шаблонов математики Julia, может выполнять матричные и тензорные операции, комплексные числа, FFT, DiffEQ. Поддержка валидностей
FastSigmoid Исаак Йонемото	Джулия и библиотека C/C++	8, 16, 32, все ES	Нет	Unknown	Известная ошибка в 32-битном умножении	Используется LLNL в исследованиях шока.
SoftPosit.jl Милан Клёвер	Библиотека Юлии	На основе softposit; 8-битный (es=0..2)16-битный (es=0..2)24-битный (es=1..2)32-битный(эс=2)	Да	Похоже на: А*СТАР«СофтПозит»(Серлан Леонг)	Да: Позит (8,0),Позит (16,1),Позит (32,2)Другие форматы не обладают полной функциональностью.	Открытый исходный код. Проблемы и предложения на GitHub. Этот проект был разработан в связи с тем, что SigmoidNumbers и FastSigmoid Исаака Йонемото в настоящее время не поддерживаются. Поддерживает основные функции линейной алгебры в Julia (умножение матриц, решение матриц, разложение Элгена и т. д.).
PyСигмоид Кен Меркадо	библиотека Python	Все	Да	< 20 МПОПС	Unknown	Открытый исходный код (лицензия MIT). Простой в использовании интерфейс. Пример нейронной сети. Комплексная поддержка функций.
cppPosit Федерико Росси, Эмануэле Руффальди	библиотека С++	от 4 до 64 (любое значение es); «Версия шаблона от 2 до 63 бит»	Нет	Unknown	Несколько основных тестов	4 уровня операций, работающих с позитивами. Специальная поддержка типов NaN (нестандартная)
bfp: за пределами плавающей точки Клеман Герен	библиотека С++	Любой	Нет	Unknown	Обнаружены ошибки; статус исправлений неизвестен	Поддерживает + – × ÷ √ взаимное, отрицание, сравнение
Verilog.jl Исаак Йонемото	Юлия и Верилог	8, 16, 32, ES=0	Нет	Unknown	Всесторонне протестировано на 8-битной версии, ошибок нет.	Предназначено только для приложений глубокого обучения. Только сложение, вычитание и умножение. Было создано доказательство концепции матричного множителя, но его точность не соответствует техническим требованиям.
Ломбикская арифметика Ломбик Технологии	C# с Hastlayer для создания оборудования	8, 16, 32. (64 бит в процессе)	Да	10 МПОПС Нажмите здесь, чтобы узнать больше	Частичный	Требуются API-интерфейсы Microsoft .Net.
Deepfloat Джефф Джонсон, Facebook	СистемаVerilog	Любой (параметризованный SystemVerilog)	Да	Н/Д (RTL для проектов FPGA/ASIC)	Ограниченный	Не совсем соответствует заявленным характеристикам. Поддерживает +,-,/,*. Реализует как логарифмическое, так и нормальное, «линейное» положение.Лицензия: CC-BY-NC 4.0 на данный момент.
Токийский технологический институт	ПЛИС	16, 32, выдвижной	Нет	«2 ГГц», не переведено в MPOPS	Частичный; известные ошибки округления	Еще не с открытым исходным кодом
PACoGen: Генератор Posit Arthmetic Core Маниш Кумар Джайсвал	Verilog HDL для Posit-арифметики	Любая точность. Способен генерировать любую комбинацию размера слова (N) и размера экспоненты (ES).	Нет	Скорость проектирования зависит от базовой аппаратной платформы (ASIC/FPGA).	Исчерпывающие тесты для 8-битного положительного результата. Выполняются многомиллионные случайные тесты для 32-битных значений с различными комбинациями ES.	Он поддерживает метод округления до ближайшего.
Винай Саксена, Центр исследований и технологий, Роберт Бош, Индия (RTC-IN), и Фархад Мерчант, RWTH Ахенский университет	Генератор Verilog для СБИС, ПЛИС	Все	Нет	Аналогично числам с плавающей запятой того же битового размера.	Н=8 - ES=2 \| Н=7,8,9,10,11,12Выборочные (20000*65536) комбинации для- ES=1 \| Н=16	Для использования в коммерческих продуктах. Насколько нам известно. *Первая интеграция posits в RISC-V*
Ядро RISC-V с поддержкой Posit (Сугандха Тивари, Нил Гала, Честер Ребейро, В. Камакоти, ИИТ МАДРАС)	Реализация BSV (Bluespec System Verilog)	32-битное положительное значение с (es=2) и (es=3)	Нет	—	Проверено с помощью SoftPosit для (es=2) и протестировано с несколькими приложениями для (es=2) и (es=3). Никаких известных ошибок.	Первое полное ядро RISC-V с поддержкой posit. Поддерживает динамическое переключение между (es=2) и (es=3). Дополнительная информация здесь.
ПЕРСИВАЛЬ Дэвид Малласен	Ядро Posit RISC-V с открытым исходным кодом и возможностями Quire	Posit<32,2> с 512-битным запросом	Да	Скорость проектирования зависит от базовой аппаратной платформы (ASIC/FPGA).	Тестирование функциональности каждой инструкции posit.	Ядро RISC-V с поддержкой posit на уровне приложения на базе CVA6, которое может выполнять все инструкции posit, включая операции quire Fusion. PERCIVAL — это первая работа, которая полностью интегрирует posit ISA и quire в аппаратном обеспечении. Он позволяет одновременно выполнять как posit-инструкции, так и стандартные инструкции с плавающей запятой.
LibPosit Крис Ломонт	Один файл, лицензия C# MIT.	Любой размер	Нет		Обширный; нет известных ошибок	Операции: арифметика, сравнения, sqrt, sin, cos, tan, acos, asin, atan, pow, exp, log.
unumjl РЕКС Компьютеры	FPGA-версия процессора VLIW «Neo» с позиционным числовым блоком	32	Нет	~1,2 ГПОПС	Обширный; нет известных ошибок	Никакого деления или квадратного корня. Первая полноценная конструкция процессора, позволяющая заменить числа с плавающей запятой на положительные.
PNU: Единая числовая позиция Каллиго Тек	Первая в мире ASIC с поддержкой posit, восьмиядерным процессором RISC-V и поддержкой Quire. Карта-ускоритель PCIe с этим чипом будет готова в июне 2024 года. Полный стек программного обеспечения с компиляторами, отладчиком, средой IDE и математическими библиотеками для приложений. Поддерживаются языки C, C++, Python. Приложения успешно протестированы: сжатие изображений и видео и многое другое.	<32, 2> с поддержкой 512 бит Quire. <64, 3>	Да – полностью поддерживается.	500 МГц * 8 ядер	Завершены исчерпывающие тесты для 32-битных и 64-битных версий с поддержкой Quire. Приложения протестированы и доступны для беспрепятственного внедрения.www.calligotech.com	Полная интеграция с типами C/C++ и автоматическими преобразованиями. Поддерживает полную математическую библиотеку C++ (собственную и преобразование в/из IEEE). Интеграция во время выполнения: GNU Utils, OpenBLAS, CBLAS. Интеграция приложений: в процессе. Расширена поддержка компиляторов: C/C++, G++, GFortran и LLVM (в разработке).
IBM-TACC Цзяньюй Чен	ПЛИС специального назначения	32	Да	16–64 ГПОПС	Протестирован только один известный случай	Выполняет матричное умножение 128 на 128 (SGEMM) с использованием quire.
Глубокое решето Рауль Мурильо	Библиотека Python (программное обеспечение)	8, 16, 32	Да	Unknown	Unknown	Структура DNN, использующая posits
Gosit Яап Аартс	Библиотека чистого Go	16/1 32/2 (в комплект входит общий 32/ES для ES<32) ^{[ нужны разъяснения ]}	Нет	80 MPOPS для div32/2 и подобных линейных функций. Намного выше для усечения и намного ниже для опыта.	Фаззинг софтпозита C с множеством итераций для 16/1 и 32/2. Обнаружены крайние случаи при явном тестировании.	(лицензия MIT) В реализациях, где ES является постоянным, генерируется код. Генератор должен иметь возможность генерировать для всех размеров {8,16,32} и ES ниже этого размера. Однако те, которые не включены в библиотеку по умолчанию, не тестируются, не модифицируются и не поддерживаются. Для некоторых операций на 32/ES возможно смешивание и сопоставление ES. Однако это не проверено.

СофтПосит

СофтПосит ^[31] представляет собой программную реализацию posits на основе Berkeley SoftFloat. ^[32] Это позволяет программному обеспечению сравнивать posits и float. В настоящее время он поддерживает

Добавлять
Вычесть
Умножить
Разделять
Сплавленное-умножение-сложение
Сплавленное скалярное произведение (с дейром)
Квадратный корень
Преобразование posit в целое число со знаком и без знака
Преобразование целого числа со знаком и без знака в posit
Преобразовать posit в другой размер posit
Меньше, равно, меньше, чем равно сравнение
Округлить до ближайшего целого числа

Вспомогательные функции

преобразовать двойное значение в положительное
преобразовать posit в double
привести целое число без знака к посту

Он работает для 16-битных значений с одним битом экспоненты и для 8-битных значений с нулевым битом экспоненты. Поддержка 32-битных чисел и гибкого типа (2–32 бита с двумя битами экспоненты) ожидает проверки. Он поддерживает системы x86_64. Он был протестирован на GNU gcc ( SUSE Linux ) 4.8.5 Apple LLVM версии 9.1.0 (clang-902.0.39.2).

Примеры

Добавить с помощью posit8_t

#include   "softposit.h"  int   main  (  int   argc  ,   char   *  argv  [])   {      posit8_t   pA  ,   pB  ,   pZ  ;      pA   =   castP8  (  0xF2  );      пБ   =   castP8  (  0x23  );      pZ   =   p8_add  (  pA  ,   pB  );      // Чтобы проверить ответ, преобразуя его в double      double   dZ   =   ConvertP8ToDouble  (  pZ  );      printf  (  "dZ: %.15f  \n  "  ,   dZ  );      // Чтобы распечатать результат в двоичном виде (предупреждение: непереносимый код)      uint8_t   uiZ   =   castUI8  (  pZ  );      printBinary  ((  uint64_t  *  )  &  uiZ  ,   8  );      вернуть   0  ;  }

Слитое скалярное произведение с quire16_t

// Преобразуем double в posit  posit16_t   pA   =   ConvertDoubleToP16  (  1.02783203125  );  posit16_t   pB   =   ConvertDoubleToP16  (  0,987060546875  );  posit16_t   PC   =   ConvertDoubleToP16  (  0.4998779296875  );  posit16_t   pD   =   ConvertDoubleToP16  (  0,8797607421875  );  quire16_t   qZ  ;  // Устанавливаем quire равным 0  qZ   =   q16_clr  (  qZ  );  // Накапливаем продукты без округлений  qZ   =   q16_fdp_add  (  qZ  ,   pA  ,   pB  );  qZ   =   q16_fdp_add  (  qZ  ,   pC  ,   pD  );  // Преобразование обратно в posit  posit16_t   pZ   =   q16_to_p16  (  qZ  );  // Чтобы проверить ответ  double   dZ   =   ConvertP16ToDouble  (  pZ  );

Критика

Уильям М. Кахан, главный архитектор IEEE 754-1985, критикует unum типа I на следующих основаниях (некоторые из них рассматриваются в стандартах типа II и типа III): ^[6]^[33]

Описание unums обходит стороной использование исчисления для решения физических задач.
Unums может быть дорогостоящим с точки зрения энергопотребления и времени.
Каждое вычисление в unum-пространстве может изменить битовую длину структуры. Для этого требуется либо распаковать их в пространство фиксированного размера, либо выделить, освободить данные и собрать мусор во время операций unum, аналогично проблемам, связанным с записями переменной длины в запоминающем устройстве большой емкости.
Unums предоставляет только два типа числовых исключений: тихое и сигнальное NaN (Not-a-Number).
Вычисление Unum может привести к слишком широким ограничениям при выборе алгебраически правильного, но численно нестабильного алгоритма.
Преимущества unum перед плавающей запятой короткой точности для задач, требующих низкой точности, не очевидны.
Решение дифференциальных уравнений и вычисление интегралов с помощью unum гарантируют правильные ответы, но могут быть не такими быстрыми, как методы, которые обычно работают.

См. также

Ссылки

^ Тичи, Уолтер Ф. (апрель 2016 г.). «Конец (числовой) ошибки: интервью с Джоном Л. Густавсоном» . Вездесущность – информация повсюду . 2016 (апрель). Ассоциация вычислительной техники (ACM): 1–14. дои : 10.1145/2913029 . ДГ: Слово «unum» является сокращением от «универсального числа», точно так же, как слово «бит» является сокращением от «двоичная цифра».
^ Jump up to: ^а ^б Густафсон, Джон Л. (04 февраля 2016 г.) [05 февраля 2015 г.]. Конец ошибки: Unum Computing . Чепмен и Холл / CRC Вычислительная наука . Том. 24 (2-е исправленное издание, 1-е изд.). ЦРК Пресс . ISBN 978-1-4822-3986-7 . Проверено 30 мая 2016 г. [1] [2]
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Густавсон, Джон Лерой ; Ёнемото, Исаак (2017). «Преодоление чисел с плавающей запятой в своей собственной игре: позитная арифметика» . Перспективы суперкомпьютеров и инновации . 4 (2). Издательский центр Южно-Уральского государственного университета, Челябинск, Россия. дои : 10.14529/jsfi170206 . Архивировано из оригинала 4 ноября 2017 г. Проверено 4 ноября 2017 г.
^ «Программа: Специальная сессия: Великие дебаты: Джон Густафсон и Уильям Кахан» . Arith23 : 23-й симпозиум IEEE по компьютерной арифметике . Силиконовая долина, США. 12 июля 2016 г. Архивировано из оригинала 30 мая 2016 г. Проверено 30 мая 2016 г.
^ Густафсон, Джон Л .; Кахан, Уильям М. (12 июля 2016 г.). Великие дебаты @ARITH23: Джон Густафсон и Уильям Кахан (1:34:41) (видео) . Проверено 20 июля 2016 г.
^ Jump up to: ^а ^б Кахан, Уильям М. (16 июля 2016 г.) [12 июля 2016 г.]. «Критика книги Джона Л. Густафсона КОНЕЦ ОШИБКИ — Unum Computation и его радикальный подход к вычислениям с действительными числами » (PDF) . Санта-Клара, Калифорния, США: Симпозиум IEEE по компьютерной арифметике , ARITH 23 . Архивировано (PDF) из оригинала 25 июля 2016 г. Проверено 25 июля 2016 г. [3]
^ Густафсон, Джон Л. (12 июля 2016 г.). « «Великие дебаты»: позиционный документ по арифметике Unum» (PDF) . Санта-Клара, Калифорния, США: Симпозиум IEEE по компьютерной арифметике , ARITH 23 . Проверено 20 июля 2016 г. [4]
^ Тичи, Уолтер Ф. (сентябрь 2016 г.). «Unums 2.0: Интервью с Джоном Л. Густафсоном» . Ubiquity.ACM.org . Проверено 30 января 2017 г. Я начал называть их «unums 2.0», что казалось таким же хорошим названием для этой концепции, как и любое другое, но на самом деле это не столько «последняя версия», сколько альтернатива.
^ Jump up to: ^а ^б Рабочая группа Позита (2 марта 2022 г.). «Стандарт позитной арифметики (2022 г.)» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 26 сентября 2022 г. Проверено 21 декабря 2022 г.
^ Джон Л. Густавсон и И. Йонемото. (Февраль 2017 г.) За пределами плавающей точки: компьютерная арифметика нового поколения. [Онлайн]. Доступно: https://www.youtube.com/watch?v=aP0Y1uAA-2Y .
^ Густафсон, Джон Лерой (10 октября 2017 г.). «Позитическая арифметика» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 5 ноября 2017 г. Проверено 4 ноября 2017 г.
^ Фельдман, Майкл (08 июля 2019 г.). «Новый подход может привести к провалу вычислений с плавающей запятой» . www.nextplatform.com . Проверено 9 июля 2019 г.
^ Бирн, Майкл (24 апреля 2016 г.). «Новый числовой формат для компьютеров может навсегда устранить ошибки аппроксимации» . Порок . Проверено 9 июля 2019 г.
^ Jump up to: ^а ^б Линдстрем, Питер; Ллойд, Скотт; Хиттингер, Джеффри (март 2018 г.). Универсальное кодирование действительных чисел: альтернативы IEEE с плавающей запятой . Конференция по арифметике следующего поколения. Искусство. 5. АКМ. дои : 10.1145/3190339.3190344 .
^ Дэвид Малласен; Альберто А. Дель Баррио; Мануэль Прието-Матиас (11 мая 2023 г.). «Большой-ПЕРСИВАЛЬ: изучение собственного использования 64-битной положительной арифметики в научных вычислениях». arXiv : 2305.06946 [ cs.AR ].
^ Кулиш, Ульрих В .; Миранкер, Уиллард Л. (март 1986 г.). «Арифметика цифрового компьютера: новый подход». СИАМ Ред. 28 (1). СИАМ : 1–40. дои : 10.1137/1028001 .
^ С. Чанг, «Доказуемо правильная позиционная арифметика с большим целым числом с фиксированной запятой». АКМ, 2018.
^ Дж. Чен, З. Аль-Арс и Х. Хофсти, «Единица умножения матриц для позиций в реконфигурируемой логике с использованием (Open) CAPI». АКМ, 2018.
^ З. Лехочки, А. Сабо и Б. Фаркас, «Высокоуровневые программные реализации .NET Unum Type I и Posit с одновременной реализацией FPGA с использованием Hastlayer». АКМ, 2018.
^ С. Лангруди, Т. Пандит и Д. Кудитипуди, «Вывод глубокого обучения на встроенных устройствах: фиксированная точка против положительной». В книге «Энергоэффективное машинное обучение и когнитивные вычисления для встраиваемых приложений (EMC), 2018. [Онлайн]. Доступно: https://sites.google.com/view/asplos-emc2/program.
^ Рохит Чаурасия, Джон Густавсон, Рахул Шреста, Джонатан Нойдорфер, Сангит Намбиар, Каустав Нийоги, Фархад Мерчант, Райнер Лейперс, « Аппаратный генератор параметризованной арифметической арифметики ». ICCD 2018: 334-341.
^ Бирн, Саймон (29 марта 2016 г.). «Реализация Unums в Julia» . Проверено 30 мая 2016 г.
^ «Унум-арифметика в Julia: Unums.jl» . Гитхаб . Проверено 30 мая 2016 г.
^ «Юлия. Реализация Unums: README» . Гитхаб . Проверено 30 мая 2016 г.
^ «Типы и операции Unum (универсального числа): Unums» . Гитхаб . Проверено 30 мая 2016 г.
^ "jwmerrill/Pnums.jl" . Гитхаб.com . Проверено 30 января 2017 г.
^ «GitHub — ityonemo/Unum2: Pivot Unums» . Гитхаб . 29 апреля 2019 г.
^ Инголе, Дипак; Квасница, Михал; Де Сильва, Химеши; Густафсон, Джон Л. «Уменьшение объема памяти при явном прогнозирующем управлении моделями с использованием универсальных чисел. Представлено на Всемирный конгресс IFAC 2017» . Проверено 15 ноября 2016 г.
^ Инголе, Дипак; Квасница, Михал; Де Сильва, Химеши; Густафсон, Джон Л. «Прототип MATLAB Unum » Проверено 1 ноября 2016 г.
^ «GitHub — Stillwater-sc/Universal: универсальная арифметика чисел» . Гитхаб . 16.06.2019.
^ Jump up to: ^а ^б «Серлан Леонг/SoftPosit · GitLab» . ГитЛаб .
^ «Беркли СофтФлоат» . www.jhauser.us .
^ Кахан, Уильям М. (15 июля 2016 г.). «Комментарий профессора В. Кахана к книге Джона Л. Густафсона «Конец ошибки — Unum Computing», (2015) CRC Press» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 1 августа 2016 г. Проверено 1 августа 2016 г.

Дальнейшее чтение

Густафсон, Джон Л. (март 2013 г.). «Правильный выбор точности: свободные вычисления: необходимость правильного размера точности для экономии энергии, пропускной способности, хранилища и электроэнергии» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 6 июня 2016 г. Проверено 6 июня 2016 г.
Брюкнер, Рич (2 марта 2015 г.). «Слайдкаст: Джон Густафсон объясняет энергоэффективные вычисления Unum» . Богатый отчет . Внутри HPC. Архивировано из оригинала 10 июля 2016 г. Проверено 10 июня 2016 г.
Густафсон, Джон Л. (2015). «Конец численной ошибки» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 6 июня 2016 г. Проверено 6 июня 2016 г.
Густафсон, Джон Л. (3 июня 2016 г.) [22 февраля 2016 г.]. «Радикальный подход к вычислениям с действительными числами - Unums версия 2.0» (PPT). Архивировано из оригинала 10 июля 2016 г. Проверено 10 июля 2016 г. (Примечание. PDF-файлы поставляются без примечаний: [5] [6] )
Густавсон, Джон Л. (6 июня 2016 г.). «Энергоэффективный и массовый параллельный подход к действительным числам» (PPT). Семинар ОКРАР. Архивировано из оригинала 10 июля 2016 г. Проверено 10 июля 2016 г. [7] [8]
Густафсон, Джон Л. (2016). «Радикальный подход к вычислениям с действительными числами» (PDF) . SuperFri.org. Архивировано (PDF) из оригинала 10 июля 2016 г. Проверено 10 июля 2016 г.
Кулиш, Ульрих В. (2015). «Современная интервальная арифметика от закрытых интервалов до связанных наборов действительных чисел» (PDF) (препринт). Institut für Angewandte und Numerische Mathematik – Технологический институт Карлсруэ (KIT), Германия. ID 15/02. Архивировано (PDF) из оригинала 12 июля 2016 г. Проверено 12 июля 2016 г.
Риссе, Томас (10 марта 2016 г.). «Unum – целесообразное расширение IEEE 754» (PDF) (презентация). Лондонский университет Саут-Бэнк (LSBU), Великобритания: Институт информатики и автоматизации (IIA), факультет EEE и CS, Бременский университет прикладных наук , Германия. Архивировано (PDF) из оригинала 12 июля 2016 г. Проверено 12 июля 2016 г.
Кахан, Уильям М. (15 июля 2016 г.). «Комментарии профессора В. Кахана по арифметике SORN» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 1 августа 2016 г. Проверено 1 августа 2016 г.
Хунхолд, Ласло (08 ноября 2016 г.). Формат чисел Unum: математические основы, реализация и сравнение с числами с плавающей запятой IEEE 754 (PDF) (бакалаврская диссертация). Университет Кёльна , Математический институт. arXiv : 1701.00722v1 . Архивировано (PDF) из оригинала 7 января 2017 г. Проверено 23 октября 2016 г.
Стербенс, Пэт Х. (1 мая 1974 г.). Вычисление с плавающей запятой . Серия Прентис-Холла по автоматическим вычислениям (1-е изд.). Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси, США: Прентис Холл . ISBN 0-13-322495-3 .
Кейв, Скип (17 августа 2016 г.). «Язык программирования J. Реализация 3-битных, 4-битных, 8-битных и 16-битных точных чисел Unum» . Проверено 3 мая 2017 г. (Ссылка для скачивания Роджера Стоукса: [9] )
Инголе, Дипак (28 сентября 2017 г.). Встроенная реализация явной модели прогнозирующего управления (кандидатская диссертация). Словацкий технологический университет в Братиславе , Словакия.

Внешние ссылки

«Конференция по арифметике следующего поколения (CoNGA)» . 2017. Архивировано из оригинала 04.11.2017 . Проверено 4 ноября 2017 г.
«СофтПосит» . 2018 . Проверено 13 июня 2018 г.
«Вклад сообщества в исходный код» . 2018 . Проверено 13 июня 2018 г.
«Анатомия целого числа» . 11 апреля 2018 г. Проверено 9 августа 2019 г.

[Tichy_2016_1-1] Тичи, Уолтер Ф. (апрель 2016 г.). «Конец (числовой) ошибки: интервью с Джоном Л. Густавсоном» . Вездесущность – информация повсюду . 2016 (апрель). Ассоциация вычислительной техники (ACM): 1–14. дои : 10.1145/2913029 . ДГ: Слово «unum» является сокращением от «универсального числа», точно так же, как слово «бит» является сокращением от «двоичная цифра».

[Gustafson_2015-2] Jump up to: ^а ^б Густафсон, Джон Л. (04 февраля 2016 г.) [05 февраля 2015 г.]. Конец ошибки: Unum Computing . Чепмен и Холл / CRC Вычислительная наука . Том. 24 (2-е исправленное издание, 1-е изд.). ЦРК Пресс . ISBN 978-1-4822-3986-7 . Проверено 30 мая 2016 г. [1] [2]

[Gustafson_2017?_Posit-3] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Густавсон, Джон Лерой ; Ёнемото, Исаак (2017). «Преодоление чисел с плавающей запятой в своей собственной игре: позитная арифметика» . Перспективы суперкомпьютеров и инновации . 4 (2). Издательский центр Южно-Уральского государственного университета, Челябинск, Россия. дои : 10.14529/jsfi170206 . Архивировано из оригинала 4 ноября 2017 г. Проверено 4 ноября 2017 г.

[ARITH23_2016-4] «Программа: Специальная сессия: Великие дебаты: Джон Густафсон и Уильям Кахан» . Arith23 : 23-й симпозиум IEEE по компьютерной арифметике . Силиконовая долина, США. 12 июля 2016 г. Архивировано из оригинала 30 мая 2016 г. Проверено 30 мая 2016 г.

[Great-Debate_2016-5] Густафсон, Джон Л .; Кахан, Уильям М. (12 июля 2016 г.). Великие дебаты @ARITH23: Джон Густафсон и Уильям Кахан (1:34:41) (видео) . Проверено 20 июля 2016 г.

[Kahan_2016-6] Jump up to: ^а ^б Кахан, Уильям М. (16 июля 2016 г.) [12 июля 2016 г.]. «Критика книги Джона Л. Густафсона КОНЕЦ ОШИБКИ — Unum Computation и его радикальный подход к вычислениям с действительными числами » (PDF) . Санта-Клара, Калифорния, США: Симпозиум IEEE по компьютерной арифметике , ARITH 23 . Архивировано (PDF) из оригинала 25 июля 2016 г. Проверено 25 июля 2016 г. [3]

[Gustafson_ARITH23-7] Густафсон, Джон Л. (12 июля 2016 г.). « «Великие дебаты»: позиционный документ по арифметике Unum» (PDF) . Санта-Клара, Калифорния, США: Симпозиум IEEE по компьютерной арифметике , ARITH 23 . Проверено 20 июля 2016 г. [4]

[Tichy_2016_2-8] Тичи, Уолтер Ф. (сентябрь 2016 г.). «Unums 2.0: Интервью с Джоном Л. Густафсоном» . Ubiquity.ACM.org . Проверено 30 января 2017 г. Я начал называть их «unums 2.0», что казалось таким же хорошим названием для этой концепции, как и любое другое, но на самом деле это не столько «последняя версия», сколько альтернатива.

[Posit_Standard_2022-9] Jump up to: ^а ^б Рабочая группа Позита (2 марта 2022 г.). «Стандарт позитной арифметики (2022 г.)» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 26 сентября 2022 г. Проверено 21 декабря 2022 г.

[Gustafson_2017_video-10] Джон Л. Густавсон и И. Йонемото. (Февраль 2017 г.) За пределами плавающей точки: компьютерная арифметика нового поколения. [Онлайн]. Доступно: https://www.youtube.com/watch?v=aP0Y1uAA-2Y .

[Gustafson_2017_Posit-11] Густафсон, Джон Лерой (10 октября 2017 г.). «Позитическая арифметика» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 5 ноября 2017 г. Проверено 4 ноября 2017 г.

[Feldman_2019-12] Фельдман, Майкл (08 июля 2019 г.). «Новый подход может привести к провалу вычислений с плавающей запятой» . www.nextplatform.com . Проверено 9 июля 2019 г.

[Byrne_2016-13] Бирн, Майкл (24 апреля 2016 г.). «Новый числовой формат для компьютеров может навсегда устранить ошибки аппроксимации» . Порок . Проверено 9 июля 2019 г.

[conga_paper_lindstrom-14] Jump up to: ^а ^б Линдстрем, Питер; Ллойд, Скотт; Хиттингер, Джеффри (март 2018 г.). Универсальное кодирование действительных чисел: альтернативы IEEE с плавающей запятой . Конференция по арифметике следующего поколения. Искусство. 5. АКМ. дои : 10.1145/3190339.3190344 .

[Mallasen_2023-15] Дэвид Малласен; Альберто А. Дель Баррио; Мануэль Прието-Матиас (11 мая 2023 г.). «Большой-ПЕРСИВАЛЬ: изучение собственного использования 64-битной положительной арифметики в научных вычислениях». arXiv : 2305.06946 [ cs.AR ].

[kulish_1986-16] Кулиш, Ульрих В .; Миранкер, Уиллард Л. (март 1986 г.). «Арифметика цифрового компьютера: новый подход». СИАМ Ред. 28 (1). СИАМ : 1–40. дои : 10.1137/1028001 .

[conga_paper_chung-17] С. Чанг, «Доказуемо правильная позиционная арифметика с большим целым числом с фиксированной запятой». АКМ, 2018.

[conga_paper_hofstee-18] Дж. Чен, З. Аль-Арс и Х. Хофсти, «Единица умножения матриц для позиций в реконфигурируемой логике с использованием (Open) CAPI». АКМ, 2018.

[conga_paper_Lehoczky-19] З. Лехочки, А. Сабо и Б. Фаркас, «Высокоуровневые программные реализации .NET Unum Type I и Posit с одновременной реализацией FPGA с использованием Hastlayer». АКМ, 2018.

[paper_Langroudi-20] С. Лангруди, Т. Пандит и Д. Кудитипуди, «Вывод глубокого обучения на встроенных устройствах: фиксированная точка против положительной». В книге «Энергоэффективное машинное обучение и когнитивные вычисления для встраиваемых приложений (EMC), 2018. [Онлайн]. Доступно: https://sites.google.com/view/asplos-emc2/program.

[iccd_2018_paper-21] Рохит Чаурасия, Джон Густавсон, Рахул Шреста, Джонатан Нойдорфер, Сангит Намбиар, Каустав Нийоги, Фархад Мерчант, Райнер Лейперс, « Аппаратный генератор параметризованной арифметической арифметики ». ICCD 2018: 334-341.

[Julia_1-22] Бирн, Саймон (29 марта 2016 г.). «Реализация Unums в Julia» . Проверено 30 мая 2016 г.

[Julia_2-23] «Унум-арифметика в Julia: Unums.jl» . Гитхаб . Проверено 30 мая 2016 г.

[Julia_3-24] «Юлия. Реализация Unums: README» . Гитхаб . Проверено 30 мая 2016 г.

[Julia_4-25] «Типы и операции Unum (универсального числа): Unums» . Гитхаб . Проверено 30 мая 2016 г.

[Pnums-26] "jwmerrill/Pnums.jl" . Гитхаб.com . Проверено 30 января 2017 г.

[Pivot_2019-27] «GitHub — ityonemo/Unum2: Pivot Unums» . Гитхаб . 29 апреля 2019 г.

[matlab-28] Инголе, Дипак; Квасница, Михал; Де Сильва, Химеши; Густафсон, Джон Л. «Уменьшение объема памяти при явном прогнозирующем управлении моделями с использованием универсальных чисел. Представлено на Всемирный конгресс IFAC 2017» . Проверено 15 ноября 2016 г.

[matlab_2-29] Инголе, Дипак; Квасница, Михал; Де Сильва, Химеши; Густафсон, Джон Л. «Прототип MATLAB Unum » Проверено 1 ноября 2016 г.

[Stillwater_2019-30] «GitHub — Stillwater-sc/Universal: универсальная арифметика чисел» . Гитхаб . 16.06.2019.

[SoftPosit-31] Jump up to: ^а ^б «Серлан Леонг/SoftPosit · GitLab» . ГитЛаб .

[SoftFloat-32] «Беркли СофтФлоат» . www.jhauser.us .

[Kahan_2016_Commentary-33] Кахан, Уильям М. (15 июля 2016 г.). «Комментарий профессора В. Кахана к книге Джона Л. Густафсона «Конец ошибки — Unum Computing», (2015) CRC Press» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 1 августа 2016 г. Проверено 1 августа 2016 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]