Норма (абелева группа)

О норме Бэра (пересечение нормализаторов) см. Норма (группа) .

В математике , особенно в абстрактной алгебре , если $(G,+)$ является ( абелевой ) группой с единичным элементом $e$ затем $\nu \colon G\to \mathbb {R}$ говорят, что норма это $(G,+)$ если:

1. Положительная определенность : $\nu (g)>0{\text{ for all }}g\neq e{\text{ and }}\nu (e)=0$,
2. Субаддитивность : $\nu (g+h)\leq \nu (g)+\nu (h)$,
3. Инверсия (симметрия): $\nu (-g)=\nu (g){\text{ for all }}g\in G$.

Альтернативное, более строгое определение нормы о $(G,+)$ требует

1. $\nu (g)>0{\text{ for all }}g\neq e$,
2. $\nu (g+h)\leq \nu (g)+\nu (h)$,
3. $\nu (mg)=|m|\,\nu (g){\text{ for all }}m\in \mathbb {Z}$.

Норма $\nu$ дискретен , если существует какое-то действительное число $\rho >0$ такой, что $\nu (g)>\rho$ в любое время $g\neq 0$.

Свободные абелевы группы

Абелева группа является свободной абелевой группой тогда и только тогда, когда она имеет дискретную норму.