Г ₂ -структура

В дифференциальной геометрии $G_{2}$ -структура — это важный тип G-структуры , который можно определить на гладком многообразии . Если M — гладкое многообразие размерности семь, то G ₂ -структура является редукцией структурной группы расслоения M к фреймов компактной исключительной группе Ли G ₂ .

Эквивалентные условия

Условие M, допускающего $G_{2}$ структура эквивалентна любому из следующих условий:

Первый и второй Стифеля–Уитни классы M исчезают.
M ориентируемо и допускает спиновую структуру .

Последнее условие выше правильно предполагает, что многие многообразия допускают $G_{2}$ -структуры.

История

Многообразие с голономией $G_{2}$ Впервые было введено Эдмондом Бонаном в 1966 году, который построил параллельную 3-форму, параллельную 4-форму и показал, что это многообразие является Риччи-плоским. ^{[ 1 ]} Первые полные, но некомпактные 7-многообразия с голономией. $G_{2}$ были построены Робертом Брайантом и Саламоном в 1989 году. ^{[ 2 ]} Первые компактные 7-многообразия с голономией $G_{2}$ были построены Домиником Джойсом в 1994 году и компактны. $G_{2}$ многообразия иногда называют «многообразиями Джойса», особенно в физической литературе. ^{[ 3 ]} В 2013 году М. Фират Арикан, Хёнджу Чо и Сема Салур показали, что любое многообразие со спиновой структурой и, следовательно, $G_{2}$ -структура допускает совместимую почти контактную метрическую структуру, а явная совместимая почти контактная структура построена для многообразий с $G_{2}$ -структура. ^{[ 4 ]} В той же работе было показано, что некоторые классы $G_{2}$ -многообразия допускают контактную структуру .

Примечания

Свойство быть $G_{2}$ -многообразия гораздо сильнее, чем допущение $G_{2}$ -структура. Действительно, $G_{2}$ -многообразие – это многообразие с $G_{2}$ - конструкция без скручивания .

Буква «Г», встречающаяся во фразах «Г-структура» и « $G_{2}$ -структура" относится к разным вещам. В первом случае G-структуры получили свое название от того, что произвольные группы Ли обычно обозначаются буквой "G". С другой стороны, буква "G" в " $G_{2}$ «истекает из того факта, что ее алгебра Ли относится к седьмому типу («G» — седьмая буква алфавита) в классификации сложных простых алгебр Ли Эли Картана .

См. также

G ₂ , G ₂ -многообразие , Spin(7)-многообразие

Примечания

^ Э. Бонан (1966), «О римановых многообразиях с группой голономии G2 или Spin (7)», CR Acad. наук. Париж , 262 : 127–129 .
^ Брайант, РЛ; Саламон, С.М. (1989), «О построении некоторых полных метрик с исключительной голономией», Duke Mathematical Journal , 58 (3): 829–850, doi : 10.1215/s0012-7094-89-05839-0 .
^ Джойс, Д.Д. (2000), Компактные многообразия со специальной голономией , Оксфордские математические монографии, Oxford University Press, ISBN 0-19-850601-5 .
^ Арикан, М. Фират; Чо, Хёнджу; Салур, Сема (2013), «Существование совместимых контактных структур на $G_{2}$ -многообразия», Asian J. Math. , 17 (2), International Press of Boston: 321–334, arXiv : 1112.2951 , doi : 10.4310/AJM.2013.v17.n2.a3 , S2CID 54942812 .

Ссылки

Брайант, Р.Л. (1987), «Метрики с исключительной голономией», Annals of Mathematics , 126 (2): 525–576, doi : 10.2307/1971360 , JSTOR 1971360 .

Эта дифференциальной геометрией, статья, связанная с незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Э. Бонан (1966), «О римановых многообразиях с группой голономии G2 или Spin (7)», CR Acad. наук. Париж , 262 : 127–129 .

[2] Брайант, РЛ; Саламон, С.М. (1989), «О построении некоторых полных метрик с исключительной голономией», Duke Mathematical Journal , 58 (3): 829–850, doi : 10.1215/s0012-7094-89-05839-0 .

[3] Джойс, Д.Д. (2000), Компактные многообразия со специальной голономией , Оксфордские математические монографии, Oxford University Press, ISBN 0-19-850601-5 .

[4] Арикан, М. Фират; Чо, Хёнджу; Салур, Сема (2013), «Существование совместимых контактных структур на $G_{2}$ -многообразия», Asian J. Math. , 17 (2), International Press of Boston: 321–334, arXiv : 1112.2951 , doi : 10.4310/AJM.2013.v17.n2.a3 , S2CID 54942812 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]