Полюс с замкнутым контуром

В теории систем полюсы замкнутого контура — это положения полюсов ( или собственных значений ) передаточной функции замкнутого контура в s-плоскости . Передаточная функция разомкнутого контура равна произведению всех блоков передаточной функции на прямом пути на блок-схеме . Передаточная функция замкнутого контура получается путем деления передаточной функции разомкнутого контура на сумму единицы и произведения всех блоков передаточной функции в контуре отрицательной обратной связи . Передаточная функция с обратной связью также может быть получена путем алгебраических манипуляций или манипуляций с блок-схемами. После того, как для системы получена передаточная функция замкнутого контура, полюсы замкнутого контура получаются путем решения характеристического уравнения. Характеристическое уравнение представляет собой не что иное, как приравнивание знаменателя передаточной функции замкнутого контура к нулю.

В теории управления существует два основных метода анализа систем с обратной связью: метод передаточной функции (или частотной области) и метод пространства состояний . При использовании метода передаточной функции внимание концентрируется на местах на s-плоскости, где передаточная функция неопределена ( полюсы ) или равна нулю ( нули ; см. Нули и полюса ). Разработчика интересуют две разные передаточные функции. Если контуры обратной связи в системе разомкнуты (то есть не могут работать), говорят о передаточной функции разомкнутого контура , а если контуры обратной связи работают нормально, говорят о передаточной функции замкнутого контура . Дополнительную информацию об отношениях между ними см. в корневом локусе .

Полюсы замкнутого контура в теории управления

Реакция линейной нестационарной системы на любой входной сигнал может быть получена из ее импульсной характеристики и переходной характеристики . Собственные значения системы полностью определяют естественную реакцию ( невынужденную реакцию ). В теории управления реакция на любой входной сигнал представляет собой комбинацию переходного режима и установившегося режима . Поэтому решающим параметром проектирования является расположение собственных значений или полюсов замкнутого контура.

В проекте корневого годографа коэффициент усиления K обычно параметризуется. Каждая точка на геометрическом графике удовлетворяет условию угла и условию величины и соответствует различному значению K . В системах с отрицательной обратной связью полюсы замкнутого контура перемещаются вдоль корневого годографа от полюсов разомкнутого контура к нулям разомкнутого контура по мере увеличения усиления. По этой причине корневой годограф часто используется для построения пропорционального управления , т.е. такого, для которого ${\textbf {G}}_{c}=K$.

Поиск полюсов замкнутого контура

Рассмотрим простую систему обратной связи с контроллером ${\textbf {G}}_{c}=K$, растение ${\textbf {G}}(s)$ и передаточная функция ${\textbf {H}}(s)$ в пути обратной связи . Обратите внимание, что система единой обратной связи имеет ${\textbf {H}}(s)=1$ и блок опускается. Для этой системы передаточная функция разомкнутого контура представляет собой произведение блоков прямого пути: ${\textbf {G}}_{c}{\textbf {G}}=K{\textbf {G}}$. Произведение блоков по всему замкнутому контуру равно ${\textbf {G}}_{c}{\textbf {G}}{\textbf {H}}=K{\textbf {G}}{\textbf {H}}$. Следовательно, передаточная функция замкнутого контура равна

${\textbf {T}}(s)={\frac {K{\textbf {G}}}{1+K{\textbf {G}}{\textbf {H}}}}.$

Полюсы замкнутого контура, или собственные значения, получаются путем решения характеристического уравнения ${1+K{\textbf {G}}{\textbf {H}}}=0$. В общем случае решением будет n комплексных чисел, где n — порядок характеристического многочлена .

Вышеизложенное справедливо для систем с одним входом и одним выходом (SISO). Расширение возможно для систем с несколькими входами и несколькими выходами, то есть для систем, в которых ${\textbf {G}}(s)$ и ${\textbf {K}}(s)$ представляют собой матрицы, элементы которых состоят из передаточных функций. В этом случае полюса являются решением уравнения

$\det({\textbf {I}}+{\textbf {G}}(s){\textbf {K}}(s))=0.\,$