Нули и поляки

В анализе (ветвь математики) полюс является определенным типом сингулярности сложной сложной функции переменной комплексном . Это самый простой тип не сменной сингулярности такой функции (см. Основную сингулярность ). точка $z 0$ - это полюс функции $F$ она нолью функции $1 F$ и $1 F$ является голоморфным ( т.е. если / / $, является$ Технически

Функция $f$ является мероморфным в открытом наборе $u$ Если для каждой точки $Z$ u $z$ есть район $,$ в котором, по крайней мере, один из $F$ и $1/ F$ является голоморфным.

Если $F$ является мероморфным в $u$ , то ноль $F$ представляет собой полюс $1/ f$ , а полюс $F$ - ноль $1/ f$ . Это вызывает двойственность между нулями и полюсами , что является фундаментальным для изучения мероморфных функций. Например, если функция является мероморфной на всей сложной плоскости плюс точка в бесконечности , то сумма множества его полюсов равна сумме множества его нулей.

Определения

Функция сложной переменной $Z$ является голоморфным в открытом домене $U$ , если она дифференцируется по отношению к $Z$ в каждой точке $u$ . Эквивалентно, это голоморфно, если он аналитический , то есть, если его серия Тейлора существует в каждой точке $u$ , и сходится к функции в некотором районе точки. Функция является мероморфной в $u$ , если каждая точка $U$ имеет окрестности, так что, по крайней мере, один из $F$ и $1/ F$ был голоморфным в нем.

Ноль представляет собой мероморфной функции $F$ комплексное число $z,$ такое, что $f (z) = 0$ . Полюс - F $f$ это ноль $/ .$ 1

Если $F$ - функция, которая является мероморфным в районе точки $z_{0}$ из сложной плоскости существует целое число $n,$ такое, что

(z-z_{0})^{n}f(z)

Голоморфно и ненулевой в районе $z_{0}$ (Это следствие аналитического свойства). Если $n > 0$ , то $z_{0}$ это полюс порядка ( или множественность) $n$ из $f$ . Если $n <0$ , то тогда $z_{0}$ это ноль порядка $|n|$ выключенный $$ . Простой нулевой и простой полюс - это термины, используемые для нулей и полюсов порядка $|n|=1.$ Степень иногда используется синонимом заказа.

Эта характеристика нулей и полюсов подразумевает, что нули и полюсы изолированы , то есть каждый нулевой или полюс имеет район, который не содержит никакого другого нуля и полюса.

Из-за порядка нулей и полюсов определяется как неотрицательное число $N$ и симметрия между ними, часто полезно рассматривать полюс порядка $n$ как ноль порядка $- n$ и ноль порядка $n$ как полюс порядка $- н$ . В этом случае точка, которая не является ни шестой, ни ноль, рассматривается как полюс (или нулевой) порядка 0.

Мероморфная функция может иметь бесконечно много нулей и полюсов. Это относится к гамма-функции (см. Изображение в Infobox), которое является мероморфным во всей сложной плоскости и имеет простой полюс в каждом неположительном целом. Функция Riemann Zeta также является мероморфной во всей сложной плоскости, с одним полюсом порядка 1 при $z = 1$ . Его нули в левом полуплодном плане - все негативные даже целые числа, а гипотеза Римана - это предположение о том, что все остальные нули находятся вдоль $re (z) = 1/2$ .

В районе точки $z_{0},$ Ненулевая мероморфная функция $F$ - это сумма серии Laurent с наиболее конечной основной частью (термины с отрицательными значениями индекса):

f(z)=\sum _{k\geq -n}a_{k}(z-z_{0})^{k},

где $n$ целое число, и $a_{-n}\neq 0.$ Опять же, если $n > 0$ (сумма начинается с $a_{-|n|}(z-z_{0})^{-|n|}$ , основная часть имеет $n$ терминов), один имеет полюс порядка $n$ , и если $n \leq 0$ (сумма начинается с $a_{|n|}(z-z_{0})^{|n|}$ , основной части нет), у кого -то есть ноль порядка $|n|$ .

В бесконечности

Функция $z\mapsto f(z)$ Является ли мероморфным в бесконечности , если в некотором районе бесконечности он является мероморфным (то есть за пределами некоторого диска ), и есть целое число $n,$ такое, что n такого, что

\lim _{z\to \infty }{\frac {f(z)}{z^{n}}}

существует и является ненулевым комплексным номером.

В этом случае точка в бесконечности представляет собой полюс порядка $n,$ если $n > 0$ , и ноль порядка $|n|$ Если $n <0$ .

Например, полином степени $N$ имеет полюс степени $N$ в бесконечности.

Комплексная плоскость, простиранная точкой в бесконечности, называется сферой Римана .

Если $F$ является функцией, которая является мероморфным во всей сфере Римана, то она имеет конечное количество нулей и полюсов, а сумма порядков его полюсов равна сумме порядков его нулей.

Каждая рациональная функция является мероморфной во всей сфере Римана, и, в данном случае, сумма порядков нулей или полюсов является максимумом степени числителя и знаменателя.

Примеры

Полином степени 9 имеет полюс порядка 9 при ∞, здесь построенный доменом раскраски сферы Римана.

Функция

f(z)={\frac {3}{z}}

Мероморфный на всей сфере Римана. У него есть полюс порядка 1 или простой полюс на

z=0,

и простой ноль в бесконечности.

Функция

f(z)={\frac {z+2}{(z-5)^{2}(z+7)^{3}}}

Мероморфный на всей сфере Римана. У него есть полюс Ордена 2 в

z=5,

и полюс порядка 3 в

z=-7

Полем У него простой ноль в

z=-2,

и четырехкратный ноль в бесконечности.

Функция

f(z)={\frac {z-4}{e^{z}-1}}

является мероморфным во всей сложной плоскости, но не в бесконечности. У него есть полюса порядка 1 в

z=2\pi ni{\text{ for }}n\in \mathbb {Z}

Полем Это можно увидеть, написав Тейлора серию

e^{z}

вокруг происхождения.

Функция

f(z)=z

имеет один полюс в бесконечности порядка 1 и один ноль на начале.

Все вышеупомянутые примеры, за исключением третьих, являются рациональными функциями . Для общего обсуждения нулей и полюсов таких функций см. Векс-сюжет § Непрерывное время .

Функционировать на кривой

Концепция нулей и полюсов естественным образом распространяется на функции на сложной кривой , то есть сложный аналитический коллектор измерения One (над сложными числами). Самыми простыми примерами таких кривых являются сложная плоскость и поверхность Римана . Это расширение осуществляется путем переноса структур и свойств через диаграммы , которые являются аналитическими изоморфизмами .

Точнее, пусть $f$ является функцией от сложной кривой $M$ до сложных чисел. Эта функция является голоморфным (соответственно мероморфным) в районе точки $,$ z $если$ есть диаграмма $\phi$ так что $f\circ \phi ^{-1}$ Голоморфно (соответствует мероморфным) в районе $\phi (z).$ Тогда $Z$ - полюс или ноль порядка $n,$ если то же самое относится и к $\phi (z).$

Если кривая компактная , и функция $F$ является мероморфной на всей кривой, то количество нулей и полюсов конечна, а сумма порядков полюсов равна сумме порядков нулей. Это один из основных фактов, которые участвуют в теореме Римана - Роха .

Смотрите также

Ссылки

Конвей, Джон Б. (1986). Функции одной сложной переменной i . Спрингер. ISBN 0-387-90328-3 .
Конвей, Джон Б. (1995). Функции одной сложной переменной II . Спрингер. ISBN 0-387-94460-5 .
Хенрири, Питер (1974). Применяемый и вычислительный комплексный анализ 1 . Джон Уайли и сыновья .

Внешние ссылки

Вейсштейн, Эрик У. "Полюс" . MathWorld .