Передача функции

В инженерии ( трансферная функция также известная как системная функция ^{[ 1 ]} или сетевая функция ) системы, подсистемы или компонента-это математическая функция , которая моделирует выход системы для каждого возможного ввода. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} Он широко используется в электронных инженерных инструментах, таких как симуляторы схемы и системы управления . В простых случаях эта функция может быть представлена как двумерный график независимого скалярного входа в зависимости от зависимого скалярного выхода (известный как кривая передачи или характерная кривая ). Переносные функции для компонентов используются для проектирования и анализа систем, собранных из компонентов, особенно с использованием метода блочной диаграммы , в теории электроники и управления .

Размеры и единицы модели трансферной функции Выходная реакция устройства для диапазона возможных входов. Переносная функция двухпортной электронной схемы, такой как усилитель , может быть двумерным графом скалярного напряжения на выходе как функции скалярного напряжения, приложенного к входу; Переносная функция электромеханического привода может быть механическим смещением подвижного рычага в зависимости от электрического тока, приложенного к устройству; Переносная функция фотоприемника может быть выходным напряжением как функцией светящейся интенсивности падающего света заданной длины волны .

Термин «передаточная функция» также используется в анализе частотной области систем с использованием методов преобразований, таких как преобразование Лапласа ; Это амплитуда выхода как функция частоты входного сигнала. Переносная функция электронного фильтра является амплитудой на выходе как функции частоты синусоидальной волны постоянной амплитуды, приложенной к входу. Для устройств оптической визуализации функция оптической передачи представляет собой преобразование Фурье функции точечного распространения (функция пространственной частоты ).

Линейные временные системы

Переносные функции обычно используются в анализе таких систем, как однофотовые фильтры в обработке сигналов , теорию связи и теорию управления . Термин часто используется исключительно для обозначения линейных систем-инвариантных (LTI). Большинство реальных систем имеют нелинейные характеристики ввода-вывода, но многие системы, работающие в рамках номинальных параметров (не чрезмерно управляемых), имеют достаточно близкое к линейному, чтобы теория системы LTI является приемлемым представлением их поведения ввода-вывода.

Непрерывное время

Описания приведены в терминах сложной переменной , $s=\sigma +j\cdot \omega$ Полем Во многих приложениях достаточно установить $\sigma =0$ (таким образом $s=j\cdot \omega$ ), что уменьшает преобразование Лапласа со сложными аргументами в преобразование Фурье с реальным аргументом ω. Это распространено в приложениях, в основном заинтересованных в стационарном ответе системы LTI (часто в случае обработки сигналов и теории связи ), а не в мимолетных переходных и выключенных проблемах или проблемах стабильности.

Для непрерывного времени входного сигнала $x(t)$ и вывод $y(t)$ , разделение преобразования Лапласа вывода, $Y(s)={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}$ по преобразованию Лапласа ввода, $X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}$ , дает трансферную функцию системы $H(s)$ :

H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}}{{\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}}}

который можно переставить как:

Y(s)=H(s)\;X(s)\,.

Дискретное время

Сигналы с дискретным временем могут быть отмечены как массивы, индексированные целым числом $n$ (например $x[n]$ для ввода и $y[n]$ для вывода). Вместо использования преобразования Лапласа (что лучше для сигналов непрерывного времени), сигналы с дискретным временем рассматриваются с использованием z-преобразования (отмечается с соответствующей буквой для заглавного столица, например $X(z)$ и $Y(z)$ ), поэтому трансферная функция системы дискретного времени может быть написана как:

$H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {{\mathcal {Z}}\{y[n]\}}{{\mathcal {Z}}\{x[n]\}}}.$

Прямой вывод из дифференциальных уравнений

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

L[u]={\frac {d^{n}u}{dt^{n}}}+a_{1}{\frac {d^{n-1}u}{dt^{n-1}}}+\dotsb +a_{n-1}{\frac {du}{dt}}+a_{n}u=r(t)

где U и R являются подходящими плавными функциями T , а L - оператор, определяемый на соответствующем функциональном пространстве, преобразует u в r . Такое уравнение может использоваться для ограничения выходной функции u в терминах принуждения функции r . Переносная функция может использоваться для определения оператора $F[r]=u$ это служит правым обратным L , что означает, что $L[F[r]]=r$ .

Решения гомогенного дифференциального уравнения с постоянным коэффициентом $L[u]=0$ можно найти, пытаясь $u=e^{\lambda t}$ Полем Эта замена дает характерный многочлен

p_{L}(\lambda )=\lambda ^{n}+a_{1}\lambda ^{n-1}+\dotsb +a_{n-1}\lambda +a_{n}\,

Неоднократный случай может быть легко решена, если входная функция r также имеет форму $r(t)=e^{st}$ Полем Заменив $u=H(s)e^{st}$ , $L[H(s)e^{st}]=e^{st}$ Если мы определим

H(s)={\frac {1}{p_{L}(s)}}\qquad {\text{wherever }}\quad p_{L}(s)\neq 0.

Например, используются другие определения трансферной функции, например, $1/p_{L}(ik).$ ^{[ 5 ]}

Получение, переходное поведение и стабильность

Общий синусоидальный вход в систему частоты $\omega _{0}/(2\pi )$ может быть написан $\exp(j\omega _{0}t)$ Полем Реакция системы на синусоидальный вход, начиная с начала с времени $t=0$ будет состоять из суммы устойчивого ответа и переходного ответа. Устойчивый отклик-это выходной сигнал системы в пределе бесконечного времени, а переходной реакцией является разница между откликом и устойчивым ответом; Это соответствует однородному решению дифференциального уравнения . Переносная функция для системы LTI может быть написана в качестве продукта:

H(s)=\prod _{i=1}^{N}{\frac {1}{s-s_{P_{i}}}}

где S _{P _i} - n корни характерного полинома и будут полюсами передаточной функции. В трансферной функции с одним полюсом $H(s)={\frac {1}{s-s_{P}}}$ где $s_{P}=\sigma _{P}+j\omega _{P}$ , преобразование Лапласа общей синусоиды амплитуды единицы будет ${\frac {1}{s-j\omega _{i}}}$ Полем Преобразование вывода Лапласа будет ${\frac {H(s)}{s-j\omega _{0}}}$ и временным выводом будет обратное преобразование Лапласа этой функции:

g(t)={\frac {e^{j\,\omega _{0}\,t}-e^{(\sigma _{P}+j\,\omega _{P})t}}{-\sigma _{P}+j(\omega _{0}-\omega _{P})}}

Второй член в числителе - это переходный отклик, и в пределах бесконечного времени он будет расходиться до бесконечности, если σ _P является положительным. Чтобы система была стабильной, ее передаточная функция не должна иметь полюсов, чьи реальные части положительны. Если трансферная функция строго стабильна, реальные части всех полюсов будут отрицательными, а переходное поведение будет иметь тенденцию к нулю в пределе бесконечного времени. Устойчивый выход будет:

g(\infty )={\frac {e^{j\,\omega _{0}\,t}}{-\sigma _{P}+j(\omega _{0}-\omega _{P})}}

Частотная характеристика (или «усиление») g системы определяется как абсолютное значение отношения выходной амплитуды к устойчивому входной амплитуде:

G(\omega _{i})=\left|{\frac {1}{-\sigma _{P}+j(\omega _{0}-\omega _{P})}}\right|={\frac {1}{\sqrt {\sigma _{P}^{2}+(\omega _{P}-\omega _{0})^{2}}}},

которое является абсолютным значением трансферной функции $H(s)$ оценивается в $j\omega _{i}$ Полем Этот результат действителен для любого количества полюсов трансферной функции.

Обработка сигнала

Если $x(t)$ вход в общую линейную систему, инвариантную времени , и $y(t)$ вывод, и двустороннее преобразование Лапласа $x(t)$ и $y(t)$ является

{\begin{aligned}X(s)&={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-st}\,dt,\\Y(s)&={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }y(t)e^{-st}\,dt.\end{aligned}}

Вывод связан с входом трансферной функцией $H(s)$ как

Y(s)=H(s)X(s)

и сама передаточная функция

H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}.

Если сложный гармонический сигнал с синусоидальным компонентом с амплитудой $|X|$ , угловая частота $\omega$ и фаза $\arg(X)$ , где аргумент - аргумент

x(t)=Xe^{j\omega t}=|X|e^{j(\omega t+\arg(X))}

где

X=|X|e^{j\arg(X)}

вводит в линейную инвариантную систему, соответствующий компонент в выходе:

{\begin{aligned}y(t)&=Ye^{j\omega t}=|Y|e^{j(\omega t+\arg(Y))},\\Y&=|Y|e^{j\arg(Y)}.\end{aligned}}

В линейной временной системе частота ввода $\omega$ не изменился; Только амплитуда и фазовый угол синусоида были изменены системой. Частотная характеристика $H(j\omega )$ описывает это изменение для каждой частоты $\omega$ с точки зрения прибыли

G(\omega )={\frac {|Y|}{|X|}}=|H(j\omega )|

и сдвиг фазы

\phi (\omega )=\arg(Y)-\arg(X)=\arg(H(j\omega )).

Фазовая задержка (частотно-зависимая сумма задержки, введенную в синусоиду с помощью переносной функции)

\tau _{\phi }(\omega )=-{\frac {\phi (\omega )}{\omega }}.

Задержка группы (частотно-зависимое количество задержки, введенное в оболочку синусоида с помощью передаточной функции) обнаруживается путем вычисления производной фазового сдвига относительно угловой частоты $\omega$ ,

\tau _{g}(\omega )=-{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}.

Переносная функция также может быть показана с использованием преобразования Фурье , особого случая двустороннего преобразования Лапласа , где $s=j\omega$ .

Общие семейства функции передачи

Хотя любая система LTI может быть описана некоторой трансферной функцией, обычно используются «Семейства» специальных трансферных функций:

Фильтр Butterworth - максимально плоский в полосе пропускания и остановки для данного порядка
Фильтр Chebyshev (тип I) - максимально плоский в полосе остановки, более четкий обрезка, чем фильтр Butterworth того же порядка.
Фильтр Chebyshev (тип II) - максимально плоский в полосе пропуска
Фильтр Бесселя - максимально постоянная групповая задержка для данного порядка
Эллиптический фильтр - самый резкий отсечение (самый узкий переход между полосой проходов и полосой остановки) для данного порядка
Оптимальный фильтр «L»
Гауссовый фильтр - минимальная групповая задержка; не дает превышения пошаговой функции
Поднятый косин фильтр

Управление инженерией

В управлении инженерной и теорией управления трансферная функция получена с преобразованием Лапласа . Переносная функция была основным инструментом, используемым в классической инженерии управления. может Переносная матрица быть получена для любой линейной системы для анализа его динамики и других свойств; Каждый элемент передачи матрицы представляет собой передаточную функцию, связывающую конкретную входную переменную с выходной переменной. представленное промежуточное пространство состояния предложил Говард Х. Розенброк и методы переносительной функции и известна как Матрица системы Розенброк .

Визуализация

При изображении передаточные функции используются для описания взаимосвязи между светом сцены, сигналом изображения и отображаемым светом.

Нелинейные системы

Переносные функции не существуют для многих нелинейных систем , таких как осцилляторы релаксации ; ^{[ 6 ]} Однако иногда можно использовать описание функций для приближения таких нелинейных временных систем.

Смотрите также

Ссылки

^ Бернд Джирод , Рудольф Рабенштейн, Александр Стенгер, Сигналы и Системы , 2 -е изд., Wiley, 2001, ISBN 0-471-98800-6 p. 50
^ MA Laughton; DF Warne (27 сентября 2002 г.). Справочник инженера -электрика (16 изд.). Новый. С. 14/9–14/10. ISBN 978-0-08-052354-5 .
^ EA Parr (1993). Справочник логического дизайнера: Схемы и системы (2 -е изд.). Новизна. С. 65–66. ISBN 978-1-4832-9280-9 .
^ Ян Синклер; Джон Дантон (2007). Электронное и электрическое обслуживание: потребительская и коммерческая электроника . Routledge. п. 172. ISBN 978-0-7506-6988-7 .
^ Биркхофф, Гаррет; Рота, Джан-Карло (1978). Обычные дифференциальные уравнения . Нью -Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-05224-1 . ^{[ страница необходима ]}
^ Valentijn de Smedt, Жорж Гилен и Wim Dehaene (2015). Температура и указание указания напряжения питания Ссылки на беспроводные сенсорные сети . Спрингер. п. 47. ISBN 978-3-319-09003-0 .

Внешние ссылки

ECE 209: Обзор схем как систем LTI - короткий праймер по математическому анализу (электрических) систем LTI.

[1] Бернд Джирод , Рудольф Рабенштейн, Александр Стенгер, Сигналы и Системы , 2 -е изд., Wiley, 2001, ISBN 0-471-98800-6 p. 50

[LaughtonWarne2002-2] MA Laughton; DF Warne (27 сентября 2002 г.). Справочник инженера -электрика (16 изд.). Новый. С. 14/9–14/10. ISBN 978-0-08-052354-5 .

[Parr1993-3] EA Parr (1993). Справочник логического дизайнера: Схемы и системы (2 -е изд.). Новизна. С. 65–66. ISBN 978-1-4832-9280-9 .

[SinclairDunton2007-4] Ян Синклер; Джон Дантон (2007). Электронное и электрическое обслуживание: потребительская и коммерческая электроника . Routledge. п. 172. ISBN 978-0-7506-6988-7 .

[5] Биркхофф, Гаррет; Рота, Джан-Карло (1978). Обычные дифференциальные уравнения . Нью -Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-05224-1 . ^{[ страница необходима ]}

[Dehaene-6] Valentijn de Smedt, Жорж Гилен и Wim Dehaene (2015). Температура и указание указания напряжения питания Ссылки на беспроводные сенсорные сети . Спрингер. п. 47. ISBN 978-3-319-09003-0 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]