Анализ корневого локуса

В теории управления и стабильности теории анализ корневого локуса является графическим методом для изучения того, как корни системы изменяются с изменением определенного параметра системы , обычно усиление в системе обратной связи . Это метод, используемый в качестве критерия стабильности в области классической теории контроля, разработанной Уолтером Р. Эвансом , который может определять стабильность системы. Корневой локус распознает полюсы трансферной функции закрытого петли в комплексной S -плане в зависимости от параметра усиления (см. График полюса -нулевой ).

Эванс также изобрел в 1948 году аналоговый компьютер для вычисления корневых локусов, называемый «спираль» (после «спирали» и « правила скольжения »); Он обнаружил широкое использование до появления цифровых компьютеров . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}

Использование

В дополнение к определению стабильности системы, корневой локус может использоваться для разработки коэффициента демпфирования ( ζ ) и естественной частоты ( ω _n ) системы обратной связи. Линии постоянного коэффициента демпфирования можно извлечь радиально из начала координат, и линии постоянной естественной частоты можно нарисовать как арккозин, центральные точки которого совпадают с началом происхождения. Выбирая точку вдоль локуса корня, которая совпадает с желаемой коэффициентом демпфирования и естественной частотой, усиление K может быть рассчитано и реализовано в контроллере. Более сложные методы конструкции контроллера с использованием корневого локуса доступны в большинстве учебников управления: например, отставание, свинец , PI, PD и PID с этой техникой могут быть разработаны -контроллеры.

Определение коэффициента демпфирования и естественной частоты предполагает, что общая система обратной связи хорошо аппроксимируется системой второго порядка; т.е. система имеет доминирующую пару полюсов. Это часто не так, поэтому хорошей практикой является имитация окончательного дизайна, чтобы проверить, выполняются ли цели проекта.

Определение

Корневой локус системы обратной связи -это графическое представление в комплексной S -плоскости возможных местоположений его полюсов с закрытым контуром для различных значений определенного параметра системы. Точки, которые являются частью корневого локуса, удовлетворяют условию угла. Значение параметра для определенной точки корневого локуса может быть получено с использованием условия величины .

Предположим, есть система обратной связи с входным сигналом $X(s)$ и выходной сигнал $Y(s)$ Полем прямого пути передачи Функция $G(s)$ ; функция передачи пути обратной связи $H(s)$ .

Для этой системы трансферная функция с закрытой контукой задается ^{[ 10 ]}

T(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {G(s)}{1+G(s)H(s)}}

Таким образом, полюса с закрытой трансферной функцией с закрытой контукой являются корнями характерного уравнения $1+G(s)H(s)=0$ Полем Корни этого уравнения можно найти везде, где бы $1+G(s)H(s)=0$ .

В системах без чистой задержки продукт $G(s)H(s)$ является рациональной полиномиальной функцией и может быть выражена как ^{[ 11 ]}

G(s)H(s)=K{\frac {(s+z_{1})(s+z_{2})\cdots (s+z_{m})}{(s+p_{1})(s+p_{2})\cdots (s+p_{n})}}

где $-z_{i}$ являются $m$ нули , $-p_{i}$ являются $n$ поляки и $K$ это скалярное усиление. Как правило, корневая локусная диаграмма будет указывать на местоположения полюсов трансферной функции для различных значений параметра $K$ Полем График корневого локуса будет всеми этими точками в S -плане, где $G(s)H(s)=-1$ для любого значения $K$ .

Факторинг $K$ и использование простых мономов означает, что оценка рационального полинома может быть сделана с помощью векторных методов, которые добавляют или вычитают углы и умножаются или разделяют величины. Векторная формулировка возникает из того факта, что каждый мономальный термин $(s-a)$ в факторизованном $G(s)H(s)$ представляет вектор из $a$ к $s$ в S-плоскости. Полином может быть оценен с учетом величин и углов каждого из этих векторов.

В соответствии с векторной математикой, угол результата рационального полинома является суммой всех углов в числителе за вычетом суммы всех углов в знаменателе. Таким образом, чтобы проверить, находится ли точка в S -плане на корневом локусе, необходимо учитывать только углы для всех полюсов и нулей с открытым циклом. Это известно как условие угла.

Точно так же величина результата рационального полинома является произведением всех величин в числителе, деленных на произведение всех величин в знаменателе. Оказывается, что расчет величины не требуется, чтобы определить, является ли точка в S-плоскости частью корневого локуса, потому что $K$ варьируется и может принять произвольное реальное значение. Для каждой точки корневого локуса значение $K$ можно рассчитать. Это известно как условие величины.

Корневой локус дает только местоположение полюсов с замкнутым циклом в качестве усиления $K$ варьируется. Ценность $K$ не влияет на местоположение нулей. Зороны с открытой петлей такие же, как и нулы с закрытой петлей.

Угол условие

Точка $s$ комплекса S -плана удовлетворяет условию угла, если

\angle (G(s)H(s))=\pi

что то же самое, что сказать, что

\sum _{i=1}^{m}\angle (s+z_{i})-\sum _{i=1}^{n}\angle (s+p_{i})=\pi

то есть сумма углов от нулей с открытой петлей до точки зрения $s$ (Измерено на нулевое wrt. Горизонтальный проход через этот нулевой) минус углы от полюсов с открытой петлей до точки $s$ (измерено на полюс, горизонтальный проход через этот полюс) должен быть равен $\pi$ , или 180 градусов . Обратите внимание, что эти интерпретации не должны быть приняты за разницу в угле между точкой $s$ и нули/полюсы.

Состояние величины

Значение $K$ удовлетворяет условию величины для данного $s$ точка корневого локуса, если

|G(s)H(s)|=1

что то же самое, что сказать, что

K{\frac {|s+z_{1}||s+z_{2}|\cdots |s+z_{m}|}{|s+p_{1}||s+p_{2}|\cdots |s+p_{n}|}}=1

.

Нарисование корневого локуса

Используя несколько основных правил, метод корневого локуса может построить общую форму пути (локус), пройденной корнями в качестве значения $K$ варьируется. График корневого локуса дает представление о стабильности и динамике этой системы обратной связи для разных значений $K$ . ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]} Правила следующие:

Отметьте полюса и нули с открытой петлей
Отметьте настоящую долю оси слева от нечетного количества полюсов и нулей
Найти асимптоты

Пусть p - количество полюсов, а z - количество нулей:

P-Z={\text{number of asymptotes}}\,

Асимптоты пересекают реальную ось при $\alpha$ (который называется центроидом) и вылететь под углом $\phi$ дано:

\phi _{l}={\frac {180^{\circ }+(l-1)360^{\circ }}{P-Z}},l=1,2,\ldots ,P-Z

\alpha ={\frac {\operatorname {Re} \left(\sum _{P}-\sum _{Z}\right)}{P-Z}}

где $\sum _{P}$ является суммой всех мест полюсов, $\sum _{Z}$ является суммой всех мест явных нулей и $\operatorname {Re} ()$ Обозначает, что нас интересует только реальная часть.

Фазовое условие в точке испытаний, чтобы найти угол вылета
Вычислить отколочие/взломать точки

Откоренные точки расположены на корнях следующего уравнения:

{\frac {dG(s)H(s)}{ds}}=0{\text{ or }}{\frac {d{\overline {GH}}(z)}{dz}}=0

После того, как вы решите для Z , настоящие корни дают вам отколотые/повторные точки. Сложные корни соответствуют отсутствию отрыва/повторного входа.

Построение корневого локуса

Учитывая общий рациональный полином с замкнутым контуром

1+G(s)H(s)=1+K{\frac {b_{m}s^{m}+\ldots +b_{1}s+b_{0}}{s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots +a_{1}s+a_{0}}},

характерное уравнение может быть упрощено до

s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots +(a_{m}+Kb_{m})s^{m}+\ldots +(a_{1}+Kb_{1})s+(a_{0}+Kb_{0})=0.

Решения $s$ К этому уравнению находятся корневые локусы трансферной функции с закрытой контукой.

Пример

Данный

1+G(s)H(s)=1+K{\frac {s+3}{s^{3}+3s^{2}+5s+1}},

У нас будет характерное уравнение

s^{3}+3s^{2}+(5+K)s+(1+3K)=0.

Следующий код MATLAB будет построить корневой локус передаточной функции с закрытым контуром как $K$ варьируется с использованием описанного ручного метода, а также rlocus встроенная функция:

% Manual method
K_array = (0:0.1:220).'; % .' is a transpose. Looking up in Matlab documentation.
NK = length(K_array);
x_array = zeros(NK, 3);
y_array = zeros(NK, 3);

for nK = 1:NK
   K = K_array(nK);
   C = [1, 3, (5 + K), (1 + 3*K)];
   r = roots(C).';
   x_array(nK,:) = real(r);
   y_array(nK,:) = imag(r);
end

figure();
plot(x_array, y_array);
grid on;

% Built-in method
sys = tf([1, 3], [1, 3, 5, 1]);
figure();
rlocus(sys);

Следующий код Python также может использоваться для расчета и построения корневого локуса передаточной функции с закрытой контукой с использованием библиотеки систем управления Python ^{[ 14 ]} и matplotlib ^{[ 15 ]}.

import control as ct
import matplotlib.pyplot as plt

# Define the transfer function
sys = ct.TransferFunction([1, 3], [1, 3, 5, 1])

# Calculate and plot the root locus
roots, gains = ct.root_locus(sys, plot=True)
plt.show()

z -Plane против S -Plane

Метод корневого локуса также может быть использован для анализа систем отбора данных путем вычисления корневого локуса на z плоскости , дискретного аналога S -плоскости. Уравнение $z = e ул$ Карты непрерывных полюсов S -плоскости (не нулей) в z -домен, где $t$ -период отбора проб. Стабильная, левая половина S -плоскости отображается во внутреннюю часть единичного круга z -планеты, с S -плоскостным происхождением, приравнивающим | Z | = 1 (потому что e ⁰ = 1). Диагональная линия постоянного демпфирования в плане S -плоскости карты вокруг спирали из (1,0) в плоскости Z , когда он кричит в направлении координат. Nyquist Критерии псевдонирования выражаются графически в z -плоскости с помощью x -оси, где $ωnt = π$ . Линия постоянного демпфирования только что описала спирали в неопределенном времени, но в системах отбора данных содержание частоты подсчитывается до более низких частот с помощью интегральных мультипликаций частоты Nyquist . То есть отбранная реакция появляется в виде более низкой частоты, а также лучше демпфирован, поскольку корень в плоскости z одинаково хорошо отображается в первую петлю другой, лучшей демпфированной спиральной кривой постоянного демпфирования. Многие другие интересные и соответствующие свойства отображения могут быть описаны, не в последнюю очередь, что контроллеры Z -плоскости, имеющие свойство, которое они могут быть непосредственно реализованы из функции передачи z -плоскости (соотношение полиномов Zero/полюса), можно представить графически на z -плановая график функции переноса открытого цикла и немедленно проанализирован с использованием корневого локуса.

Поскольку корневой локус является методом графического угла, правила корня локуса работают одинаково в $Z$ и $S.$ плоскостях

Идея корневого локуса может быть применена ко многим системам, где $один параметр k$ варьируется . Например, полезно подметать любой системный параметр, для которого точное значение является неопределенным для определения его поведения.

Смотрите также

Ссылки

^ "1990" . Школа технического инженера Маккелви в Вашингтонском университете в Сент -Луисе . Получено 2023-03-12 .
^ Эванс, Уолтер Р. (1965), Spirule Trancess , Whittier, CA: The Spirule Company
^ Роберт Х., JC (2012). Динамика физических систем . Дувр Гражданский и машиностроение. Dover Publications. п. 727. ISBN 978-0-486-13969-2 Полем Получено 2023-03-12 .
^ Doebelin, EO (1985). Принципы системы управления и дизайн . Уайли. п. 312. ISBN 978-0-471-08815-8 Полем Получено 2023-03-12 .
^ Savant, CJ (1958). Основная конструкция системы управления обратной связью . Инженерная специальная коллекция. МакГроу-Хилл . Получено 2023-03-12 .
^ Харрис, Л.Д. (1961). Введение в системы обратной связи . Уайли. ISBN 978-0-598-48455-0 Полем Получено 2023-03-12 .
^ D'Azzo, JJ; Houpis, Ch (1968). Принципы электротехники: электрические цепи, электроника, приборы, преобразование энергии, системы управления, компьютеры . CE Merrill Publishing Company . Получено 2023-03-12 .
^ Гупта, Южная Каролина; Hasdorff, L. (1983). Основы автоматического контроля . Кригер. ISBN 978-0-89874-578-8 Полем Получено 2023-03-12 .
^ Дрансфилд, П. (1968). Инженерные системы и автоматический контроль . Прентис-Холл . Получено 2023-03-12 .
^ Что 1967 , с. 331.
^ Что 1967 , с. 332.
^ Эванс, WR (январь 1948 г.), «Графический анализ систем управления», транс. Aiee , 67 (1): 547–551, doi : 10.1109/t-Aiee.1948.5059708 , ISSN 0096-3860 , S2CID 51634121
^ Evans, WR (январь 1950 г.), «Синтез систем управления по методу корневого локуса», транс. Aiee , 69 (1): 66–69, doi : 10.1109/t-Aiee.1950.5060121 , ISSN 0096-3860 , S2CID 51633514
^ Библиотека систем управления Python , библиотека систем управления для Python, 2023-12-19 , извлечена 2023-12-19
^ "Matplotlib - визуализация с питоном" . matplotlib.org . Получено 2023-12-19 .

Куо, Бенджамин С. (1967). «Техника корневого локуса». Автоматические системы управления (второе изд.). Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. С. 329–388. ASIN B000KPT04C . LCCN 67016388 . OCLC 3805225 .

Дальнейшее чтение

Эш, RH; Ash, GH (октябрь 1968 г.), «Численное вычисление корневых локусов с использованием техники Ньютона-Рафсона», IEEE Transactions по автоматическому управлению , 13 (5): 576–582, doi : 10.1109/tac.1968.1098980
Williamson, SE (май 1968 г.), «Данные проектирования, чтобы помочь построению корневых локусов (часть I)», журнал «Контроль» , 12 (119): 404–407
Williamson, SE (июнь 1968 г.), «Данные проектирования, чтобы помочь построению корневых локусов (часть II)», журнал «Контроль» , 12 (120): 556–559
Williamson, SE (июль 1968 г.), «Данные проектирования, чтобы помочь построению корневых локусов (часть III)», журнал «Контроль» , 12 (121): 645–647
Williamson, SE (15 мая 1969 г.), «Компьютерная программа для получения временной реакции систем дискретизированных данных», Электронные буквы , 5 (10): 209–210, Bibcode : 1969ell ..... 5..209W , doi : 10.1049/EL: 19690159
Williamson, SE (июль 1969 г.), «Точный график локуса корня, включая эффекты задержки с чистым временем. Описание компьютера-программы» , Труды Института инженеров-электриков , 116 (7): 1269–1271, doi : 10.1049/pie. 1969.0235 , архив с оригинала 29 июня 2019 г.

Внешние ссылки

Wikibooks: системы управления/корневой локус
Учебник Карнеги Меллон / Университет Мичигана
Отличные примеры. Начните с примера 5 и перейдите назад через 4 к 1. Также посетите главную страницу
Метод корня: рисунок ручной техникой
«Rootlocs»: бесплатный многофункциональный платтер корневой локусы для платформ Mac и Windows
«Корневой локус»: бесплатный платтер/анализатор корневого локуса для Windows
Корневой локус в ControltioryPro.com
Анализ корневого локуса систем управления
Функция MATLAB для вычисления корневого локуса модели с открытой петлей SISO
Wechsler, ER (январь -март 1983), «Алгоритмы корневого локуса для программируемых карманных калькуляторов» (PDF) , Отчет об телекоммуникациях и сборе данных , 73 , НАСА: 60–64, BIBCODE : 1983TDAPR..73 ... 60 Вт
Функция Mathematica для построения корневого локуса
Шекара, Томислав Б.; Рапайч, Милан Р. (1 октября 2015 г.). «Пересмотр метода корневого локуса с приложениями». Журнал управления процессом . 34 : 26–34. doi : 10.1016/j.jprocont.2015.07.007 .

[McKelvey_School_of_Engineering_at_Washington_University_in_St._Louis-1] "1990" . Школа технического инженера Маккелви в Вашингтонском университете в Сент -Луисе . Получено 2023-03-12 .

[2] Эванс, Уолтер Р. (1965), Spirule Trancess , Whittier, CA: The Spirule Company

[Robert_H._2012_p._727-3] Роберт Х., JC (2012). Динамика физических систем . Дувр Гражданский и машиностроение. Dover Publications. п. 727. ISBN 978-0-486-13969-2 Полем Получено 2023-03-12 .

[Doebelin_1985_p._312-4] Doebelin, EO (1985). Принципы системы управления и дизайн . Уайли. п. 312. ISBN 978-0-471-08815-8 Полем Получено 2023-03-12 .

[Savant_1958_p.-5] Savant, CJ (1958). Основная конструкция системы управления обратной связью . Инженерная специальная коллекция. МакГроу-Хилл . Получено 2023-03-12 .

[Harris_1961_p.-6] Харрис, Л.Д. (1961). Введение в системы обратной связи . Уайли. ISBN 978-0-598-48455-0 Полем Получено 2023-03-12 .

[DAzzo_Houpis_1968_p.-7] D'Azzo, JJ; Houpis, Ch (1968). Принципы электротехники: электрические цепи, электроника, приборы, преобразование энергии, системы управления, компьютеры . CE Merrill Publishing Company . Получено 2023-03-12 .

[Gupta_Hasdorff_1983_p.-8] Гупта, Южная Каролина; Hasdorff, L. (1983). Основы автоматического контроля . Кригер. ISBN 978-0-89874-578-8 Полем Получено 2023-03-12 .

[Dransfield_1968_p.-9] Дрансфилд, П. (1968). Инженерные системы и автоматический контроль . Прентис-Холл . Получено 2023-03-12 .

[FOOTNOTEKuo1967331-10] Что 1967 , с. 331.

[FOOTNOTEKuo1967332-11] Что 1967 , с. 332.

[12] Эванс, WR (январь 1948 г.), «Графический анализ систем управления», транс. Aiee , 67 (1): 547–551, doi : 10.1109/t-Aiee.1948.5059708 , ISSN 0096-3860 , S2CID 51634121

[13] Evans, WR (январь 1950 г.), «Синтез систем управления по методу корневого локуса», транс. Aiee , 69 (1): 66–69, doi : 10.1109/t-Aiee.1950.5060121 , ISSN 0096-3860 , S2CID 51633514

[14] Библиотека систем управления Python , библиотека систем управления для Python, 2023-12-19 , извлечена 2023-12-19

[15] "Matplotlib - визуализация с питоном" . matplotlib.org . Получено 2023-12-19 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]