Анализ корневого локуса

О поведении полиномиальных корней в целом см. Геометрические свойства полиномиальных корней .

Спирула

В теории управления и устойчивости теории анализ корневого годографа представляет собой графический метод исследования того, как корни системы изменяются при изменении определенного параметра системы , что обычно является выигрышем в системе с обратной связью . Это метод, используемый в качестве критерия устойчивости в области классической теории управления, разработанный Уолтером Р. Эвансом, который может определить устойчивость системы. Корневой годограф отображает полюсы в передаточной функции замкнутого контура комплексной s -плоскости как функцию параметра усиления (см. график полюс – ноль ).

Эванс также изобрел в 1948 году аналоговый компьютер для вычисления корневых локусов, названный «Спирула» (от слов «спираль» и « логарифмическая линейка »); он нашел широкое применение до появления цифровых компьютеров .

Использует

Влияние расположения полюсов на собственную частоту и коэффициент затухания системы второго порядка. этого полюса Комплексное сопряжение (которое обязательно существует, поскольку этот полюс имеет ненулевую мнимую компоненту) не показано.

Помимо определения устойчивости системы, корневой годограф можно использовать для расчета коэффициента затухания ( ζ ) и собственной частоты ( ω _n ) системы обратной связи. Линии постоянного коэффициента затухания можно провести радиально от начала координат, а линии постоянной собственной частоты можно нарисовать в виде арккосинуса, центральные точки которого совпадают с началом координат. Выбрав точку на корневом критерии, которая совпадает с желаемым коэффициентом демпфирования и собственной частотой, можно рассчитать коэффициент усиления K и реализовать его в контроллере. Более сложные методы проектирования контроллера с использованием корневого годографа доступны в большинстве учебников по управлению: например, с запаздыванием, опережением , ПИ, ПД и ПИД с помощью этого метода можно приблизительно спроектировать регуляторы .

Определение коэффициента демпфирования и собственной частоты предполагает, что общая система обратной связи хорошо аппроксимируется системой второго порядка; т.е. система имеет доминирующую пару полюсов. Зачастую это не так, поэтому рекомендуется смоделировать окончательный проект, чтобы проверить, достигнуты ли цели проекта.

Определение

Корневой годограф системы обратной связи представляет собой графическое представление в комплексной s -плоскости возможных положений ее полюсов замкнутого контура при изменении значений определенного параметра системы. Точки, являющиеся частью корневого годографа, удовлетворяют условию угла. Значение параметра для определенной точки корневого годографа можно получить с помощью условия величины .

Предположим, имеется система обратной связи с входным сигналом $X(s)$ и выходной сигнал $Y(s)$. прямого пути Передаточная функция : $G(s)$; передаточная функция пути обратной связи $H(s)$.

Для этой системы передаточная функция замкнутого контура определяется выражением

$T(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {G(s)}{1+G(s)H(s)}}$

Таким образом, полюсы замкнутой передаточной функции являются корнями характеристического уравнения $1+G(s)H(s)=0$. Корни этого уравнения можно найти везде, где $1+G(s)H(s)=0$.

В системах без чистой задержки произведение $G(s)H(s)$ является рациональной полиномиальной функцией и может быть выражена как

$G(s)H(s)=K{\frac {(s+z_{1})(s+z_{2})\cdots (s+z_{m})}{(s+p_{1})(s+p_{2})\cdots (s+p_{n})}}$

где $-z_{i}$ являются $m$ нули , $-p_{i}$ являются $n$ столбы и $K$ является скалярным усилением. Обычно диаграмма корневого годографа указывает расположение полюсов передаточной функции для различных значений параметра. $K$. График корневого годографа будет представлять собой все те точки на s -плоскости, где $G(s)H(s)=-1$ за любую стоимость $K$.

Факторинг $K$ а использование простых мономов означает, что оценку рационального многочлена можно выполнить с помощью векторных методов, которые складывают или вычитают углы, а также умножают или делят величины. Векторная формулировка возникает из-за того, что каждый мономиальный член $(s-a)$ в факторинге $G(s)H(s)$ представляет вектор из $a$ к $s$ в s-плоскости. Полином можно оценить, рассмотрев величины и углы каждого из этих векторов.

Согласно векторной математике, угол результата рационального многочлена равен сумме всех углов в числителе минус сумма всех углов в знаменателе. Таким образом, чтобы проверить, находится ли точка в s -плоскости в корневом годографе, необходимо учитывать только углы ко всем полюсам и нулям разомкнутого контура. Это известно как условие угла.

Аналогично, величина результата рационального многочлена — это произведение всех величин в числителе, деленное на произведение всех величин в знаменателе. Оказывается, вычисление магнитуды не требуется для определения того, является ли точка в s-плоскости частью корневого годографа, потому что $K$ варьируется и может принимать произвольное действительное значение. Для каждой точки корневого годографа значение $K$ можно рассчитать. Это известно как условие величины.

Корневой годограф дает только расположение полюсов замкнутого контура в качестве коэффициента усиления. $K$ разнообразен. Стоимость $K$ не влияет на расположение нулей. Нули разомкнутого контура такие же, как нули замкнутого контура.

Состояние угла

точка $s$ комплексной s -плоскости удовлетворяет условию угла, если

$\angle (G(s)H(s))=\pi$

это то же самое, что сказать, что

$\sum _{i=1}^{m}\angle (s+z_{i})-\sum _{i=1}^{n}\angle (s+p_{i})=\pi$

то есть сумма углов от разомкнутых нулей до точки $s$ (измеряется на ноль относительно горизонтали, проходящей через этот ноль) минус углы от полюсов разомкнутого контура до точки $s$ (измеряется на полюс относительно горизонтальной линии, проходящей через этот столб) должно быть равно $\pi$или 180 градусов . Обратите внимание, что эти интерпретации не следует путать с разницей углов между точками. $s$ и нули/полюсы.

Состояние величины

Значение $K$ удовлетворяет условию величины для данного $s$ точка корневого годографа, если

$|G(s)H(s)|=1$

это то же самое, что сказать, что

$K{\frac {|s+z_{1}||s+z_{2}|\cdots |s+z_{m}|}{|s+p_{1}||s+p_{2}|\cdots |s+p_{n}|}}=1$.

Зарисовка корневого локуса

RL = корневой локус; ZARL = корневое годограф с нулевым углом

Используя несколько основных правил, метод корневого годографа может построить общую форму пути (локуса), пройденного корнями, как значение $K$ варьируется. График корневого локуса дает представление об устойчивости и динамике этой системы обратной связи для различных значений $K$. Правила следующие:

• Отметьте полюсы и нули разомкнутого контура
• Отметьте реальную часть оси слева от нечетного числа полюсов и нулей.
• Найдите асимптоты

Пусть P — количество полюсов, а Z — количество нулей:

$P-Z={\text{number of asymptotes}}\,$

Асимптоты пересекают действительную ось при $\alpha$ (который называется центроидом) и отходят под углом $\phi$ предоставлено:

$\phi _{l}={\frac {180^{\circ }+(l-1)360^{\circ }}{P-Z}},l=1,2,\ldots ,P-Z$

$\alpha ={\frac {\operatorname {Re} \left(\sum _{P}-\sum _{Z}\right)}{P-Z}}$

где $\sum _{P}$ представляет собой сумму всех положений полюсов, $\sum _{Z}$ представляет собой сумму всех положений явных нулей и $\operatorname {Re} ()$ означает, что нас интересует только действительная часть.

• Фазовое состояние на контрольной точке для определения угла отклонения
• Вычисление точек отрыва/взлома

Точки отрыва расположены в корнях следующего уравнения:

${\frac {dG(s)H(s)}{ds}}=0{\text{ or }}{\frac {d{\overline {GH}}(z)}{dz}}=0$

Как только вы решите z , настоящие корни дадут вам точки отрыва/повторного входа. Сложные корни соответствуют отсутствию отрыва/повторного входа.

Построение корневого локуса

Учитывая общий рациональный полином замкнутого знаменателя

$1+G(s)H(s)=1+K{\frac {b_{m}s^{m}+\ldots +b_{1}s+b_{0}}{s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots +a_{1}s+a_{0}}},$

характеристическое уравнение можно упростить до

$s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots +(a_{m}+Kb_{m})s^{m}+\ldots +(a_{1}+Kb_{1})s+(a_{0}+Kb_{0})=0.$

Решения $s$ этому уравнению являются корневыми множествами передаточной функции замкнутого контура.

Пример

Данный

$1+G(s)H(s)=1+K{\frac {s+3}{s^{3}+3s^{2}+5s+1}},$

мы будем иметь характеристическое уравнение

$s^{3}+3s^{2}+(5+K)s+(1+3K)=0.$

Следующий код MATLAB построит корневой годограф передаточной функции с обратной связью как $K$ варьируется при использовании описанного ручного метода, а также rlocus встроенная функция:

% Manual methodK_array = (0:0.1:220).'; % .' is a transpose. Looking up in Matlab documentation.NK = length(K_array);x_array = zeros(NK, 3);y_array = zeros(NK, 3);for nK = 1:NK   K = K_array(nK);   C = [1, 3, (5 + K), (1 + 3*K)];   r = roots(C).';   x_array(nK,:) = real(r);   y_array(nK,:) = imag(r);endfigure();plot(x_array, y_array);grid on;% Built-in methodsys = tf([1, 3], [1, 3, 5, 1]);figure();rlocus(sys);

График корневого локуса

Следующий код Python также можно использовать для расчета и построения корневого годографа передаточной функции с обратной связью с использованием библиотеки систем управления Python. и Матплотлиб .

import control as ctimport matplotlib.pyplot as plt# Define the transfer functionsys = ct.TransferFunction([1, 3], [1, 3, 5, 1])# Calculate and plot the root locusroots, gains = ct.root_locus(sys, plot=True)plt.show()

z -плоскость против s -плоскости

Метод корневого годографа также можно использовать для анализа систем выборочных данных путем вычисления корневого годографа в z -плоскости , дискретном аналоге s -плоскости. Уравнение z = e ^СТ отображает непрерывные полюсы s -плоскости (не нули) в z -область, где T — период выборки. Стабильная левая половина s -плоскости отображается во внутреннюю часть единичного круга z -плоскости, причем начало s -плоскости соответствует |z| = 1 (потому что e ⁰ = 1). Диагональная линия постоянного затухания в плоскости s отображается вокруг спирали из (1,0) в плоскости z , когда она изгибается к началу координат. Найквиста Критерий сглаживания выражается графически в плоскости z по оси x , где ωnT = π . Линия постоянного затухания, только что описанная, движется по спирали на неопределенный срок, но в системах выборочных данных частотное содержимое сглаживается до более низких частот целыми кратными частоты Найквиста . То есть дискретный отклик выглядит как более низкочастотный и лучше затухающий, поскольку корень в плоскости z одинаково хорошо отображается на первый контур другой, лучше затухающей спиральной кривой постоянного затухания. Можно описать множество других интересных и важных свойств отображения, не в последнюю очередь то, что контроллеры z -плоскости, обладающие тем свойством, что они могут быть непосредственно реализованы из передаточной функции z -плоскости (отношение нуль/полюс полиномов), можно представить графически на z - график передаточной функции разомкнутого контура в плоскости, который немедленно анализируется с использованием корневого годографа.

Поскольку корневое годографирование представляет собой метод графического угла, правила корневого годографа работают одинаково в плоскостях z и s .

Идея корневого годографа может быть применена ко многим системам, в которых один параметр K. варьируется Например, полезно просмотреть любой системный параметр, точное значение которого неизвестно, чтобы определить его поведение.

См. также

• Запас по фазе
• Критерий устойчивости Рауса – Гурвица.
• Критерий устойчивости Найквиста
• Усиление и запас по фазе
• График Боде

Ссылки

• Куо, Бенджамин К. (1967). «Техника корневого локуса». Системы автоматического управления (второе изд.). Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл. стр. 329–388. АСИН   B000KPT04C . LCCN   67016388 . ОСЛК   3805225 .

Дальнейшее чтение

• Эш, Р. Х.; Эш, GH (октябрь 1968 г.), «Численное вычисление корневых локусов с использованием метода Ньютона-Рафсона», IEEE Transactions on Auto Control , 13 (5): 576–582, doi : 10.1109/TAC.1968.1098980
• Уильямсон, SE (май 1968 г.), «Проектные данные для построения графиков корневых локусов (Часть I)», Control Magazine , 12 (119): 404–407.
• Уильямсон, SE (июнь 1968 г.), «Проектные данные для помощи в построении корневых локусов (Часть II)», Control Magazine , 12 (120): 556–559.
• Уильямсон, SE (июль 1968 г.), «Проектные данные для построения графиков корневых локусов (Часть III)», Control Magazine , 12 (121): 645–647.
• Уильямсон, SE (15 мая 1969 г.), «Компьютерная программа для получения временного отклика систем выборочных данных», Electronics Letters , 5 (10): 209–210, Бибкод : 1969ElL.....5..209W , doi : 10.1049/эл:19690159
• Уильямсон, С.Э. (июль 1969 г.), «Точное построение корневых годографов, включая эффекты чистой временной задержки. Описание компьютерной программы» , Proceedings of the Institution of Electrical Engineers , 116 (7): 1269–1271, doi : 10,1049 / пирог. 1969.0235

Внешние ссылки

• Wikibooks: Системы управления/Корневой локус
• Карнеги-Меллон / Учебное пособие Мичиганского университета
• Отличные примеры. Начните с примера 5 и продолжайте от 4 до 1. Также посетите главную страницу.
• Метод корневого локуса: техника рисования вручную.
• «RootLocs»: бесплатный многофункциональный построитель корневых координат для платформ Mac и Windows.
• «Root Locus»: бесплатный построитель/анализатор корневых годографов для Windows.
• Корневой локус на ControlTheoryPro.com
• Корневой анализ систем управления
• Функция MATLAB для вычисления корневого годографа модели с открытым контуром SISO
• Векслер, Э.Р. (январь – март 1983 г.), «Алгоритмы корневых годографов для программируемых карманных калькуляторов» (PDF) , Отчет о ходе работы в области телекоммуникаций и сбора данных , 73 , НАСА: 60–64, Бибкод : 1983TDAPR..73...60W
• Функция Mathematica для построения корневого годографа
• Шекара, Томислав Б.; Рапаич, Милан Р. (1 октября 2015 г.). «Пересмотр метода корневого локуса с приложениями». Журнал управления процессами . 34 : 26–34. дои : 10.1016/j.jprocont.2015.07.007 .