Классическая теория управления

Классическая теория управления — это раздел теории управления , который занимается поведением динамических систем с входными данными и тем, как их поведение изменяется под действием обратной связи , с использованием преобразования Лапласа в качестве основного инструмента для моделирования таких систем.

Обычной целью теории управления является управление системой, часто называемой объектом , чтобы ее выходной сигнал соответствовал желаемому управляющему сигналу, называемому опорным , который может быть фиксированным или изменяющимся значением. Для этого разработан контроллер , который контролирует выходной сигнал и сравнивает его с эталоном. Разница между фактическим и желаемым выходным сигналом, называемая сигналом ошибки , подается в качестве обратной связи на вход системы, чтобы приблизить фактический выходной сигнал к эталонному.

Классическая теория управления имеет дело с линейными, инвариантными ко времени (LTI) системами с одним входом и одним выходом (SISO). ^[1] Можно вычислить преобразование Лапласа входного и выходного сигнала таких систем. Передаточная функция связывает преобразование Лапласа входных и выходных данных.

Обратная связь [ править ]

Чтобы преодолеть ограничения контроллера с разомкнутым контуром , классическая теория управления вводит обратную связь . Контроллер с обратной связью использует обратную связь для управления состояниями или выходами динамической системы . Его название происходит от информационного пути в системе: входные данные процесса (например, напряжение, подаваемое на электродвигатель ) влияют на выходные данные процесса (например, скорость или крутящий момент двигателя), которые измеряются датчиками и обрабатываются контроллер; результат (управляющий сигнал) «подается обратно» в качестве входных данных в процесс, замыкая цикл.

Контроллеры с обратной связью имеют следующие преимущества перед контроллерами с разомкнутым контуром :

подавление помех (например, подъемы в круиз-контроле )
гарантированная производительность даже при неопределенностях модели , когда структура модели не полностью соответствует реальному процессу и параметры модели неточны
нестабильные процессы можно стабилизировать
пониженная чувствительность к изменениям параметров
улучшена производительность отслеживания ссылок

В некоторых системах одновременно используются замкнутый и разомкнутый контур управления. В таких системах управление с разомкнутым контуром называется упреждающим и служит для дальнейшего улучшения характеристик отслеживания задания.

Распространенной архитектурой контроллера с обратной связью является ПИД-регулятор .

Классика против современности [ править ]

Физическую систему можно смоделировать во « временной области », где реакция данной системы является функцией различных входных данных, предыдущих значений системы и времени. С течением времени состояние системы и ее реакция меняются. Однако модели систем во временной области часто моделируются с использованием дифференциальных уравнений высокого порядка, решение которых может оказаться невероятно трудным для людей, а некоторые из которых могут даже стать невозможными для эффективного решения современными компьютерными системами.

Чтобы противодействовать этой проблеме, классическая теория управления использует преобразование Лапласа для преобразования обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) во временной области в регулярный алгебраический полином в частотной области. Как только данная система будет преобразована в частотную область, ею можно будет легче манипулировать.

Современная теория управления , вместо изменения областей, чтобы избежать сложностей математики ОДУ во временной области, преобразует дифференциальные уравнения в систему уравнений во временной области более низкого порядка, называемых уравнениями состояния , которыми затем можно манипулировать, используя методы линейной алгебры. ^[2]

Преобразование Лапласа [ править ]

Классическая теория управления использует преобразование Лапласа для моделирования систем и сигналов. Преобразование Лапласа — это подход в частотной области для сигналов непрерывного времени, независимо от того, стабильна или нестабильна система. Преобразование Лапласа функции f $(t),$ определенное для всех действительных чисел $t \geq 0$ , представляет собой функцию $F (s)$ , которая является односторонним преобразованием, определяемым формулой

F(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt

где s — комплексного числа частотный параметр

s=\sigma +i\omega

, с действительными числами

σ

и

ω

.

Передаточная функция с обратной связью [ править ]

Общей архитектурой управления с обратной связью является контур сервопривода, в котором выходной сигнал системы y(t) измеряется с помощью датчика F и вычитается из опорного значения r(t) для формирования ошибки сервопривода e . Затем контроллер C использует ошибку сервопривода e для регулировки входного сигнала u объекта (управляемой системы) P , чтобы привести выход объекта к заданному значению. Это показано на блок-схеме ниже. Этот тип контроллера представляет собой контроллер с обратной связью или контроллер с обратной связью.

Это называется системой управления с одним входом и одним выходом ( SISO ); Системы MIMO (т.е. несколько входов-множество выходов) с более чем одним входом/выходом являются обычным явлением. В таких случаях переменные представляются векторами, а не простыми скалярными значениями. Для некоторых систем с распределенными параметрами векторы могут быть бесконечномерными ( обычно функциями).

Если предположить, что контроллер C , объект P и датчик F инвариантны линейны и во времени (т.е. элементы их передаточной функции C(s) , P(s) и F(s) не зависят от времени) , приведенные выше системы можно проанализировать с помощью преобразования Лапласа переменных. Это дает следующие отношения:

Y(s)=P(s)U(s)\,\!

U(s)=C(s)E(s)\,\!

E(s)=R(s)-F(s)Y(s).\,\!

Решение для Y ( s ) через R ( s ) дает

Y(s)=\left({\frac {P(s)C(s)}{1+F(s)P(s)C(s)}}\right)R(s)=H(s)R(s).

Выражение $H(s)={\frac {P(s)C(s)}{1+F(s)P(s)C(s)}}$ называется передаточной функцией системы. Числитель представляет собой прямой (разомкнутый) выигрыш от $r$ к $y$ , а знаменатель равен единице плюс коэффициент усиления при обходе контура обратной связи, так называемый коэффициент усиления контура. Если $|P(s)C(s)|\gg 1$ , т. е. имеет большую норму при каждом значении s , и если $|F(s)|\approx 1$ , затем $Y(s)$ приблизительно равно $R(s)$ и выходной сигнал точно соответствует эталонному входному сигналу.

$u(t)$ ПИД-регулятор [ править ]

ПИД -регулятор, вероятно, является наиболее часто используемой (наряду с гораздо более грубым противотанковым управлением ) конструкцией управления с обратной связью. ПИД — это инициализм пропорционально-интегрально-производной , относящийся к трем терминам, воздействующим на сигнал ошибки для создания управляющего сигнала. Если в систему подается управляющий сигнал, $y(t)$ измеренный выходной сигнал и $r(t)$ желаемый результат и ошибка отслеживания $e(t)=r(t)-y(t)$ , ПИД-регулятор имеет общий вид

u(t)=K_{P}e(t)+K_{I}\int e(t){\text{d}}t+K_{D}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}e(t).

Желаемая динамика замкнутого контура достигается путем регулировки трех параметров. $K_{P}$ , $K_{I}$ и $K_{D}$ , часто итеративно путем «настройки» и без конкретных знаний модели объекта. Стабильность часто можно обеспечить, используя только пропорциональный член. Интегральный член позволяет исключить ступенчатое возмущение (часто бросающееся в глаза спецификацию в управлении процессом ). Производный термин используется для обеспечения демпфирования или формирования отклика. ПИД-регуляторы являются наиболее устоявшимся классом систем управления: однако их нельзя использовать в некоторых более сложных случаях, особенно если рассматривать системы с несколькими входами и множеством выходов (MIMO).

Применение результатов преобразования Лапласа в преобразованном уравнении ПИД-регулятора

u(s)=K_{P}e(s)+K_{I}{\frac {1}{s}}e(s)+K_{D}se(s)

u(s)=\left(K_{P}+K_{I}{\frac {1}{s}}+K_{D}s\right)e(s)

с передаточной функцией ПИД-регулятора

C(s)=\left(K_{P}+K_{I}{\frac {1}{s}}+K_{D}s\right).

Существует хороший пример замкнутой системы, обсуждавшейся выше. Если мы возьмем

Передаточная функция ПИД-регулятора в последовательном виде

C(s)=K\left(1+{\frac {1}{sT_{i}}}\right)(1+sT_{d})

Фильтр 1-го порядка в контуре обратной связи

F(s)={\frac {1}{1+sT_{f}}}

линейный привод с фильтрованным входом

P(s)={\frac {A}{1+sT_{p}}}

,

A

= константа

и подставим все это в выражение для передаточной функции замкнутого контура $H(s)$ , то настройка очень проста: проще говоря

K={\frac {1}{A}},T_{i}=T_{f},T_{d}=T_{p}

и получить $H(s)=1$ одинаково.

Для практических ПИД-регуляторов чистый дифференциатор не является ни физически реализуемым, ни желательным. ^[3] из-за усиления шумов и резонансных мод в системе. Поэтому вместо этого используется подход типа компенсатора опережения по фазе или дифференциатора со спадом нижних частот.

Инструменты [ править ]

Классическая теория управления использует набор инструментов для анализа систем и разработки контроллеров для таких систем. Инструменты включают корневой годограф , критерий устойчивости Найквиста , график Боде , запас усиления и запас по фазе . Более продвинутые инструменты включают интегралы Боде для оценки ограничений производительности и компромиссов, а также описания функций для анализа нелинейностей в частотной области. ^[4]

См. также [ править ]

Малая петлевая обратная связь – классический метод проектирования систем управления с обратной связью.
Государственное пространство (управление)

Ссылки [ править ]

^ Чжун, Ван-Се (2004). Система двойственности в прикладной механике и оптимальном управлении . Клювер. п. 283 . ISBN 978-1-4020-7880-4 . Классическая методология проектирования контроллера является итеративной и эффективна для анализа и проектирования линейных, не зависящих от времени систем с одним входом и одним выходом.
^ Огата, Кацухико (2010). Современные системы управления (Пятое изд.). Прентис Холл. п. 2. ISBN 978-0-13-615673-4 . современная теория управления, основанная на анализе и синтезе во временной области с использованием переменных состояния
^ Анг, К.Х., Чонг, GCY и Ли, Ю. (2005). Анализ, проектирование и технология систем ПИД-управления, IEEE Trans Control Systems Tech , 13(4), стр.559-576 .
^ Борис Дж. Лурье; Пол Дж. Энрайт (2019). Классическое управление с обратной связью в нелинейных многоконтурных системах (3-е изд.). ЦРК Пресс. ISBN 978-1-1385-4114-6 .

[1] Чжун, Ван-Се (2004). Система двойственности в прикладной механике и оптимальном управлении . Клювер. п. 283 . ISBN 978-1-4020-7880-4 . Классическая методология проектирования контроллера является итеративной и эффективна для анализа и проектирования линейных, не зависящих от времени систем с одним входом и одним выходом.

[2] Огата, Кацухико (2010). Современные системы управления (Пятое изд.). Прентис Холл. п. 2. ISBN 978-0-13-615673-4 . современная теория управления, основанная на анализе и синтезе во временной области с использованием переменных состояния

[3] Анг, К.Х., Чонг, GCY и Ли, Ю. (2005). Анализ, проектирование и технология систем ПИД-управления, IEEE Trans Control Systems Tech , 13(4), стр.559-576 .

[4] Борис Дж. Лурье; Пол Дж. Энрайт (2019). Классическое управление с обратной связью в нелинейных многоконтурных системах (3-е изд.). ЦРК Пресс. ISBN 978-1-1385-4114-6 .

[1]

[2]

[3]

[4]