Марковский оператор

В теории вероятностей и эргодической теории марковский оператор — это оператор в определенном функциональном пространстве , сохраняющий массу (так называемое марковское свойство). Если лежащее в основе измеримое пространство достаточно топологически достаточно богато, то оператор Маркова допускает представление в ядре . Марковские операторы могут быть линейными и нелинейными. С марковскими операторами тесно связана марковская полугруппа .

Определение марковских операторов в литературе не совсем последовательное. Марковские операторы названы в честь русского математика Андрея Маркова .

Определения

Марковский оператор

Позволять $(E,{\mathcal {F}})$ быть измеримым пространством и $V$ набор реальных измеримых функций $f:(E,{\mathcal {F}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$.

Линейный оператор $P$ на $V$ является марковским оператором, если верно следующее

1. $P$ отображает ограниченную измеримую функцию на ограниченные измеримые функции.
2. Позволять $\mathbf {1}$ быть постоянной функцией $x\mapsto 1$, затем $P(\mathbf {1} )=\mathbf {1}$ держит. ( сохранение массы / марковское свойство )
3. Если $f\geq 0$ затем $Pf\geq 0$. ( сохранение позитива )

Альтернативные определения

Некоторые авторы определяют операторы на L ^п пространства как $P:L^{p}(X)\to L^{p}(Y)$ и заменим первое условие (ограниченные измеримые функции на таковых) свойством

$\|Pf\|_{Y}=\|f\|_{X},\quad \forall f\in L^{p}(X)$

Марковская полугруппа

Позволять ${\mathcal {P}}=\{P_{t}\}_{t\geq 0}$ — семейство марковских операторов, определенное на множестве ограниченных измеримых функций на $(E,{\mathcal {F}})$. Затем ${\mathcal {P}}$ является марковской полугруппой, если верно следующее

1. $P_{0}=\operatorname {Id}$.
2. $P_{t+s}=P_{t}\circ P_{s}$ для всех $t,s\geq 0$.
3. Существует σ-конечная мера $\mu$ на $(E,{\mathcal {F}})$ который инвариантен относительно ${\mathcal {P}}$, это означает, что для всех ограниченных, положительных и измеримых функций $f:E\to \mathbb {R}$ и каждый $t\geq 0$ имеет место следующее

$\int _{E}P_{t}f\mathrm {d} \mu =\int _{E}f\mathrm {d} \mu$.

Двойная полугруппа

Каждая марковская полугруппа ${\mathcal {P}}=\{P_{t}\}_{t\geq 0}$ индуцирует двойственную полугруппу $(P_{t}^{*})_{t\geq 0}$ через

$\int _{E}P_{t}f\mathrm {d\mu } =\int _{E}f\mathrm {d} \left(P_{t}^{*}\mu \right).$

Если $\mu$ инвариантен относительно ${\mathcal {P}}$ затем $P_{t}^{*}\mu =\mu$.

Инфинитезимальный генератор полугруппы

Позволять $\{P_{t}\}_{t\geq 0}$ — семейство ограниченных линейных марковских операторов в гильбертовом пространстве. $L^{2}(\mu )$, где $\mu$ является инвариантной мерой. Бесконечно малый генератор $L$ марковской полугруппы ${\mathcal {P}}=\{P_{t}\}_{t\geq 0}$ определяется как

$Lf=\lim \limits _{t\downarrow 0}{\frac {P_{t}f-f}{t}},$

и домен $D(L)$ это $L^{2}(\mu )$-пространство всех таких функций, где этот предел существует и находится в $L^{2}(\mu )$ снова.

$D(L)=\left\{f\in L^{2}(\mu ):\lim \limits _{t\downarrow 0}{\frac {P_{t}f-f}{t}}{\text{ exists and is in }}L^{2}(\mu )\right\}.$

Оператор Carré du Champ $\Gamma$ измерители, как далеко $L$ является производным .

Ядерное представление марковского оператора

Марковский оператор $P_{t}$ имеет представление ядра

$(P_{t}f)(x)=\int _{E}f(y)p_{t}(x,\mathrm {d} y),\quad x\in E,$

относительно некоторого вероятностного ядра $p_{t}(x,A)$, если базовое измеримое пространство $(E,{\mathcal {F}})$ обладает следующими достаточными топологическими свойствами:

1. Каждая вероятностная мера $\mu :{\mathcal {F}}\times {\mathcal {F}}\to [0,1]$ можно разложить как $\mu (\mathrm {d} x,\mathrm {d} y)=k(x,\mathrm {d} y)\mu _{1}(\mathrm {d} x)$, где $\mu _{1}$ – проекция на первую компоненту и $k(x,\mathrm {d} y)$ является вероятностным ядром.
2. Существует счетное семейство, порождающее σ-алгебру ${\mathcal {F}}$.

Если теперь определить σ-конечную меру на $(E,{\mathcal {F}})$ тогда можно доказать, что всякий марковский оператор $P$ допускает такое представление ядра относительно $k(x,\mathrm {d} y)$.

Литература

• Бакри, Доминик; Джентиль, Иван; Леду, Мишель. Анализ и геометрия марковских операторов диффузии . Спрингер Чам. дои : 10.1007/978-3-319-00227-9 .
• Эйснер, Таня; Фаркас, Балинт; Хаазе, Маркус; Нагель, Райнер (2015). «Марковские операторы». Операторные аспекты эргодической теории . Тексты для аспирантов по математике. Том. 2727. Чам: Спрингер. дои : 10.1007/978-3-319-16898-2 .
• Ван, Фэнъюй (2006). Функциональные неравенства. Марковские полугруппы и спектральная теория . Украина: Elsevier Science.