Уравнение роста трещины

Рисунок 1: Типичный график скорости роста трещины в зависимости от диапазона интенсивности напряжения. Уравнение Пэрис-Эрдогана соответствует центральной линейной области режима B.

Уравнение роста трещины используется для расчета размера усталостной трещины, растущей от циклических нагрузок. Рост усталостной трещины может привести к катастрофическому разрушению, особенно в случае самолетов. Когда множество растущих усталостных трещин взаимодействуют друг с другом, это называется обширным усталостным повреждением . Уравнение роста трещин можно использовать для обеспечения безопасности как на этапе проектирования, так и во время эксплуатации путем прогнозирования размера трещин. В критической конструкции нагрузки могут регистрироваться и использоваться для прогнозирования размера трещин, чтобы гарантировать, что техническое обслуживание или вывод из эксплуатации произойдет до того, как какая-либо из трещин выйдет из строя. Коэффициенты безопасности используются для уменьшения прогнозируемой усталостной долговечности до эксплуатационной усталостной долговечности из-за чувствительности усталостной долговечности к размеру и форме дефектов, вызывающих трещины, а также изменчивости между предполагаемой нагрузкой и фактической нагрузкой, испытываемой компонентом.

Усталостный срок службы можно разделить на период инициации и период роста трещины. Уравнения роста трещин используются для прогнозирования размера трещины, начиная с заданного начального дефекта, и обычно основаны на экспериментальных данных, полученных в результате усталостных испытаний с постоянной амплитудой .

Одно из первых уравнений роста трещин, основанное на диапазоне коэффициентов интенсивности напряжений в цикле нагрузки ( $\Delta K$) представляет собой уравнение Парижа–Эрдогана

${da \over dN}=C(\Delta K)^{m}$

где $a$ длина трещины и ${\rm {d}}a/{\rm {d}}N$ – рост усталостной трещины за один цикл нагрузки $N$. Были разработаны различные уравнения роста трещин, аналогичные уравнению Пэрис-Эрдогана, которые включают факторы, влияющие на скорость роста трещин, такие как соотношение напряжений, перегрузки и эффекты истории нагрузок.

Диапазон интенсивности стресса можно рассчитать по максимальной и минимальной интенсивности стресса за цикл.

$\Delta K=K_{\text{max}}-K_{\text{min}}$

Геометрический фактор $\beta$ используется для связи напряжения в дальней зоне $\sigma$ к интенсивности напряжений в вершине трещины с помощью

$K=\beta \sigma {\sqrt {\pi a}}$.

Существуют стандартные ссылки, содержащие геометрические коэффициенты для множества различных конфигураций.

История уравнений распространения трещин

За прошедшие годы было предложено множество уравнений распространения трещин для повышения точности прогнозирования и учета различных эффектов. Работы руководителя, Фрост и Дагдейл, МакЭвили и Иллг, и Лю Поведение усталостных трещин и рост трещин легли в основу этой темы. Общий вид этих уравнений распространения трещин можно выразить как

${da \over dN}=f(\Delta \sigma ,a,C_{i}),$

где длина трещины обозначается $a$, количество циклов приложенной нагрузки определяется выражением $N$, диапазон напряжений по $\Delta \sigma$, а параметры материала $C_{i}$. Для симметричных конфигураций длина трещины от линии симметрии определяется как $a$ и составляет половину общей длины трещины $2a$.

Уравнения роста трещин вида $da/dN$ не являются настоящим дифференциальным уравнением , поскольку не моделируют непрерывный процесс роста трещин на протяжении всего цикла нагружения. отдельные алгоритмы подсчета или идентификации циклов, такие как широко используемый алгоритм подсчета дождевых потоков Таким образом, для определения максимальных и минимальных значений в цикле требуются . Несмотря на то, что расчет дождевого потока был разработан для методов измерения напряжения/деформации, он также показал свою эффективность в отношении роста трещин. Также было разработано небольшое количество уравнений роста усталостных трещин с истинной производной.

Факторы, влияющие на скорость роста трещин

режимы

На рисунке 1 показан типичный график скорости роста трещины в зависимости от интенсивности знакопеременного напряжения или движущей силы вершины трещины. $\Delta K$ построены в логарифмическом масштабе. Поведение скорости роста трещины в зависимости от интенсивности знакопеременного напряжения можно объяснить в различных режимах (см. рис. 1) следующим образом:

Режим А: При низких скоростях роста изменения микроструктуры , среднего напряжения (или коэффициента нагрузки) и окружающей среды оказывают существенное влияние на скорость распространения трещин. Замечено, что при низких коэффициентах нагрузки скорость роста наиболее чувствительна к микроструктуре, а в материалах низкой прочности она наиболее чувствительна к коэффициенту нагрузки.

Режим B: В среднем диапазоне скоростей роста изменения микроструктуры, среднего напряжения (или коэффициента нагрузки), толщины и окружающей среды не оказывают существенного влияния на скорость распространения трещин.

Режим C: При высоких скоростях роста распространение трещин очень чувствительно к изменениям микроструктуры, среднего напряжения (или коэффициента нагрузки) и толщины. Воздействие окружающей среды имеет сравнительно меньшее влияние.

Эффект соотношения напряжений

Циклы с более высоким коэффициентом нагрузки $R=K_{\text{min}}}/{K_{\text{max}}\equiv P_{\text{min}}/{P_{\text{max}}}$ имеют повышенную скорость роста трещин. Этот эффект часто объясняют с помощью концепции закрытия трещины , которая описывает наблюдение, что берега трещины могут оставаться в контакте друг с другом при нагрузках выше нуля. Это уменьшает диапазон эффективных коэффициентов интенсивности напряжений и скорость роста усталостных трещин.

Эффекты последовательности

А $da/dN$ уравнение дает скорость роста за один цикл, но когда нагрузка не имеет постоянной амплитуды, изменения нагрузки могут привести к временному увеличению или уменьшению скорости роста. Для решения некоторых из этих случаев были разработаны дополнительные уравнения. Скорость роста замедляется, когда в последовательности загрузки возникает перегрузка. Эти нагрузки создают пластическую зону, которая может замедлить темпы роста. Два примечательных уравнения для моделирования задержек, возникающих при росте трещины в области перегрузки:

Модель Уиллера (1972)

$\left({\frac {da}{dN}}\right)_{\text{VA}}=\beta \left({\frac {da}{dN}}\right)_{\text{CA}}$ с $\beta =\left({\frac {r_{\text{pi}}}{r_{\text{max}}}}\right)^{k}$

где $r_{\text{pi}}$ – пластическая зона, соответствующая i-му циклу, возникающему после перегрузки и $r_{\text{max}}$ – расстояние между трещиной и протяженностью пластической зоны при перегрузке.

Модель Вилленборга

Уравнения роста трещин

Пороговое уравнение

Для прогнозирования скорости роста трещины в околопороговой области использовалось следующее соотношение

${da \over dN}=A\left(\Delta K-\Delta K_{\text{th}}\right)^{p}.$

Уравнение Парижа – Эрдогана

Для прогнозирования скорости роста трещины в промежуточном режиме используется уравнение Париса–Эрдогана

${da \over dN}=C\left(\Delta K\right)^{m}.$

Уравнение Формана

В 1967 году Форман предложил следующее соотношение для учета увеличения скорости роста из-за соотношения напряжений и при приближении к вязкости разрушения. $K_{\text{c}}$

${da \over dN}={\frac {C(\Delta K)^{n}}{(1-R)K_{\text{c}}-\Delta K}}$

Уравнение МакЭвили – Грегера

МакЭвили и Грегер предложил следующую степенную зависимость, которая учитывает влияние как высоких, так и низких значений $\Delta K$

${da \over dN}=A(\Delta K-\Delta K_{\text{th}})^{2}{\Big [}1+{\frac {\Delta K}{K_{\text{Ic}}-K_{\text{max}}}}{\Big ]}$.

Уравнение НАСГРО

Уравнение NASGRO используется в программах роста трещин AFGROW, FASTRAN и NASGRO. Это общее уравнение, которое охватывает более низкие темпы роста вблизи порога. $\Delta K_{\text{th}}$ и повышенная скорость роста, приближающаяся к вязкости разрушения. $K_{\text{crit}}$, а также учет эффекта среднего напряжения путем включения коэффициента напряжений $R$. Уравнение NASGRO:

${\frac {da}{dN}}=C\left[\left({\frac {1-f}{1-R}}\right)\Delta K\right]^{n}{\left(1-{\frac {\Delta K_{\text{th}}}{\Delta K}}\right)^{p} \over \left(1-{\frac {K_{\max }}{K_{\text{crit}}}}\right)^{q}}$

где $C$, $f$, $n$, $p$, $q$, $\Delta K_{\text{th}}$ и $K_{\text{crit}}$ – коэффициенты уравнения.

Уравнение МакКлинтока

В 1967 году МакКлинток разработал уравнение для верхнего предела роста трещины, основанное на циклическом смещении раскрытия вершины трещины. $\Delta {\text{CTOD}}$

${da \over dN}\propto \Delta {\text{CTOD}}\approx \beta {(\Delta K)^{2} \over {2\sigma _{0}E'}}$

где $\sigma _{0}$ – напряжение течения, $E'$ - модуль Юнга и $\beta$ является константой, обычно в диапазоне 0,1–0,5.

Уравнение Уокера

Чтобы учесть эффект соотношения напряжений, Уокер предложил модифицированную форму уравнения Пэрис-Эрдогана.

${da \over dN}=C{\Big (}{\overline {\Delta K}}{\Big )}^{m}=C{\bigg (}{\frac {\Delta K}{(1-R)^{1-\gamma }}}{\bigg )}^{m}=C{\big (}K_{\text{max}}(1-R)^{\gamma }{\big )}^{m}$

где, $\gamma$ — параметр материала, который отражает влияние соотношения напряжений на скорость роста усталостной трещины. Обычно $\gamma$ принимает значение вокруг $0.5$, но может варьироваться между $0.3-1.0$. В целом предполагается, что сжимающая часть цикла нагружения ${\big (}R<0{\big )}$ не влияет на рост трещины, если принять во внимание $\gamma =0,$ что дает ${\overline {\Delta K}}=K_{\text{max}}.$ Физически это можно объяснить, если учесть, что трещина закрывается при нулевой нагрузке и не ведет себя как трещина при сжимающих нагрузках. В очень пластичных материалах, таких как сталь Ман-Тен, сжимающая нагрузка действительно способствует росту трещин. $\gamma =0.22$.

уравнение Элбера

Элбер модифицировал уравнение Пэрис-Эрдогана, чтобы учесть закрытие трещины, введя открывающего напряжения. уровень интенсивности $K_{\text{op}}$ при котором происходит контакт. Ниже этого уровня нет движения на вершине трещины и, следовательно, нет роста. Этот эффект был использован для объяснения эффекта соотношения напряжений и повышенной скорости роста, наблюдаемой при коротких трещинах. Уравнение Элбера

$\Delta K_{\text{eff}}=K_{\text{max}}-K_{\text{op}}$

${da \over dN}=C(\Delta K_{\text{eff}})^{m}$

Уравнение пластичных и хрупких материалов

Общий вид скорости роста усталостных трещин в пластичных и хрупких материалах имеет вид

${da \over dN}\propto (K_{\text{max}})^{n}(\Delta K)^{p},$

где, $n$ и $p$ являются материальными параметрами. Основываясь на различных механизмах распространения трещин и защиты их кончиков в металлах, керамике и интерметаллидах , замечено, что скорость роста усталостных трещин в металлах существенно зависит от $\Delta K$ срок, в керамике на $K_{\text{max}}$, и интерметаллиды имеют почти аналогичную зависимость от $\Delta K$ и $K_{\text{max}}$ условия.

Прогнозирование усталостной долговечности

Компьютерные программы

Существует множество компьютерных программ, реализующих уравнения роста трещин, например Nasgro , AFGROW и Фастран . Кроме того, существуют также программы, реализующие вероятностный подход к росту трещин, рассчитывающие вероятность отказа на протяжении всего срока службы компонента.

Программы роста трещин увеличивают трещину от первоначального размера до тех пор, пока она не превысит вязкость разрушения материала и не выйдет из строя. Поскольку вязкость разрушения зависит от граничных условий, вязкость разрушения может изменяться от условий плоской деформации для полукруглой поверхностной трещины до условий плоского напряжения для сквозной трещины. Вязкость разрушения для условий плоского напряжения обычно в два раза выше, чем для плоской деформации. Однако из-за быстрой скорости роста трещины ближе к концу ее срока службы изменения вязкости разрушения существенно не изменяют срок службы компонента.

Программы роста трещин обычно предоставляют на выбор:

• методы подсчета циклов для извлечения экстремумов цикла
• геометрические факторы, определяющие форму трещины и приложенную нагрузку
• уравнение роста трещины
• модели ускорения/замедления
• такие свойства материала, как предел текучести и вязкость разрушения.

Аналитическое решение

Коэффициент интенсивности напряжения определяется выражением

$K=\beta \sigma {\sqrt {\pi a}},$

где $\sigma$ — приложенное равномерное растягивающее напряжение, действующее на образец в направлении, перпендикулярном плоскости трещины, $a$ длина трещины и $\beta$ – безразмерный параметр, зависящий от геометрии образца. Переменная интенсивность напряжения становится

${\begin{aligned}\Delta K&={\begin{cases}\beta (\sigma _{\text{max}}-\sigma _{\text{min}}){\sqrt {\pi a}}=\beta \Delta \sigma {\sqrt {\pi a}},\qquad R\geq 0\\\beta \sigma _{\text{max}}{\sqrt {\pi a}},\qquad R<0\end{cases}},\end{aligned}}$

где $\Delta \sigma$ – диапазон амплитуды циклического напряжения.

Предполагая, что начальный размер трещины равен $a_{0}$, критический размер трещины $a_{c}$ до того, как образец выйдет из строя, можно вычислить с помощью ${\big (}K=K_{\text{max}}=K_{\text{Ic}}{\big )}$ как

${\begin{aligned}K_{\text{Ic}}&=\beta \sigma _{\text{max}}{\sqrt {\pi a_{c}}},\\\Rightarrow a_{c}&={\frac {1}{\pi }}{\bigg (}{\frac {K_{\text{Ic}}}{\beta \sigma _{\text{max}}}}{\bigg )}^{2}.\end{aligned}}$

Приведенное выше уравнение в $a_{c}$ носит неявный характер и при необходимости может быть решена численно.

Случай I

Для $R\geq 0.7,$ закрытие трещины оказывает незначительное влияние на скорость роста трещины а уравнение Пэрис-Эрдогана можно использовать для расчета усталостной долговечности образца до того, как он достигнет критического размера трещины. $a_{c}$ как

${\begin{aligned}{da \over dN}&=C(\Delta K)^{m}=C{\bigg (}\beta \Delta \sigma {\sqrt {\pi a}}{\bigg )}^{m},\\\Rightarrow N_{f}&={\frac {1}{({\sqrt {\pi }}\Delta \sigma )^{m}}}\int _{a_{0}}^{a_{c}}{\frac {da}{(C{\sqrt {a}}\beta )^{m}}}.\end{aligned}}$

Модель роста трещины с постоянным значением 𝛽 и R = 0

Рисунок 2. Геометрическое изображение образца для испытания на растяжение в центре с трещиной.

Для модели роста трещины Гриффита-Ирвина или центральной трещины длиной $2a$ на бесконечном листе, как показано на рисунке 2, имеем $\beta =1$ и не зависит от длины трещины. Также, $C$ можно считать не зависящим от длины трещины. Предполагая $\beta ={\text{constant}},$ приведенный выше интеграл упрощается до

$N_{f}={\frac {1}{C({\sqrt {\pi }}\beta \Delta \sigma )^{m}}}\int _{a_{0}}^{a_{c}}{\frac {da}{({\sqrt {a}})^{m}}},$

интегрируя приведенное выше выражение для $m\neq 2$ и $m=2$ случаях общее количество циклов нагрузки $N_{f}$ даны

${\begin{aligned}N_{f}&={\frac {2}{(m-2)C({\sqrt {\pi }}\beta \Delta \sigma )^{m}}}{\Bigg [}{\frac {1}{(a_{0})^{\frac {m-2}{2}}}}-{\frac {1}{(a_{c})^{\frac {m-2}{2}}}}{\Bigg ]},\qquad m\neq 2,\\N_{f}&={\frac {1}{\pi C(\beta \Delta \sigma )^{2}}}\ln {\frac {a_{c}}{a_{0}}},\qquad m=2.\end{aligned}}$

Теперь для $m>2$ и критический размер трещины должен быть очень большим по сравнению с начальным размером трещины. ${\big (}a_{c}>>a_{0}{\big )}$ дам

$N_{f}={\frac {2}{(m-2)C({\sqrt {\pi }}\Delta \sigma \beta )^{m}}}(a_{0})^{\frac {2-m}{2}}.$

Приведенные выше аналитические выражения для общего количества циклов нагрузки до разрушения ${\big (}N_{f}{\big )}$ получаются, предполагая $Y={\text{constant}}$. Для случаев, когда $\beta$ зависит от размера трещины, например, геометрии напряжения с одинарным надрезом (SENT), напряжения в центре трещины (CCT), для расчета можно использовать численное интегрирование $N_{f}$.

Случай II

Для $R<0.7,$ Явление закрытия трещины влияет на скорость роста трещины, и мы можем использовать уравнение Уокера для расчета усталостной долговечности образца до того, как он достигнет критического размера трещины. $a_{c}$ как

${\begin{aligned}{da \over dN}&=C{\bigg (}{\frac {\Delta K}{(1-R)^{1-\gamma }}}{\bigg )}^{m}={\frac {C}{(1-R)^{m(1-\gamma )}}}{\bigg (}\beta \Delta \sigma {\sqrt {\pi a}}{\bigg )}^{m},\\\Rightarrow N_{f}&={\frac {(1-R)^{m(1-\gamma )}}{({\sqrt {\pi }}\Delta \sigma )^{m}}}\int _{a_{0}}^{a_{c}}{\frac {da}{(C{\sqrt {a}}\beta )^{m}}}.\end{aligned}}$

Численный расчет

Рисунок 3: Схематическое изображение процесса прогнозирования усталостной долговечности.

Эта схема полезна, когда $\beta$ зависит от размера трещины $a$. Начальный размер трещины считается $a_{0}$. Коэффициент интенсивности напряжений при текущем размере трещины $a$ рассчитывается с использованием максимального приложенного напряжения как

${\begin{aligned}K_{\text{max}}&=\beta \sigma _{\text{max}}{\sqrt {\pi a}}.\end{aligned}}$
Если $K_{\text{max}}$ меньше вязкости разрушения $K_{\text{Ic}}$, трещина не достигла критического размера $a_{c}$ и моделирование продолжается с текущим размером трещины для расчета интенсивности знакопеременного напряжения как

$\Delta K=\beta \Delta \sigma {\sqrt {\pi a}}.$

Теперь, подставив коэффициент интенсивности напряжений в уравнение Париса – Эрдогана, приращение размера трещины $\Delta a$ вычисляется как

$\Delta a=C(\Delta K)^{m}\Delta N,$

где $\Delta N$ размер шага цикла. Новый размер трещины становится

$a_{i+1}=a_{i}+\Delta a,$

где индекс $i$ относится к текущему шагу итерации. Новый размер трещины используется для расчета интенсивности напряжения при максимальном приложенном напряжении для следующей итерации. Этот итерационный процесс продолжается до тех пор, пока

$K_{\text{max}}\geq K_{\text{Ic}}.$

Как только этот критерий отказа будет выполнен, моделирование останавливается.

Схематическое изображение процесса прогнозирования усталостной долговечности показано на рисунке 3.

Пример

Рисунок 4: Геометрическое представление образца для испытания на растяжение с одинарным надрезом

Коэффициент интенсивности напряжений в образце SENT (см. рис. 4) при росте усталостной трещины определяется выражением

${\begin{aligned}K_{I}&=\beta \sigma {\sqrt {\pi a}}=\sigma {\sqrt {\pi a}}{\Bigg [}0.265{\bigg [}1-{\frac {a}{W}}{\bigg ]}^{4}+{\frac {0.857+0.265{\frac {a}{W}}}{{\big [}1-{\frac {a}{W}}{\big ]}^{\frac {3}{2}}}}{\Bigg ]},\\\Delta K_{I}&=K_{\text{max}}-K_{\text{min}}=\beta \Delta \sigma {\sqrt {\pi a}}.\end{aligned}}$

Для расчета учитываются следующие параметры

$a_{0}=5$ мм, $W=100$ мм, $h=200$ мм, $K_{\text{Ic}}=30{\text{ MPa}}{\sqrt {\text{m}}}$, $R={\frac {K_{\text{min}}}{K_{\text{max}}}}=0.7$,

$\Delta \sigma =20$МПа, $C=4.6774\times 10^{-11}{\frac {\text{m}}{\text{cycle}}}{\frac {1}{({\text{MPa}}{\sqrt {\text{m}}})^{m}}}$, $m=3.874$.

Критическая длина трещины, $a=a_{c}$, можно вычислить, когда $K_{\text{max}}=K_{\text{Ic}}$ как

$a_{c}={\frac {1}{\pi }}{\Bigg (}{\frac {0.45}{\beta }}{\Bigg )}^{2}.$

Решая приведенное выше уравнение, критическая длина трещины получается как $a_{c}=26.7{\text{mm}}$.

Теперь обращение к уравнению Парижа-Эрдогана дает

$N_{f}={\frac {1}{C(\Delta \sigma )^{m}({\sqrt {\pi }})^{m}}}\int _{a_{0}}^{a_{c}}{\frac {da}{a^{\frac {m}{2}}{\Bigg [}0.265{\bigg [}1-{\frac {a}{W}}{\bigg ]}^{4}+{\frac {0.857+0.265{\frac {a}{W}}}{{\big [}1-{\frac {a}{W}}{\big ]}^{\frac {3}{2}}}}{\Bigg ]}^{m}}}$

Путем численного интегрирования приведенного выше выражения общее количество циклов нагрузки до отказа получается как $N_{f}=1.2085\times 10^{6}{\text{ cycles}}$.

Внешние ссылки

• Форман, Р.Г.; Шивакумар, В.; Кардинал, JW; Уильямс, округ Колумбия; Маккейган, ПК (2005). «База данных по росту усталостных трещин для анализа устойчивости к повреждениям» (PDF) . ФАА . Проверено 6 июля 2019 г.
• Галлахер, JP; Гисслер, Ф.Дж.; Беренс, АП; Энгл-младший, Дж. М. «Справочник ВВС США по проектированию устойчивых к повреждениям: Рекомендации по анализу и проектированию конструкций самолетов, устойчивых к повреждениям. Редакция B» . Архивировано из оригинала 9 июля 2019 года . Проверено 9 июля 2019 г.
• «Руководство по оценке устойчивости к повреждениям, том I: Введение, механика разрушения, распространение усталостных трещин» (PDF) . Федеральное управление гражданской авиации. 1993 год . Проверено 16 июля 2019 г.