Разрушение мягких материалов

Разрушение мягких материалов связано с большими деформациями и притуплением трещины до ее распространения. Следовательно, поле напряжений вблизи вершины трещины существенно отличается от традиционной формулировки, встречающейся в линейной механике упругого разрушения . Поэтому анализ разрушения для этих приложений требует особого внимания. Линейная упругая механика разрушения (LEFM) и K-поле (см. «Механика разрушения» ) основаны на предположении о бесконечно малой деформации и, как следствие, не подходят для описания разрушения мягких материалов. Однако общий подход LEFM можно применить для понимания основ разрушения мягких материалов. Решение для поля деформаций и трещинных напряжений в мягких материалах учитывает большую деформацию и получено на основе теории эластостатики конечной деформации и моделей гиперупругих материалов.

Мягкие материалы ( Мягкая материя ) состоят из материала, который, например, включает мягкие биологические ткани, а также синтетические эластомеры и очень чувствителен к температурным изменениям. Следовательно, мягкие материалы могут сильно деформироваться до распространения трещины.

Модели гиперупругих материалов

Модели гиперупругих материалов используются для получения зависимости напряжения от деформации с помощью функции плотности энергии деформации. Соответствующими моделями для получения соотношений «напряжение-деформация» для мягких материалов являются: твердое тело Муни-Ривлина , модели Нео-Хука , экспоненциально твердеющего материала и гиперупругие модели Гента. На этой странице результаты будут в основном получены на основе модели Нео-Хука.

Обобщенный нео-гук (GNH)

Модель Нео-Гука обобщена для учета фактора ужесточения:

$W={\frac {\mu }{2b}}\left\{\left[1+{\frac {b}{n}}(I-3)\right]^{n}-1\right\},$

где b>0 и n>1/2 — параметры материала, а $I=I_{1}$ – первый инвариант тензора деформации Коши-Грина:

$I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2},$

где $\lambda _{\alpha }$являются основными участками.

Конкретная модель Нео-Гука

конкретную функцию напряжения-деформации для модели нео-Гука Полагая n=1, получают :

$W={\frac {\mu }{2}}(I-3)$.

Решения вершин трещин конечной деформации (при большой деформации)

Рисунок 1: Формулировка проблемы трещины. (A) Недеформированная трещина с координатами ( $x_{1},x_{2}$) в декартовой системе и ( $r,\theta$) в полярном базисе. (B) Трещина находится в состоянии плоской деформации с одноосной нагрузкой, координаты: ( $y_{1},y_{2}$) в декартовой системе и ( $\rho ,\phi$) в полярном базисе. Адаптировано из Лонга и Хуэя [4].

Поскольку LEFM больше не применим, альтернативные методы адаптированы для учета больших деформаций при расчете полей напряжений и деформаций. В этом контексте актуален метод асимптотического анализа.

Метод асимптотического анализа

Метод асимптотического анализа заключается в асимптотическом анализе вершины трещины с целью нахождения разложения в ряд деформированных координат, способного характеризовать решение вблизи вершины трещины. Анализ сводится к нелинейной проблеме собственных значений.

Задача сформулирована на основе трещины в бесконечном твердом теле, нагруженном на бесконечности равномерным одноосным растяжением в условиях плоской деформации (см. рис.1). По мере того, как трещина деформируется и прогрессирует, координаты в текущей конфигурации представляются как $y_{1}$ и $y_{2}$ в декартовой системе и $\rho$ и $\phi$ в полярном базисе. Координаты $y_{1}$ и $y_{2}$ являются функциями недеформированных координат ( $r,\theta$) и вблизи вершины трещины при r→0 может быть задано как:

$y_{\alpha }(r,\theta )=r^{m_{\alpha }}\upsilon _{\alpha }(\theta )+r^{p_{\alpha }}q_{\alpha }(\theta )+...$

$m_{\alpha }<p_{\alpha },$ $\alpha =1,2,$

где $m_{\alpha }$, $p_{\alpha }$ являются неизвестными показателями, а $\upsilon _{\alpha }(\theta )$, $q_{\alpha }(\theta )$ — неизвестные функции, описывающие угловое изменение.

Чтобы получить собственные значения, приведенное выше уравнение подставляется в определяющую модель, которая дает соответствующие компоненты номинального напряжения. Затем напряжения подставляются в уравнения равновесия (та же формулировка, что и в теории ЛЭФМ) и применяются граничные условия. Наиболее доминирующие члены сохраняются, что приводит к проблеме собственных значений для $\upsilon _{\alpha }(\theta )$ и $m_{\alpha }$.

Деформации и поле напряжений в плоскодеформированной трещине

Для случая однородного неогуковского твердого тела (n=1) в условиях режима I деформированные координаты для конфигурации плоской деформации определяются выражением

$y_{1}=-b_{0}r\sin ^{2}(\theta /2),\quad y_{2}=ar^{1/2}\sin(\theta /2),$

где а и $b_{0}$неизвестные положительные амплитуды, зависящие от приложенной нагрузки и геометрии образца.

Главные члены номинального напряжения (или первого напряжения Пиолы-Кирхгофа , обозначаемого $\sigma$ на этой странице):

$\sigma _{11}=\mu b_{0},\quad \sigma _{12}=o(1),$

$\sigma _{21}=-{\frac {\mu a}{2}}r^{-1/2}\sin(\theta /2),$

$\sigma _{22}={\frac {\mu a}{2}}r^{-1/2}\cos(\theta /2).$

Таким образом, $\sigma _{11}$и $\sigma _{21}$ограничены у вершины трещины и $\sigma _{21}$и $\sigma _{22}$имеют ту же особенность.

Ведущие члены для истинного напряжения (или напряжения Коши , обозначаемого $\tau$ на этой странице),

$\tau _{11}=\mu b_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta /2),$

$\tau _{12}=\tau _{21}=-{\frac {\mu }{2}}ab_{0}r^{-1/2}\sin ^{2}(\theta /2),$

$\tau _{22}={\frac {\mu }{4}}a^{2}r^{-1}.$

Единственный истинный компонент напряжения, полностью определяемый a, - это $\tau _{22}$. Он также представляет собой наиболее серьезную сингулярность. При этом ясно, что особенность различается, если напряжение задано в текущей или эталонной конфигурации. Кроме того, в LEFM истинное поле напряжений в режиме I имеет особенность ${r}^{-1/2}$, что слабее сингулярности в $\tau _{22}$.

В то время как в LEFM поле смещения вблизи кончика зависит только от коэффициента интенсивности напряжений режима I, здесь показано, что при больших деформациях смещение зависит от двух параметров (a и $b_{0}$ для состояния плоской деформации).

Деформации и поле напряжений в плоской напряженной трещине

Поле деформации вершины трещины для конфигурации режима I в однородном материале неогуковского твердого тела (n=1) определяется выражением

$y_{1}=cr\,\cos \theta ,\quad y_{2}=a{\sqrt {r}}\sin(\theta /2),$

где a и c — положительные независимые амплитуды, определяемые граничными условиями в дальнем поле.

Доминирующими членами номинального напряжения являются

$\sigma _{11}=\mu c,\quad \sigma _{12}=o(1),$

$\sigma _{21}=-{\frac {\mu a}{2}}r^{-1/2}\sin(\theta /2),$

$\sigma _{22}={\frac {\mu a}{2}}r^{-1/2}\cos(\theta /2).$

Истинные компоненты стресса

$\tau _{11}=\mu c^{2},\quad \tau _{12}=\tau _{21}=-{\frac {\mu }{2}}acr^{-1/2}\sin(\theta /2),$

$\tau _{22}={\frac {\mu }{4}}a^{2}r^{-1}.$

Аналогично, смещение зависит от двух параметров (a и c для плосконапряженного состояния), причем сингулярность сильнее в $\tau _{22}$ срок.

Распределение истинного напряжения в деформированных координатах (как показано на рис. 1Б) может иметь значение при анализе распространения трещин и явления затупления. Кроме того, это полезно при проверке экспериментальных результатов деформации трещины.

J-интеграл

J -интеграл представляет собой энергию, которая поступает в трещину, поэтому он используется для расчета скорости выделения энергии G. Кроме того, его можно использовать в качестве критерия разрушения. Обнаружено, что этот интеграл не зависит от траектории, пока материал эластичен и не происходит повреждений микроструктуры.

Оценка J на ​​круговом пути в эталонной конфигурации дает

$J=\pi A\left({\frac {2n-1}{2n}}\right)^{2n-1}n^{2-n}a^{2n},$

для режима плоской деформации I, где a — амплитуда главного члена порядка $y_{2}$ A и n — параметры материала из функции энергии деформации.

Для режима плоского напряжения I в неогеокевском материале J определяется выражением

$J={\frac {\mu \pi }{2}}\left({\frac {b}{n}}\right)^{n-1}\left({\frac {2n-1}{2n}}\right)^{2n-1}n^{1-n}a^{2n},$

где b и n — материальные параметры твердых тел ГНХ. Для конкретного случая модели нео-Гука, где n=1, b=1 и $A=\mu /2$, J-интеграл для плоского напряжения и плоской деформации в режиме I одинаков:

$J={\frac {\mu \pi a^{2}}{4}}.$

J-интеграл в эксперименте с чистым сдвигом

J-интеграл можно определить экспериментально. Одним из распространенных экспериментов является чистый сдвиг бесконечной длинной полосы, как показано на рис. 2. Верхний и нижний края зажимаются захватами, а нагрузка прикладывается путем растягивания захватов вертикально друг от друга на ± ∆. Этот набор создает состояние плоского напряжения.

Рисунок 2: Эксперимент с чистым сдвигом.

Таким образом, в этих условиях J-интеграл оценивается как

$J=2h_{0}W(I_{1},I_{2})=2h_{0}\Psi (\lambda ),$

где $I_{1}=I_{2}=\lambda ^{2}+\lambda ^{-2}+1,$ $\lambda =1+{\frac {\Delta }{h_{0}}},$

и $h_{0}$– максимум недеформированного состояния полосы. Функция $\Psi (\lambda )$определяется путем измерения номинального напряжения, действующего на полосу, растянутую $\lambda$:

$\Psi =\int _{1}^{\lambda }\sigma (\lambda )d\lambda .$

Следовательно, по приложенному смещению каждого захвата ± ∆ можно определить J-интеграл для соответствующего номинального напряжения. С помощью J-интеграла можно найти амплитуду (параметр a) некоторых истинных компонентов напряжения. Однако амплитуды некоторых других компонентов напряжения зависят от других параметров, таких как c (например, $\sigma _{11}$ в условиях плоского напряжения) и не может быть определен экспериментом с чистым сдвигом. Тем не менее, эксперимент с чистым сдвигом очень важен, поскольку он позволяет охарактеризовать вязкость разрушения мягких материалов.

Трещины интерфейса

Рисунок 3: Геометрия трещины на границе раздела. Адаптировано из Гобеля и Кнаусса [5].

Чтобы приблизиться к взаимодействию адгезии между мягкими клеями и жесткими подложками, указано асимптотическое решение проблемы трещин на границе раздела между материалом GNH и жесткой подложкой. Рассматриваемая здесь конфигурация межфазной трещины показана на рис.3, где боковое скольжение не учитывается.

Для специального неогуковского случая с n=1 и ${\overline {v_{1}}}={\overline {v_{2}}}=\cos \theta$, решение для деформированных координат имеет вид

$y_{1}=a_{1}r^{\frac {1}{2}}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)+r\cos \theta ,$

$y_{2}=a_{2}r^{\frac {1}{2}}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right),$

Рисунок 4: Интерфейс мягкого материала и жесткой подложки. А) График деформированных координат вершины трещины. Б) Параболическая форма вершины трещины.

что эквивалентно

$y_{1}={\frac {a_{1}}{a_{2}}}y_{2}-\left({\frac {y_{2}}{a_{2}}}\right)^{2}.$

Согласно приведенному выше уравнению, трещина на границе раздела этого типа открывается параболической формы. Это подтверждается построением нормированных координат $y_{1}/a_{2}^{2}$ против $y_{2}/a_{2}^{2}$ для разных $a_{1}/a_{2}$ соотношения (см. рис. 4).

Чтобы провести анализ границы раздела между двумя листами GNH с одинаковыми характеристиками упрочнения, обратитесь к модели, описанной Гобелем и Кнауссом.

См. также

• Механика разрушения
• Мягкая материя
• J-интеграл
• Нео-Гуково твердое тело
• Гент (гиперэластичная модель)
• Муни-Ривлин твердый
• Разрушение биологических материалов