Доступная категория

Теория доступных категорий является частью математики , в частности теории категорий . Он пытается описать категории с точки зрения «размера» ( количественного числа ) операций, необходимых для создания их объектов.

Теория берет свое начало в работе Гротендика, завершенной к 1969 году: и Габриэль и Ульмер (1971). В 1989 году она была развита Майклом Маккаем и Робертом Паре с мотивацией, исходящей из теории моделей , раздела математической логики . Стандартный учебник Адамека и Росицкого появился в 1994 году. Доступные категории также имеют приложения в теории гомотопий . Гротендик продолжил развитие теории для целей теории гомотопий в своей (еще частично неопубликованной) рукописи 1991 года « Les dérivateurs» . Некоторые свойства доступных категорий зависят от множества юниверсов используемого , в частности, от кардинальных свойств и принципа Вопенки .

κ -направленные копределы и κ -представимые объекты

Позволять $\kappa$ быть бесконечным регулярным кардиналом , т.е. кардинальным числом , которое не является суммой меньшего числа меньших кардиналов; примеры $\aleph _{0}$ ( алеф-0 ), первое бесконечное кардинальное число, и $\aleph _{1}$, первый несчетный кардинал). набор Частично упорядоченный $(I,\leq )$ называется $\kappa$-направлено, если каждое подмножество $J$ из $I$ мощности меньше $\kappa$ имеет верхнюю границу в $I$. В частности, обычные направленные множества — это именно $\aleph _{0}$-направленные наборы.

Теперь позвольте $C$ быть категорией . Прямой предел (также известный как направленный копредел) по $\kappa$-направленный набор $(I,\leq )$ называется $\kappa$-направленный копредел . Объект $X$ из $C$ называется $\kappa$-представимо, если функтор Hom $\operatorname {Hom} (X,-)$ сохраняет все $\kappa$-направленные копределы в $C$. Понятно, что каждый $\kappa$-презентабельный объект также $\kappa '$-презентабельный в любое время $\kappa \leq \kappa '$, поскольку каждый $\kappa '$-направленный копредел также является $\kappa$-направленный копредел в этом случае. А $\aleph _{0}$-Представимый объект называется конечно представимым .

Примеры

• В категории Множество всех множеств конечно представимые объекты совпадают с конечными множествами. $\kappa$-презентабельными объектами являются множества мощности меньше, чем $\kappa$.
• В категории всех групп объект конечно представим тогда и только тогда, когда он является конечно представимой группой , т. е. если он имеет представление с конечным числом образующих и конечным числом отношений. Для бесчисленных регулярных $\kappa$, $\kappa$-презентабельными объектами являются именно группы с мощностью меньше $\kappa$.
• В категории левых $R$-модули над некоторым (унитарным, ассоциативным) кольцом $R$конечно представимые объекты - это в точности конечно представимые модули .

κ -доступные и локально презентабельные категории

Категория $C$ называется $\kappa$-доступен при условии, что:

• $C$ есть все $\kappa$-направленные копределы
• $C$ содержит набор $P$ из $\kappa$- презентабельные объекты, такие, что каждый предмет $C$ это $\kappa$-направленный копредел объектов $P$.

Ан $\aleph _{0}$-доступная категория называется конечно доступной .Категория называется доступной, если она $\kappa$-доступен для некоторого бесконечного регулярного кардинала $\kappa$. Когда доступная категория также является кополной , она называется локально представимой .

Функтор $F:C\to D$ между $\kappa$-доступные категории называются $\kappa$-доступен при условии, что $F$ сохраняет $\kappa$-направленные копределы.

Примеры

• Категория Set всех множеств и функций локально конечно представима, поскольку каждое множество является прямым пределом своих конечных подмножеств, а конечные множества конечно представимы.
• Категория $R$-Мод (слева) $R$-модулей локально конечно представимо для любого кольца $R$.
• Категория симплициальных множеств конечно доступна.
• Категория Mod(T) моделей некоторой теории T первого порядка со счетной сигнатурой равна $\aleph _{1}$ -Доступный. $\aleph _{1}$ -Представимые объекты – это модели со счетным числом элементов.
• Дальнейшими примерами локально представимых категорий являются финитарные алгебраические категории (т. е. категории, соответствующие многообразиям алгебр в универсальной алгебре ) и категории Гротендика .

Теоремы

Можно показать, что каждая локально представимая категория также является полной . При этом категория локально представима тогда и только тогда, когда она эквивалентна категории моделей предельного эскиза .

Сопряженные функторы между локально представимыми категориями имеют особенно простую характеристику. Функтор $F:C\to D$ между локально презентабельными категориями:

• является левым сопряженным тогда и только тогда, когда он сохраняет малые копределы,
• является правым сопряженным тогда и только тогда, когда оно сохраняет малые пределы и доступно.

Ссылки

• Адамек, Иржи; Росицки, Иржи (1994), Локально презентабельные и доступные категории , Конспекты лекций LNM, Cambridge University Press, ISBN  0-521-42261-2