Прекрасное последствие

Consequentia mirabilis ( с латыни «замечательное следствие»), также известный как Клавиуса закон , используется в традиционной и классической логике для установления истинности предложения на основе несогласованности его отрицания. ^[1] Таким образом, оно связано с доведением до абсурда , но может доказать утверждение, используя только свое собственное отрицание и концепцию непротиворечивости. В более конкретной формулировке он утверждает, что если предложение является следствием его отрицания, то оно истинно для последовательности. В формальных обозначениях:

(\neg A\to A)\to A

.

Более слабые варианты принципа доказуемы в минимальной логике , но сам полный принцип недоказуем даже в интуиционистской логике .

История [ править ]

Consequentia mirabilis — образец аргументации, популярный в Европе 17-го века, который впервые появился во фрагменте «Протрептика» Аристотеля : «Если нам следует философствовать, то нам следует философствовать; а если нам не следует философствовать, то нам следует философствовать ( т. е. для того, чтобы оправдать этот взгляд); следовательно, в любом случае нам следует философствовать». ^[2]

Барнс мимоходом утверждает, что термин Conceccia mirabilis относится только к выводу предложения из противоречивости его отрицания, а термин Lex Clavia (или Закон Клавиуса) относится к выводу отрицания предложения из противоречивости предложения. . ^[3]

Производные [ править ]

Минимальная логика [ править ]

Ниже показано, какие слабые формы закона еще сохраняются в минимальной логике, в которой отсутствуют как исключенное третье, так и принцип взрыва .

Более слабые варианты [ править ]

Теорема Фреге гласит

{\big (}B\rightarrow (C\to D){\big )}\to {\Big (}(B\rightarrow C)\to (B\to D){\Big )}

Для $D=\bot$ это форма введения отрицания , а затем для $B=C$ и используя закон тождества , оно сводится к

{\big (}B\rightarrow \neg B{\big )}\rightarrow \neg B

Теперь о $B=\neg A$ , отсюда следует, что $(\neg A\to \neg \neg A)\to \neg \neg A$ . По введению импликации это действительно эквивалентность,

(\neg A\to \neg \neg A)\leftrightarrow \neg \neg A

В минимальной логике первое двойное отрицание в исходной импликации также может быть удалено, что ослабляет утверждение до $(\neg A\to A)\to \neg \neg A$ . Таким образом, замечательный вывод справедлив всякий раз, когда $\neg \neg A\leftrightarrow A$ . Как $E\to \neg \neg A$ всегда также все еще эквивалентно $\neg \neg (E\to A)$ в минимальной логике вышеизложенное также конструктивно устанавливает двойное отрицание консеквенций мирабилис. Конечно, если принять принцип исключения двойного отрицания для всех предложений, то из этого следует также консеквенция мирабилис просто потому, что последний возвращает минимальную логику к полной классической логике.

Это показывает, что уже минимальная логика подтверждает, что предложение $A$ не может быть отвергнуто в точности, если это подразумевается из его отрицания и что $A$ имеет место именно тогда, когда это подразумевается обоими $\neg A$ и $\neg \neg A$ .

Слабая форма $(\neg A\to A)\to \neg (\neg A)$ можно также рассматривать как эквивалент принципа непротиворечия. $\neg {\big (}A\land \neg A{\big )}$ . С этой целью сначала отметим, что, используя modus ponens и введение импликации, этот принцип эквивалентен следующему: $\neg {\big (}(\neg A\to A)\land (\neg A){\big )}$ . Претензия теперь следует из $(B\to \neg C)\leftrightarrow \neg (B\land C)$ , то есть тот факт, что существуют эквивалентные характеристики двух взаимоисключающих предложений.

Эквивалентность исключенному среднему [ править ]

Отрицание любой исключенной средней дизъюнкции подразумевает саму дизъюнкцию. Таким образом, из приведенной выше слабой формы следует, что исключенное среднее утверждение с двойным отрицанием допустимо в минимальной логике. Аналогично, этот аргумент показывает, как полная консеквенция мирабилис подразумевает исключенное третье.

Следующее рассуждение показывает, что справедливо и обратное. Принцип, относящийся к анализу случая, можно сформулировать следующим образом: если оба $B$ и $C$ каждый подразумевает $A$ , и любой из них должен выполняться, тогда $A$ следует. Формально,

{\big (}(B\to A)\land (C\to A)\land (B\lor C){\big )}\to A

Для $B=A$ и $C=\neg A$ , принцип идентичности теперь влечет за собой

{\big (}(\neg A\to A)\land (A\lor \neg A){\big )}\to A

Всякий раз, когда второе соединение антецедента, $A\lor \neg A$ , верно, такова и реализация принципа.

Интуиционистская логика [ править ]

У одного это есть $(A\to B)\to A$ подразумевает $(A\to B)\to (A\land B)$ . При исключении конъюнкции это фактически эквивалентность. В частности, имеется

{\big (}\neg A\to A{\big )}\leftrightarrow {\big (}\neg A\to (A\land \bot ){\big )}

Правая рука этого также подразумевает $\neg \neg A$ , что дает еще одну демонстрацию того, как устранение двойного отрицания влечет за собой последствия чудес, в минимальной логике.

Чтобы продемонстрировать, что принципы на самом деле эквивалентны в интуиционистской логике, необходимо показать, что их предшественники полностью эквивалентны. Следовательно, то, что нужно доказать, $\bot \leftrightarrow (A\land \bot )$ . Это справедливо, поскольку сам принцип взрыва можно сформулировать как $\bot \to (A\land \bot )$ .

Классическая логика [ править ]

Установлено, каким образом консеквенция мирабилис следует из исключения двойного отрицания в минимальной логике и как она эквивалентна исключенному третьему. Действительно, это также можно установить, используя классически допустимую пропозициональную форму обратного дизъюнктивного силлогизма. $(B\to A)\to (\neg B\lor A)$ соединены вместе с принципом исключения двойного отрицания в виде $(\neg \neg A\lor A)\to A$ .

Что касается последнего интуиционистского вывода, приведенного выше, то последствия мирабилис также следуют как частный случай закона Пирса.

{\big (}(A\to B)\to A{\big )}\to A

для $B=\bot$ . В этой статье можно найти дополнительные эквиваленты.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Сэйнсбери, Ричард. Парадоксы . Издательство Кембриджского университета, 2009, с. 128.
^ Нил, Уильям (1957). «Аристотель и Consequentia Mirabilis». Журнал эллинистических исследований . 77 (1): 62–66. дои : 10.2307/628635 . JSTOR 628635 . S2CID 163283107 .
^ Барнс, Джонатан. Философы-досократики: аргументы философов . Рутледж, 1982, с. 217 (стр. 277 в издании 1979 г.).

[1] Сэйнсбери, Ричард. Парадоксы . Издательство Кембриджского университета, 2009, с. 128.

[Kneale1957-2] Нил, Уильям (1957). «Аристотель и Consequentia Mirabilis». Журнал эллинистических исследований . 77 (1): 62–66. дои : 10.2307/628635 . JSTOR 628635 . S2CID 163283107 .

[3] Барнс, Джонатан. Философы-досократики: аргументы философов . Рутледж, 1982, с. 217 (стр. 277 в издании 1979 г.).

[1]

[2]

[3]