Многообразие Лефшеца

В математике многообразие Лефшеца — это особый вид симплектического многообразия. $(M^{2n},\omega )$, разделяющее определенное когомологическое свойство с кэлеровым многообразием , а именно удовлетворяющее заключению теоремы Харда Лефшеца . Точнее, сильное свойство Лефшеца требует, чтобы $k\in \{1,\ldots ,n\}$, чашка продукта

$\cup [\omega ^{k}]\colon H^{n-k}(M,\mathbb {R} )\to H^{n+k}(M,\mathbb {R} )$

быть изоморфизмом.

Топология этих симплектических многообразий строго ограничена, например, их нечетные числа Бетти четны. Это замечание приводит к многочисленным примерам симплектических многообразий, которые не являются кэлеровыми; первый исторический пример принадлежит Уильяму Терстону .

Карты Лефшеца

Позволять $M$ быть ( $2n$)-мерное гладкое многообразие. Каждый элемент

$[\omega ]\in H_{DR}^{2}(M)$

второго когомологий де Рама пространства $M$ вызывает карту

$L_{[\omega ]}:H_{DR}(M)\to H_{DR}(M),[\alpha ]\mapsto [\omega \wedge \alpha ]$

называется Лефшеца отображением $[\omega ]$. Сдача в аренду $L_{[\omega ]}^{i}$ быть $i$итерация $L_{[\omega ]}$, у нас есть для каждого $0\leq i\leq n$ карта

$L_{[\omega ]}^{i}:H_{DR}^{n-i}(M)\to H_{DR}^{n+i}(M).$

Если $M$ компактен что и ориентирован , то двойственность Пуанкаре говорит нам, $H_{DR}^{n-i}(M)$ и $H_{DR}^{n+i}(M)$ являются векторными пространствами одной и той же размерности, поэтому в этих случаях естественно задаться вопросом, являются ли различные итерации отображений Лефшеца изоморфизмами.

Теорема Харда Лефшеца утверждает, что это справедливо для симплектической формы компактного кэлерова многообразия.

Определения

Если

$L_{[\omega ]}^{n-1}:H_{DR}^{1}(M)\to H_{DR}^{2n-1}$

и

$L_{[\omega ]}^{n}:H_{DR}^{0}(M)\to H_{DR}^{2n}$

являются изоморфизмами, то $[\omega ]$ является элементом Лефшеца или классом Лефшеца . Если

$L_{[\omega ]}^{i}:H_{DR}^{n-i}(M)\to H_{DR}^{n+i}(M)$

является изоморфизмом для всех $0\leq i\leq n$, затем $[\omega ]$ — сильный элемент Лефшеца или сильный класс Лефшеца .

Позволять $(M,\omega )$ быть $2n$-мерное симплектическое многообразие . Тогда оно ориентируемо, но, возможно, не компактно. Один говорит, что $(M,\omega )$ является многообразием Лефшеца, если $[\omega ]$ является элементом Лефшеца, а $(M,\omega )$ является сильным многообразием Лефшеца, если $[\omega ]$ является сильным элементом Лефшеца.

найти

Вещественное многообразие, лежащее в основе любого кэлерова многообразия, является симплектическим многообразием. Сильная теорема Лефшеца говорит нам, что это также сильное многообразие Лефшеца и, следовательно, многообразие Лефшеца. Таким образом, мы имеем следующую цепочку включений.

{Кэлеровы многообразия} $\subset$ {сильные многообразия Лефшеца} $\subset${Многообразия Лефшеца} $\subset$ {симплектические многообразия}

Чал Бенсон и Кэролайн С. Гордон доказали в 1988 году что если компактное нильмногообразие является многообразием Лефшеца, то оно диффеоморфно тору . Тот факт, что существуют нильмногообразия, не диффеоморфные тору, показывает, что между кэлеровыми многообразиями и симплектическими многообразиями существует некоторое пространство, но класс нильмногообразий не показывает никаких различий между кэлеровыми многообразиями, многообразиями Лефшеца и сильными многообразиями Лефшеца.

Гордан и Бенсон предположили, что если компактное полное солвмногообразие допускает кэлерову структуру, то оно диффеоморфно тору . Это было доказано. Более того, было найдено множество примеров солвмногообразий, которые являются сильными Лефшецем, но не кэлеровы, а также солвмногообразий, которые являются Лефшецем, но не являются сильными Лефшецем. Такие примеры привел Такуми Ямада в 2002 году.