Сольв-многообразие

В математике солвмногообразие — однородное пространство связной разрешимой группы Ли . Его также можно охарактеризовать как фактор связной разрешимой группы Ли по замкнутой подгруппе . (Некоторые авторы также требуют, чтобы группа Ли была односвязной или чтобы фактор был компактным.) Особый класс солвмногообразий — нильмногообразия — был введен Анатолием Мальцевым , доказавшим первые структурные теоремы. Свойства общих солвмногообразий аналогичны, но несколько сложнее.

Примеры

• Разрешимая группа Ли тривиально является солвмногообразием.
• Любая нильпотентная группа разрешима, следовательно, любое нильмногообразие является солвмногообразием. К этому классу примеров относятся n -мерные торы и факторизация трехмерной вещественной группы Гейзенберга по ее целой подгруппе Гейзенберга.
• Лента Мёбиуса и бутылка Клейна представляют собой солвмногообразия, не являющиеся нильмногообразиями.
• Тор отображения диффеоморфизма Аносова n -тора является солвмногообразием. Для $n=2$эти многообразия принадлежат Солнцу , одной из восьми геометрий Терстона .

Характеристики

• Сольвмногообразие диффеоморфно пространству векторного расслоения над некоторым компактным солвмногообразием. Это утверждение было высказано Джорджем Мостоу и доказано Луисом Ауслендером и Ричардом Толимьери.
• Фундаментальная группа произвольного солвмногообразия полициклична .
• Компактное солвмногообразие определяется с точностью до диффеоморфизма своей фундаментальной группой.
• Фундаментальные группы компактных солвмногообразий можно охарактеризовать как групповые расширения свободных абелевых групп конечного ранга с помощью конечно порожденных нильпотентных групп без кручения.
• Каждое сольвмногообразие асферично . Среди всех компактных однородных пространств солвмногообразия могут характеризоваться свойствами асферичности и наличия разрешимой фундаментальной группы.

Полнота

Позволять ${\mathfrak {g}}$ быть настоящей алгеброй Ли . Она называется полной алгеброй Ли, если каждое отображение

$\operatorname {ad} (X)\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}},X\in {\mathfrak {g}}$

в своем присоединенном представлении гиперболичен, т. е. имеет только вещественные собственные значения . Пусть G — разрешимая группа Ли, алгебра Ли которой ${\mathfrak {g}}$ завершен. Тогда для любой замкнутой подгруппы $\Gamma$ группы G , сольвмногообразие $G/\Gamma$ является полным солвмногообразием .

Ссылки

• Ауслендер, Луи (1973), «Изложение структуры солвмногообразий. Часть I: Алгебраическая теория» (PDF) , Бюллетень Американского математического общества , 79 (2): 227–261, doi : 10.1090/S0002-9904- 1973-13134-9 , МР   0486307
  • — (1973), «Часть II: Потоки, индуцированные $G$» , Bull. амер. Математика. Соц. , 79 (2): 262–285, doi : 10.1090/S0002-9904-1973-13139-8 , MR   0486308
• Купер, Дэрил; Шарлеманн, Мартин (1999), «Структура расщепления Хегора солвмногообразия» (PDF) , Труды 6-й конференции по геометрии и топологии Гёковой, Турецкий журнал математики , 23 (1): 1–18, ISSN   1300-0098 , MR   1701636
• Горбацевич, В.В. (2001) [1994], «Сольв-многообразие» , Энциклопедия Математики , EMS Press