Теорема Лефшеца о гиперплоскости

В математике , особенно в алгебраической геометрии и алгебраической топологии , теорема Лефшеца о гиперплоскости представляет собой точное утверждение определенных отношений между формой алгебраического многообразия и формой его подмногообразий. Точнее, теорема говорит, что для многообразия X, в проективное пространство и сечение Y , гомологии , когомологии и гомотопические группы X Y. определяют группы гиперплоское вложенного Результат такого рода впервые был сформулирован Соломоном Лефшецем для групп гомологии комплексных алгебраических многообразий. С тех пор аналогичные результаты были получены для гомотопических групп в положительной характеристике и в других теориях гомологии и когомологии.

Далеко идущее обобщение жесткой теоремы Лефшеца дается теоремой о разложении .

Теорема Лефшеца о гиперплоскости для комплексных проективных многообразий

Позволять $X$ быть $n$ -мерное комплексное проективное алгебраическое многообразие в $\mathbb {C} \mathbf {P} ^{N}$ , и пусть $Y$ быть гиперплоским сечением $X$ такой, что $U=X\setminus Y$ гладкий. Теорема Лефшеца относится к любому из следующих утверждений: ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

Природная карта $H_{k}(Y,\mathbb {Z} )\rightarrow H_{k}(X,\mathbb {Z} )$ в сингулярных гомологиях является изоморфизмом для $k<n-1$ и является сюръективным для $k=n-1$ .
Природная карта $H^{k}(X,\mathbb {Z} )\rightarrow H^{k}(Y,\mathbb {Z} )$ в сингулярных когомологиях является изоморфизмом для $k<n-1$ и является инъективным для $k=n-1$ .
Природная карта $\pi _{k}(Y,\mathbb {Z} )\rightarrow \pi _{k}(X,\mathbb {Z} )$ является изоморфизмом для $k<n-1$ и является сюръективным для $k=n-1$ .

Используя длинную точную последовательность , можно показать, что каждое из этих утверждений эквивалентно теореме об исчезновении для некоторых относительных топологических инвариантов. По порядку это:

Относительные сингулярные группы гомологий $H_{k}(X,Y;\mathbb {Z} )$ равны нулю для $k\leq n-1$ .
Относительные сингулярные группы когомологий $H^{k}(X,Y;\mathbb {Z} )$ равны нулю для $k\leq n-1$ .
Относительные гомотопические группы $\pi _{k}(X,Y)$ равны нулю для $k\leq n-1$ .

Доказательство Лефшеца

Соломон Лефшец ^{[ 3 ]} использовал свою идею карандаша Лефшеца для доказательства теоремы. Вместо того, чтобы рассматривать сечение гиперплоскости $Y$ в одиночку он поместил его в семейство гиперплоских сечений $Y_{t}$ , где $Y=Y_{0}$ . Поскольку общее гиперплоское сечение является гладким, все, кроме конечного числа $Y_{t}$ являются гладкими сортами. После удаления этих точек из $t$ -плоскости и сделав дополнительное конечное число щелей, полученное семейство гиперплоских сечений топологически тривиально. То есть это продукт дженерика. $Y_{t}$ с открытым подмножеством $t$ -самолет. $X$ Следовательно, можно понять, если понять, как идентифицируются гиперплоские сечения через щели и в особых точках. Вдали от особых точек отождествление можно описать индуктивно. В особых точках лемма Морса означает, что существует выбор системы координат для $X$ особенно простой формы. Эту систему координат можно использовать для прямого доказательства теоремы. ^{[ 4 ]}

Доказательство Андреотти и Франкеля

Альдо Андреотти и Теодор Франкель ^{[ 5 ]} признал, что теорему Лефшеца можно переформулировать с помощью теории Морса . ^{[ 6 ]} Здесь параметр $t$ играет роль функции Морса. Основным инструментом в этом подходе является теорема Андреотти–Франкеля , которая утверждает, что комплексное аффинное многообразие комплексной размерности $n$ (и, следовательно, реальное измерение $2n$ ) имеет гомотопический тип CW-комплекса (вещественной) размерности $n$ . Это означает, что гомологии относительные группы $Y$ в $X$ тривиальны в степени меньшей, чем $n$ . Тогда длинная точная последовательность относительных гомологий дает теорему.

Доказательства Тома и Ботта

Ни доказательство Лефшеца, ни доказательство Андреотти и Франкеля непосредственно не подразумевают теорему Лефшеца о гиперплоскости для гомотопических групп. Подход, который дает такой результат, был найден Рене Томом не позднее 1957 года, упрощен и опубликован Раулем Боттом в 1959 году. ^{[ 7 ]} Том и Ботт интерпретируют $Y$ как исчезающий локус в $X$ участка линейного пучка. Применение теории Морса к этому разделу означает, что $X$ может быть построен из $Y$ путем примыкания ячеек размерности $n$ или больше. Отсюда следует, что относительные гомологии и гомотопические группы $Y$ в $X$ сконцентрированы в градусах $n$ и выше, что и дает теорему.

Доказательство Кодайры и Спенсера для групп Ходжа.

Кунихико Кодайра и Дональд К. Спенсер обнаружили, что при определенных ограничениях можно доказать теорему типа Лефшеца для групп Ходжа. $H^{p,q}$ . В частности, предположим, что $Y$ является гладким и что расслоение линий ${\mathcal {O}}_{X}(Y)$ достаточно. Тогда карта ограничений $H^{p,q}(X)\to H^{p,q}(Y)$ является изоморфизмом, если $p+q<n-1$ и инъективен, если $p+q=n-1$ . ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]} По теории Ходжа эти группы когомологий равны пучковым группам когомологий $H^{q}(X,\textstyle \bigwedge ^{p}\Omega _{X})$ и $H^{q}(Y,\textstyle \bigwedge ^{p}\Omega _{Y})$ . Следовательно, теорема следует из применения теоремы об исчезновении Акизуки–Накано к $H^{q}(X,\textstyle \bigwedge ^{p}\Omega _{X}|_{Y})$ и используя длинную точную последовательность.

Объединение этого доказательства с теоремой об универсальных коэффициентах почти дает обычную теорему Лефшеца для когомологий с коэффициентами в любом поле нулевой характеристики. Однако он немного слабее из-за дополнительных предположений о $Y$ .

Доказательство Артина и Гротендика для конструктивных пучков

Майкл Артин и Александр Гротендик нашли обобщение теоремы Лефшеца о гиперплоскости на случай, когда коэффициенты когомологий лежат не в поле, а в конструктивном пучке . Они доказывают, что для конструктивного пучка ${\mathcal {F}}$ на аффинном многообразии $U$ , группы когомологий $H^{k}(U,{\mathcal {F}})$ исчезать всякий раз, когда $k>n$ . ^{[ 10 ]}

Теорема Лефшеца в других теориях когомологий

Мотивация доказательства Артина и Гротендика для конструктивных пучков заключалась в том, чтобы дать доказательство, которое можно было бы адаптировать к условиям этала и $\ell$ -адические когомологии. С точностью до некоторых ограничений на конструктивный пучок теорема Лефшеца остается верной для конструктивных пучков положительной характеристики.

Теорему можно также обобщить на гомологию пересечений . В этом случае теорема справедлива для сильно сингулярных пространств.

Теорема типа Лефшеца справедлива и для групп Пикара . ^{[ 11 ]}

Жесткая теорема Лефшеца

Позволять $X$ быть $n$ -мерное неособое комплексное проективное многообразие в $\mathbb {C} \mathbf {P} ^{N}$ . Тогда в когомологий кольце $X$ , $k$ -кратное произведение с классом когомологий гиперплоскости дает изоморфизм между $H^{n-k}(X)$ и $H^{n+k}(X)$ .

Это трудная теорема Лефшеца , которую Гротендик по-французски окрестил в просторечии Теоремой Лефшеца . ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]} Отсюда немедленно следует часть инъективной теоремы Лефшеца о гиперплоскости.

Жесткая теорема Лефшеца фактически верна для любого компактного кэлерова многообразия с изоморфизмом в когомологиях де Рама, заданным умножением на степень класса кэлеровой формы. Это может не работать для некэлеровых многообразий: например, поверхности Хопфа имеют исчезающие вторые группы когомологий, поэтому не существует аналога второго класса когомологий гиперплоского сечения.

Жесткая теорема Лефшеца была доказана для $\ell$ -адические когомологии гладких проективных многообразий над алгебраически замкнутыми полями положительной характеристики Пьера Делинь ( 1980 ).

Ссылки

^ Милнор 1963 , Теорема 7.3 и следствие 7.4.
^ Вуазен 2003 , Теорема 1.23.
^ Лефшец 1924 г.
^ Гриффитс, Спенсер и Уайтхед, 1992 г.
^ Андреотти и Франкель, 1959 г.
^ Милнор 1963 , с. 39
^ Ботт 1959
^ Лазарсфельд 2004 , пример 3.1.24.
^ Вуазен 2003 , Теорема 1.29.
^ Лазарсфельд 2004 , Теорема 3.1.13.
^ Лазарсфельд 2004 , пример 3.1.25.
^ Бовиль
^ Суббота, 2001 г.

Библиография

Андреотти, Альдо ; Франкель, Теодор (1959), «Теорема Лефшеца о гиперплоских сечениях», Annals of Mathematics , Second Series, 69 (3): 713–717, doi : 10.2307/1970034 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970034 , MR 0177422
Бовилль, Арно , Гипотеза Ходжа , CiteSeerX 10.1.1.74.2423
Ботт, Рауль (1959), «К теореме Лефшеца» , Michigan Mathematical Journal , 6 (3): 211–216, doi : 10.1307/mmj/1028998225 , MR 0215323 , получено 30 января 2010 г.
Делинь, Пьер (1980), «Гипотеза Вейля. II» , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 52 (52): 137–252, doi : 10.1007/BF02684780 , ISSN 1618-1913 , MR 0601520 , S2CID 18976946 9
Гриффитс, Филипп ; Спенсер, Дональд С .; Уайтхед, Джордж В. (1992), «Соломон Лефшец», в Национальной академии наук, Управление министра внутренних дел (ред.), Биографические мемуары , том. 61, Издательство национальных академий, ISBN 978-0-309-04746-3
Лазарсфельд, Роберт (2004), Позитивность в алгебраической геометрии. I , результаты математики и ее пограничных областей. 3-й эпизод. Серия современных обзоров по математике [Результаты по математике и смежным областям. 3-я серия. Серия современных обзоров по математике. 48, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-3-642-18808-4 , ISBN. 978-3-540-22533-1 , МР 2095471
Лефшец, Соломон (1924), Анализ положения и алгебраическая геометрия , Сборник монографий, опубликованных под руководством М. Эмиля Бореля (на французском языке), Париж: Готье-Виллар, перепечатано в Лефшец, Соломон (1971), Избранные статьи , Нью-Йорк: Chelsea Publishing Co., ISBN 978-0-8284-0234-7 , МР 0299447
Милнор, Джон Уиллард (1963), Теория Морса , Анналы математических исследований, № 51, Princeton University Press , MR 0163331
Саббах, Клод (2001), Теория Ходжа и «сложная» теорема Лефшеца (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 7 июля 2004 г.
Вуазен, Клэр (2003), Теория Ходжа и комплексная алгебраическая геометрия. II , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 77, Издательство Кембриджского университета , номер документа : 10.1017/CBO9780511615177 , ISBN. 978-0-521-80283-3 , г-н 1997577

[1] Милнор 1963 , Теорема 7.3 и следствие 7.4.

[2] Вуазен 2003 , Теорема 1.23.

[3] Лефшец 1924 г.

[4] Гриффитс, Спенсер и Уайтхед, 1992 г.

[5] Андреотти и Франкель, 1959 г.

[6] Милнор 1963 , с. 39

[7] Ботт 1959

[8] Лазарсфельд 2004 , пример 3.1.24.

[9] Вуазен 2003 , Теорема 1.29.

[10] Лазарсфельд 2004 , Теорема 3.1.13.

[11] Лазарсфельд 2004 , пример 3.1.25.

[12] Бовиль

[13] Суббота, 2001 г.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]