Теорема Гельмгольца (классическая механика)

Для других видов использования см. Теорему Helmholtz (устранение неоднозначности) .

Хельмгольц теорема классической механики гласит следующее:

Позволять $$H(x,p;V)=K(p)+\varphi (x;V)$$ быть гамильтонианом одномерной системы, где $$K={\frac {p^{2}}{2m}}$$ кинетическая энергия и $$\varphi (x;V)$$ это «U-образный» профиль потенциальной энергии , который зависит от параметра $V$Полем Позволять $\left\langle \cdot \right\rangle _{t}$ Обозначите среднее время. Позволять

• $E=K+\varphi ,$
• $T=2\left\langle K\right\rangle _{t},$
• $P=\left\langle -{\frac {\partial \varphi }{\partial V}}\right\rangle _{t},$
• $S(E,V)=\log \oint {\sqrt {2m\left(E-\varphi \left(x,V\right)\right)}}\,dx.$

Then $$dS={\frac {dE+PdV}{T}}.$$

Remarks

The thesis of this theorem of classical mechanics reads exactly as the heat theorem of thermodynamics. This fact shows that thermodynamic-like relations exist between certain mechanical quantities. This in turn allows to define the "thermodynamic state" of a one-dimensional mechanical system. In particular the temperature $T$ is given by time average of the kinetic energy, and the entropy $S$ by the logarithm of the action (i.e., ${\textstyle \oint dx{\sqrt {2m\left(E-\varphi \left(x,V\right)\right)}}}$).
The importance of this theorem has been recognized by Ludwig Boltzmann who saw how to apply it to macroscopic systems (i.e. multidimensional systems), in order to provide a mechanical foundation of equilibrium thermodynamics. This research activity was strictly related to his formulation of the ergodic hypothesis. A multidimensional version of the Helmholtz theorem, based on the ergodic theorem of George David Birkhoff is known as the generalized Helmholtz theorem.

Generalized version

The generalized Helmholtz theorem is the multi-dimensional generalization of the Helmholtz theorem, and reads as follows.

Let

$\mathbf {p} =(p_{1},p_{2},...,p_{s}),$

$\mathbf {q} =(q_{1},q_{2},...,q_{s}),$

be the canonical coordinates of a s-dimensional Hamiltonian system, and let

$H(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ;V)=K(\mathbf {p} )+\varphi (\mathbf {q} ;V)$

be the Hamiltonian function, where

$K=\sum _{i=1}^{s}{\frac {p_{i}^{2}}{2m}}$,

is the kinetic energy and

$\varphi (\mathbf {q} ;V)$

is the potential energy which depends on a parameter $V$. Let the hyper-surfaces of constant energy in the 2s-dimensional phase space of the system be metrically indecomposable and let $\left\langle \cdot \right\rangle _{t}$ denote time average. Define the quantities $E$, $P$, $T$, $S$, as follows:

$E=K+\varphi$,

$T={\frac {2}{s}}\left\langle K\right\rangle _{t}$,

$P=\left\langle -{\frac {\partial \varphi }{\partial V}}\right\rangle _{t}$,

$S(E,V)=\log \int _{H(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ;V)\leq E}d^{s}\mathbf {p} d^{s}\mathbf {q} .$

Then:

$dS={\frac {dE+PdV}{T}}.$

References

• Helmholtz, H., von (1884a). Principien der Statik monocyklischer Systeme. Borchardt-Crelle’s Journal für die reine und angewandte Mathematik, 97, 111–140 (also in Wiedemann G. (Ed.) (1895) Wissenschafltliche Abhandlungen. Vol. 3 (pp. 142–162, 179–202). Leipzig: Johann Ambrosious Barth).
• Helmholtz, H., от (1884b). Исследования статики моноциклических систем. Отчеты об собраниях Ке, тем не менее, Прусская академия наук в Берлине , I, 159–177 (в Wiedemann G. (ed.) (1895). Полем
• Больцманн Л. (1884). О свойствах моноциклических и других связанных систем. Crelles Journal , 98: 68–94 (в Boltzmann, L. (1909). Научные трактаты (Vol. 3, pp. 122–152), F. Hasenöhrl (ed.). Leipzig. Переиздал Нью -Йорк: Челси, 1969). Полем
• Gallavotti, G. (1999). Статистическая механика: короткий трактат . Берлин: Спрингер.
• Campisi, M. (2005) о механических основаниях термодинамики: общие исследования теоремы Гельмгольца по истории и философии современной физики 36: 275–290