Нелинейная многомерная обработка сигналов

В сигналов обработке нелинейная многомерная обработка сигналов (NMSP) охватывает всю обработку сигналов с использованием нелинейных многомерных сигналов и систем. Нелинейная многомерная обработка сигналов — это подмножество обработки сигналов ( многомерная обработка сигналов ). Нелинейные многомерные системы могут использоваться в широком диапазоне, например, для визуализации, телетрафик, связь, гидрология, геология и экономика. Нелинейные системы нельзя рассматривать как линейные системы , используя преобразование Фурье и вейвлет-анализ . Нелинейные системы будут иметь хаотическое поведение , предельный цикл, устойчивое состояние , бифуркацию , мультистабильность и так далее. Нелинейные системы не имеют канонического представления, как импульсная характеристика линейных систем. Но предпринимаются некоторые попытки охарактеризовать нелинейные системы, такие как Вольтерра и ряды Винера, с использованием полиномиальных интегралов, поскольку использование этих методов естественным образом расширяет сигнал до многомерности. Другим примером является метод декомпозиции по эмпирическому моду , использующий преобразование Гильберта вместо преобразования Фурье для нелинейных многомерных систем. Этот метод является эмпирическим и может быть непосредственно применен к наборам данных. Многомерные нелинейные фильтры (MDNF) также являются важной частью NMSP, MDNF в основном используются для фильтрации шума в реальных данных. При обработке цветных изображений используются гибридные фильтры нелинейного типа. Нелинейные фильтры, сохраняющие края, используются при восстановлении магнитно-резонансных изображений. Эти фильтры используют как временную, так и пространственную информацию и сочетают оценку максимального правдоподобия с алгоритмом пространственного сглаживания.

Нелинейный анализ

Линейная функция частотной характеристики (FRF) может быть расширена до нелинейной системы путем оценки передаточных функций более высокого порядка и функций импульсной характеристики с помощью серии Вольтерра . Предположим, у нас есть временной ряд $y(t)$, который разлагается $y(t)$ на компоненты различного порядка

$y(t)=y_{0}+y_{1}(t)+y_{2}(t)+\cdots +y_{n}(t).$

Каждый компонент определяется как

$y_{n}(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }\cdots \int _{-\infty }^{+\infty }h_{n}(\tau _{1},\tau _{2},\cdots ,\tau _{n})\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x(t-\tau _{i})d\tau _{i}$ ,

для $n=1$, $y_{1}(t)$ это линейная свертка. $h_{n}(\tau _{1},\tau _{2},\cdots ,\tau _{n})$ это обобщенная импульсная характеристика порядка $n$.

Одномерное преобразование Фурье $y_{n}(t)$ является

$Y_{(n)}(\omega )=\int _{-\infty }^{+\infty }[\int _{-\infty }^{+\infty }\cdots \int _{-\infty }^{+\infty }h_{n}(\tau _{1},\cdots ,\tau _{n})\prod _{i=1}^{n}x(t-\tau _{i})d\tau _{i}]\exp(-j\omega t)dt.$

эскизы предложил определение $n$выходной компонент как $n$ переменные времени $y_{n}(t_{1},\cdots ,t_{n})$ с тем, чтобы разрешить применение $n$-мерное преобразование Фурье,

$Y_{n}(\omega _{1},\cdots ,\omega _{n})=\int _{-\infty }^{+\infty }\cdots \int _{-\infty }^{+\infty }[\int _{-\infty }^{+\infty }\cdots \int _{-\infty }^{+\infty }h_{n}(\tau _{1},\cdots ,\tau _{n})x(t-\tau _{1})\cdots x(t-\tau _{n})d\tau _{1}\cdots d\tau _{n}]\times \exp(-j\omega _{1}t_{1}\cdots -j\omega _{n}t_{n})dt_{1}\cdots dt_{n}.$

Приняв обратное преобразование Фурье $Y_{(n)}(\omega )$ и $Y_{n}(\omega _{1},\cdots ,\omega _{n})$ и выравнивание $t_{1}=t_{2}=\cdots =t_{n}=t$, мы получаем следующее уравнение:

$Y_{(n)}(\omega )=\int _{-\infty }^{+\infty }\cdots \int _{-\infty }^{+\infty }Y_{n}(\omega -\omega _{2}-\cdots -\omega _{n},\omega _{2},\cdots ,\omega _{n})d\omega _{2}d\omega _{3}\cdots d\omega _{n}.$

Передаточная функция

Применение $n$трехмерное преобразование Фурье в $h_{n}(\tau _{1},\tau _{2},\cdots ,\tau _{n})$ получить передаточную функцию

$H_{n}(\omega _{1},\cdots ,\omega _{n})=\int _{-\infty }^{+\infty }\cdots \int _{-\infty }^{+\infty }h_{n}(\tau _{1},\cdots ,\tau _{n})\exp(-j\omega _{1}\tau _{1}-\cdots -j\omega _{n}\tau _{n})d\tau _{1}\cdots d\tau _{n}$

Многомерный нелинейный фильтр

Гибридные фильтры нелинейного типа

Одним из примеров нелинейных фильтров является (рациональный гибридный фильтр с обобщенным направленным расстоянием (GDDRHF)). ) для многомерной обработки сигналов. Этот фильтр представляет собой гибридный фильтр двухступенчатого типа: 1) ступень $L_{p}$ критерии нормы и критерии углового расстояния для создания трех выходных векторов относительно моделей формы; 2) этап выполняет векторную рациональную операцию над тремя вышеуказанными выходными векторами для получения окончательных выходных векторов. Выходной вектор ${\underline {y}}({\textbf {x}}_{i})$ GDDRHF является результатом векторной рациональной функции с учетом трех входных подфункций, которые образуют набор входных функций $\{{\underline {y}}_{1},{\underline {y}}_{2},{\underline {y}}_{3}\}$,

${\underline {y}}({\textbf {x}}_{i})={\underline {y}}_{2}({\textbf {x}}_{i})+{\frac {\sum _{j=1}^{3}\beta _{j}{\underline {y}}_{j}({\textbf {x}}_{i})}{h+kD[{\underline {y}}_{1}({\textbf {x}}_{i}),{\underline {y}}_{3}({\textbf {x}}_{i})]}},$

где $D[\cdot ]$ играет важную роль как термин, чувствительный к краю, $\beta =[\beta _{1},\beta _{2},\beta _{3}]$ характеризует постоянный векторный коэффициент входных подфункций. $h$ и $k$ некоторые положительные константы. Параметр $k$ используется для управления величиной нелинейного эффекта.

Многомерный нелинейный фильтр, сохраняющий края

Этот вид многомерного фильтра использовался для обработки изображений МРТ. Этот фильтр использует модели сигнала МРТ для реализации приблизительной оценки максимального правдоподобия или наименьших квадратов уровня серого каждого пикселя на основе уровней серого. Он также использует алгоритм пространственного сглаживания с усеченным средним, который использует дискриминатор евклидова расстояния для сохранения частичного объема и информации о краях; соответствует использованию внутрикадровой информации.

Метод декомпозиции по эмпирическим модам многомерного ансамбля

Метод разложения по эмпирическим модам многомерного ансамбля был применен к многомерным данным, включая изображения и твердые тела с переменной плотностью. Декомпозиция основана на применении ансамблевой декомпозиции эмпирических мод (EEMD) к срезам данных в каждом задействованном измерении. Окончательная реконструкция соответствующей собственной функции моды основана на принципе сопоставимой комбинации минимального масштаба.

Для двумерного сигнала $f(m,n)$ Используя EEMD, сигнал сначала разлагается по направлению y, чтобы получить $g_{j}(m,n)$, каждая строка $g_{j}(m,n)$ разлагается с помощью EEMD .

Позволять $f(x,y)$ быть отобраны как $f(m,n)=\left({\begin{array}{cccc}f_{1,1}&f_{2,1}&\cdots &f_{M,1}\\f_{1,2}&f_{2,2}&\cdots &f_{M,2}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\f_{1,n}&f_{2,N}&\cdots &f_{M,N}\end{array}}\right),$

EEMD - разложение $m$й столбец $f(m,n)$ является

$f(m,\sim )=\sum _{j=1}^{J}C_{j}(m,\sim )=\sum _{j=1}^{J}\left({\begin{array}{c}c_{m,1,j}\\c_{m,2,j}\\\cdots \\c_{m,N,j}\\\end{array}}\right),$

после разложения всех столбцов получаем $j$ матрица

$g_{j}(m,n)=\left({\begin{array}{cccc}c_{1,1,j}&c_{2,1,j}&\cdots &c_{M,1,j}\\c_{1,2,j}&c_{2,2,j}&\cdots &c_{M,2,j}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\c_{1,N,j}&c_{2,N,j}&\cdots &c_{M,N,j}\\\end{array}}\right).$

Это $j^{th}$ компонент исходных данных $f(m,n)$

$n^{th}$ ряд $g_{j}(m,n)$ разложение с EEMD использованием

$g_{j}(\sim ,n)=\sum _{k=1}^{K}D_{j,k}(\sim ,n)=\sum _{k=1}^{K}\left({\begin{array}{cccc}d_{1,n,j,k}&d_{2,n,j,k}&\cdots &d_{M,n,j,k}\\\end{array}}\right),$

переставьте компонент как

$h_{j,k}(m,n)=\left({\begin{array}{cccc}d_{1,1,j,k}&d_{2,1,j,k}&\cdots &d_{M,1,j,k}\\d_{1,2,j,k}&d_{2,2,j,k}&\cdots &d_{M,2,j,k}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\d_{1,N,j,k}&d_{2,1,N,k}&\cdots &d_{M,N,j,k}\\\end{array}}\right),$

Так $f(m,n)=\sum _{k=1}^{K}\sum _{j=1}^{J}h_{j,k}(m,n).$ Для многомерного разложения с $n$-мерную функцию, мы можем использовать тот же метод, что и выше.

Картинка скачана из интернета и использование кода взято из Zhaohua, Wu et.al. MDEEMD для изображения C1, C2, C3, C4, C5 представляет собой пять компонентов режима после разложения.