Блуждающий набор

В динамических системах и эргодической теории понятие блуждающего множества формализует определенное представление о движении и перемешивании . Когда динамическая система имеет блуждающее множество ненулевой меры, то эта система является диссипативной . Это противоположность консервативной системе , к которой применима теорема о возврате Пуанкаре . Интуитивно связь между блуждающими множествами и диссипацией легко понять: если часть фазового пространства «уходит» во время нормальной эволюции системы во времени и никогда больше не посещается, то система является диссипативной. Язык блуждающих множеств можно использовать для точного математического определения понятия диссипативной системы. Понятие блуждающих множеств в фазовом пространстве было введено Биркгофом в 1927 году. ^{[ нужна ссылка ]}

Блуждающие точки

Обычное определение блуждающих множеств в дискретном времени начинается с отображения $f:X\to X$ топологического пространства X . точка $x\in X$ называется блуждающей точкой , если существует окрестность U точки x и целое положительное число N такие, что для всех $n>N$ , итерированная карта непересекающаяся:

f^{n}(U)\cap U=\varnothing .

Более удобное определение требует только того, чтобы пересечение имело нулевую меру . Точнее, определение требует, чтобы X было пространством с мерой , т. е. частью тройки $(X,\Sigma ,\mu )$ наборов Бореля $\Sigma$ и мера $\mu$ такой, что

\mu \left(f^{n}(U)\cap U\right)=0,

для всех $n>N$ . Аналогично, система с непрерывным временем будет иметь отображение $\varphi _{t}:X\to X$ определение эволюции во времени или потока системы с помощью оператора эволюции во времени $\varphi$ являющееся однопараметрическим непрерывным абелевым групповым действием на X :

\varphi _{t+s}=\varphi _{t}\circ \varphi _{s}.

В таком случае блуждающая точка $x\in X$ будет иметь окрестность U точки x и время T такие, что для всех времен $t>T$ , эволюционирующая во времени карта имеет нулевую меру:

\mu \left(\varphi _{t}(U)\cap U\right)=0.

Эти более простые определения могут быть полностью обобщены на групповое действие топологической группы . Позволять $\Omega =(X,\Sigma ,\mu )$ быть пространством с мерой, то есть множеством которого , мера определена на его борелевских подмножествах . Позволять $\Gamma$ быть группой, действующей на этом множестве. Учитывая точку $x\in \Omega$ , набор

\{\gamma \cdot x:\gamma \in \Gamma \}

называется траекторией или орбитой точки x .

Элемент $x\in \Omega$ называется блуждающей точкой , если существуют окрестность U точки x и окрестность V единицы в $\Gamma$ такой, что

\mu \left(\gamma \cdot U\cap U\right)=0

для всех $\gamma \in \Gamma -V$ .

Неблуждающие точки

является Неблуждающая точка противоположностью. В дискретном случае $x\in X$ является неблуждающим, если для любого открытого множества U, содержащего x и любого N > 0, существует такое n > N , что

\mu \left(f^{n}(U)\cap U\right)>0.

Аналогичные определения следуют для непрерывных по времени, дискретных и непрерывных групповых действий.

Блуждающие множества и диссипативные системы

Блуждающее множество — это совокупность блуждающих точек. Точнее, W подмножество $\Omega$ представляет собой блуждающее множество под действием дискретной группы $\Gamma$ если W измеримо и если для любого $\gamma \in \Gamma -\{e\}$ пересечение

\gamma W\cap W

есть множество нулевой меры.

Понятие блуждающего множества в некотором смысле двойственно идеям, выраженным в теореме о возврате Пуанкаре. Если существует блуждающее множество положительной меры, то действие $\Gamma$ называется диссипативной , а динамическая система $(\Omega ,\Gamma )$ Говорят, что это диссипативная система . Если такого блуждающего множества нет, действие называют консервативным , а систему — консервативной . Например, любая система, для которой справедлива теорема о возврате Пуанкаре , по определению не может иметь блуждающего множества положительной меры; и, таким образом, является примером консервативной системы.

Определим траекторию блуждающего множества W как

W^{*}=\bigcup _{\gamma \in \Gamma }\;\;\gamma W.

Действие $\Gamma$ называется полностью диссипативным, если существует блуждающее множество W положительной меры такое, что орбита $W^{*}$ почти везде равен $\Omega$ , то есть, если

\Omega -W^{*}

есть множество нулевой меры.

утверждает Разложение Хопфа , что каждое пространство с мерой с неособым преобразованием можно разложить на инвариантное консервативное множество и инвариантное блуждающее множество.

См. также

Теорема об отсутствии блуждающей области

Ссылки

Николлс, Питер Дж. (1989). Эргодическая теория дискретных групп . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-37674-2 .
Александр Даниленко и Сезар Э. Сильва (8 апреля 2009 г.). Эргодическая теория: Несингулярные преобразования ; См. Arxiv arXiv:0803.2424 .
Кренгель, Ульрих (1985), Эргодические теоремы , Исследования Де Грюйтера по математике, том. 6, де Грюйтер, ISBN 3-11-008478-3