Аналитическая полугруппа

В математике аналитическая полугруппа — это особый вид сильно непрерывной полугруппы . Аналитические полугруппы используются при решении уравнений в частных производных ; По сравнению с сильно непрерывными полугруппами аналитические полугруппы обеспечивают лучшую регулярность решений начальных задач , лучшие результаты относительно возмущений бесконечно малого генератора и связи между типом полугруппы и спектром бесконечно малого генератора.

Определение

Пусть Γ( t ) = exp( At ) — сильно непрерывная однопараметрическая полугруппа в банаховом пространстве ( X , ||·||) с инфинитезимальным генератором A . Г называется аналитической полугруппой, если

• для некоторого 0 < θ < π/ 2 непрерывный линейный оператор exp( At ) : X → X можно продолжить до t ∈ Δ _θ ,

$\Delta _{\theta }=\{0\}\cup \{t\in \mathbb {C} :|\mathrm {arg} (t)|<\theta \},$

выполняются обычные условия полугруппы и для s , t ∈ Δ _θ : exp( A 0) = id, exp( A ( t + s )) = exp( At ) exp( As ), и для каждого x ∈ X exp ( At ) x непрерывен ​ по t ;

• и для всех t ∈ Δ _θ \ {0} exp( At ) аналитичен по t в смысле равномерной операторной топологии .

Характеристика

Инфинитезимальные генераторы аналитических полугрупп имеют следующую характеризацию:

Замкнутый существует , плотно определенный линейный оператор A в банаховом пространстве X является генератором аналитической полугруппы тогда и только тогда, когда ω ∈ R такой , что полуплоскость Re( λ ) > ω содержится в резольвентном множестве A и, кроме того, существует константа C такая, что для резольвенты $R_{\lambda }(A)$ оператора A имеем

$\|R_{\lambda }(A)\|\leq {\frac {C}{|\lambda -\omega |}}$

для Re( λ ) > ω . Такие операторы называются секториальными . Если это так, то резольвентное множество фактически содержит сектор вида

$\left\{\lambda \in \mathbf {C} :|\mathrm {arg} (\lambda -\omega )|<{\frac {\pi }{2}}+\delta \right\}$

для некоторого δ > 0, и в этом секторе справедлива аналогичная оценка резольвенты. Более того, полугруппа представлена

$\exp(At)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }e^{\lambda t}(\lambda \mathrm {id} -A)^{-1}\,\mathrm {d} \lambda ,$

где γ — любая кривая из e ^{− это} ∞ до е ^{+ это} ∞ такой, что γ целиком лежит в секторе

${\big \{}\lambda \in \mathbf {C} :|\mathrm {arg} (\lambda -\omega )|\leq \theta {\big \}},$

при этом π/ 2 < θ < π/ 2 + δ .

Ссылки

• Ренарди, Майкл; Роджерс, Роберт С. (2004). Введение в уравнения в частных производных . Тексты по прикладной математике 13 (Второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. xiv+434. ISBN  0-387-00444-0 . МР   2028503 .