Многофазная матрица

В обработке сигналов многофазная матрица представляет собой матрицу, элементами которой являются маски фильтров . Он представляет собой банк фильтров , используемый в кодировщиках поддиапазонов под псевдонимом дискретных вейвлет-преобразований . ^[1]

Если $\scriptstyle h,\,g$ это два фильтра, затем один уровень традиционного вейвлет-преобразования отображает входной сигнал $\scriptstyle a_{0}$ к двум выходным сигналам $\scriptstyle a_{1},\,d_{1}$ , каждая из половин длины:

{\begin{aligned}a_{1}&=(h\cdot a_{0})\downarrow 2\\d_{1}&=(g\cdot a_{0})\downarrow 2\end{aligned}}

Обратите внимание, что точка означает полиномиальное умножение ; то есть свертка и $\scriptstyle \downarrow$ означает понижение разрешения .

Если приведенная выше формула реализована напрямую, вы вычислите значения, которые впоследствии будут сброшены в результате понижающей выборки. Вы можете избежать их вычисления, разделив фильтры и сигнал на четные и нечетные индексированные значения перед вейвлет-преобразованием:

{\begin{aligned}h_{\mbox{e}}&=h\downarrow 2&a_{0,{\mbox{e}}}&=a_{0}\downarrow 2\\h_{\mbox{o}}&=(h\leftarrow 1)\downarrow 2&a_{0,{\mbox{o}}}&=(a_{0}\leftarrow 1)\downarrow 2\end{aligned}}

Стрелки $\scriptstyle \leftarrow$ и $\scriptstyle \rightarrow$ обозначают сдвиг влево и вправо соответственно. Они должны иметь тот же приоритет , что и свертка, поскольку на самом деле они являются свертками со смещенным дискретным дельта-импульсом .

\delta =(\dots ,0,0,{\underset {0-{\mbox{th position}}}{1}},0,0,\dots )

Вейвлет-преобразование, переформулированное для разделенных фильтров:

{\begin{aligned}a_{1}&=h_{\mbox{e}}\cdot a_{0,{\mbox{e}}}+h_{\mbox{o}}\cdot a_{0,{\mbox{o}}}\rightarrow 1\\d_{1}&=g_{\mbox{e}}\cdot a_{0,{\mbox{e}}}+g_{\mbox{o}}\cdot a_{0,{\mbox{o}}}\rightarrow 1\end{aligned}}

Это можно записать как умножение матрицы-вектора

{\begin{aligned}P&={\begin{pmatrix}h_{\mbox{e}}&h_{\mbox{o}}\rightarrow 1\\g_{\mbox{e}}&g_{\mbox{o}}\rightarrow 1\end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}a_{1}\\d_{1}\end{pmatrix}}&=P\cdot {\begin{pmatrix}a_{0,{\mbox{e}}}\\a_{0,{\mbox{o}}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}

Эта матрица $\scriptstyle P$ – многофазная матрица.

Конечно, многофазная матрица может иметь любой размер, но не обязательно иметь квадратную форму. То есть принцип хорошо масштабируется на любые банки фильтров , мультивейвлеты , вейвлет-преобразования на основе дробных уточнений .

Характеристики

Представление поддиапазонного кодирования с помощью многофазной матрицы — это больше, чем просто упрощение записи. Это позволяет адаптировать многие результаты теории матриц и теории модулей . Следующие свойства объясняются для $\scriptstyle 2\,\times \,2$ матрица, но они одинаково масштабируются до более высоких измерений.

Обратимость/идеальная реконструкция

Случай, когда многофазная матрица позволяет восстановить обработанный сигнал из отфильтрованных данных, называется идеальной реконструкции свойством . Математически это эквивалентно обратимости. Согласно теореме об обратимости матрицы над кольцом, многофазная матрица обратима тогда и только тогда, когда определителем многофазной матрицы является дельта Кронекера , равная нулю всюду, кроме одного значения.

{\begin{aligned}\det P&=h_{\mbox{e}}\cdot g_{\mbox{o}}-h_{\mbox{o}}\cdot g_{\mbox{e}}\\\exists A\ A\cdot P&=I\iff \exists c\ \exists k\ \det P=c\cdot \delta \rightarrow k\end{aligned}}

По правилу Крамера обратное $\scriptstyle P$ можно дать сразу.

P^{-1}\cdot \det P={\begin{pmatrix}g_{\mbox{o}}\rightarrow 1&-h_{\mbox{o}}\rightarrow 1\\-g_{\mbox{e}}&h_{\mbox{e}}\end{pmatrix}}

Ортогональность

Ортогональность означает, что сопряженная матрица $\scriptstyle P^{*}$ также является обратной матрицей $\scriptstyle P$ . Сопряженная матрица — это транспонированная матрица с присоединенными фильтрами .

P^{*}={\begin{pmatrix}h_{\mbox{e}}^{*}&g_{\mbox{e}}^{*}\\h_{\mbox{o}}^{*}\leftarrow 1&g_{\mbox{o}}^{*}\leftarrow 1\end{pmatrix}}

Это означает, что евклидова норма входных сигналов сохраняется. То есть соответствующее вейвлет-преобразование является изометрией .

\left\|a_{1}\right\|_{2}^{2}+\left\|d_{1}\right\|_{2}^{2}=\left\|a_{0}\right\|_{2}^{2}

Условие ортогональности

P\cdot P^{*}=I

можно выписать

{\begin{aligned}h_{\mbox{e}}^{*}\cdot h_{\mbox{e}}+h_{\mbox{o}}^{*}\cdot h_{\mbox{o}}&=\delta \\g_{\mbox{e}}^{*}\cdot g_{\mbox{e}}+g_{\mbox{o}}^{*}\cdot g_{\mbox{o}}&=\delta \\h_{\mbox{e}}^{*}\cdot g_{\mbox{e}}+h_{\mbox{o}}^{*}\cdot g_{\mbox{o}}&=0\end{aligned}}

Норма оператора

Для неортогональных многофазных матриц возникает вопрос, какие евклидовы нормы могут принимать выходные данные. Это можно ограничить с помощью оператора нормы .

\forall x\ \left\|P\cdot x\right\|_{2}\in \left[\left\|P^{-1}\right\|_{2}^{-1}\cdot \|x\|_{2},\|P\|_{2}\cdot \|x\|_{2}\right]

Для $\scriptstyle 2\,\times \,2$ многофазная матрица, норма евклидова оператора может быть задана явно с использованием нормы Фробениуса $\scriptstyle \|\cdot \|_{F}$ и z-преобразование $\scriptstyle Z$ : ^[2]

{\begin{aligned}p(z)&={\frac {1}{2}}\cdot \left\|ZP(z)\right\|_{F}^{2}\\q(z)&=\left|\det[ZP(z)]\right|^{2}\\\|P\|_{2}&=\max \left\{{\sqrt {p(z)+{\sqrt {p(z)^{2}-q(z)}}}}:z\in \mathbb {C} \ \land \ |z|=1\right\}\\\left\|P^{-1}\right\|_{2}^{-1}&=\min \left\{{\sqrt {p(z)-{\sqrt {p(z)^{2}-q(z)}}}}:z\in \mathbb {C} \ \land \ |z|=1\right\}\end{aligned}}

Это частный случай $n\times n$ матрица, где норму оператора можно получить с помощью преобразования z и спектрального радиуса матрицы или соответствующей спектральной нормы .

{\begin{aligned}\left\|P\right\|_{2}&={\sqrt {\max \left\{\lambda _{\text{max}}\left[ZP^{*}(z)\cdot ZP(z)\right]:z\in \mathbb {C} \ \land \ |z|=1\right\}}}\\&=\max \left\{\left\|ZP(z)\right\|_{2}:z\in \mathbb {C} \ \land \ |z|=1\right\}\\[3pt]\left\|P^{-1}\right\|_{2}^{-1}&={\sqrt {\min \left\{\lambda _{\text{min}}\left[ZP^{*}(z)\cdot ZP(z)\right]:z\in \mathbb {C} \ \land \ |z|=1\right\}}}\end{aligned}}

Сигнал, в котором предполагаются эти границы, может быть получен из собственного вектора, соответствующего максимизирующему и минимизирующему собственному значению.

Схема подъема

Концепция многофазной матрицы допускает матричную декомпозицию . Например, разложение на дополнительные матрицы приводит к схеме подъема . ^[3] Однако классические матричные разложения, такие как LU- и QR-разложение, не могут быть применены сразу, поскольку фильтры образуют кольцо по отношению к свертке, а не поле .

Ссылки

^ Стрэнг, Гилберт ; Нгуен, Труонг (1997). Вейвлеты и банки фильтров . Уэлсли-Кембридж Пресс. ISBN 0-9614088-7-1 .
^ Тилеманн, Хеннинг (2001). Адаптивное построение вейвлетов для сжатия изображений (Дипломная работа). Университет Мартина Лютера Галле-Виттенберг, факультет математики/информатики. Архивировано из оригинала 18 июля 2011 г. Проверено 10 ноября 2006 г.
^ Добеши, Ингрид ; Свелденс, Вим (1998). «Факторизация вейвлета преобразуется в шаги подъема» . Ж. Фурье Анал. Приложение . 4 (3): 245–267. дои : 10.1007/BF02476026 . S2CID 195242970 . Архивировано из оригинала 7 декабря 2006 г.

[strang1997filterbanks-1] Стрэнг, Гилберт ; Нгуен, Труонг (1997). Вейвлеты и банки фильтров . Уэлсли-Кембридж Пресс. ISBN 0-9614088-7-1 .

[thielemann2001adaptivewavelet-2] Тилеманн, Хеннинг (2001). Адаптивное построение вейвлетов для сжатия изображений (Дипломная работа). Университет Мартина Лютера Галле-Виттенберг, факультет математики/информатики. Архивировано из оригинала 18 июля 2011 г. Проверено 10 ноября 2006 г.

[sweldens1998liftingfactor-3] Добеши, Ингрид ; Свелденс, Вим (1998). «Факторизация вейвлета преобразуется в шаги подъема» . Ж. Фурье Анал. Приложение . 4 (3): 245–267. дои : 10.1007/BF02476026 . S2CID 195242970 . Архивировано из оригинала 7 декабря 2006 г.

[1]

[2]

[3]