Модель Дила – Гроува

Модель Дила – Гроува математически описывает рост оксидного слоя на поверхности материала. , он используется для прогнозирования и интерпретации термического окисления кремния В частности при производстве полупроводниковых приборов . Модель была впервые опубликована в 1965 году Брюсом Дилом и Эндрю Гроувом из Fairchild Semiconductor . основанный на Мохамеда М. Аталлы работе по пассивации поверхности кремния термическим окислением в Bell Labs в конце 1950-х годов. Это послужило шагом в развитии КМОП- устройств и производстве интегральных схем .

Физические предположения

The three phenomena of oxidation, as described in the article text

Модель предполагает, что окисления реакция происходит на границе раздела между оксидным слоем и материалом подложки, а не между оксидом и окружающим газом . Таким образом, он рассматривает три явления, которым подвергаются окисляющие вещества, в следующем порядке:

1. Он диффундирует из объема окружающего газа к поверхности.
2. Он диффундирует через существующий оксидный слой к границе раздела оксид-подложка.
3. Вступает в реакцию с субстратом.

Модель предполагает, что каждая из этих стадий протекает со скоростью, пропорциональной концентрации окислителя. На первом этапе это означает закон Генри ; во втором — закон диффузии Фика ; в третьем — реакция первого порядка по окислителю. Он также предполагает установившиеся условия, т. е. отсутствие переходных эффектов.

Результаты

Учитывая эти предположения, поток окислителя через каждую из трех фаз можно выразить через концентрации, свойства материала и температуру.

${\begin{aligned}J_{\text{gas}}&=h_{g}(C_{g}-C_{s})\\[8pt]J_{\text{oxide}}&=D_{\text{ox}}{\frac {C_{s}-C_{i}}{x}}\\[8pt]J_{\text{reacting}}&=k_{i}C_{i}\end{aligned}}$

Установив три потока равными друг другу $J_{\text{gas}}=J_{\text{oxide}}=J_{\text{reacting}},$ можно получить следующие соотношения:

${\begin{aligned}{\frac {C_{i}}{C_{g}}}&={\frac {1}{1+k_{i}/h_{g}+k_{i}x/D_{\text{ox}}}}\\[8pt]{\frac {C_{s}}{C_{g}}}&={\frac {1+k_{i}x/D_{\text{ox}}}{1+k_{i}/h_{g}+k_{i}x/D_{\text{ox}}}}\end{aligned}}$

Предполагая рост, контролируемый диффузией, т.е. где $J_{\text{oxide}}$ определяет скорость роста, а подстановка $C_{i}$ и $C_{s}$ с точки зрения $C_{g}$ из двух вышеуказанных отношений в $J_{\text{oxide}}$ и $J_{\text{reacting}}$ уравнение соответственно, получаем:

$J_{\text{oxide}}=J_{\text{reacting}}={\frac {k_{i}C_{g}}{1+k_{i}/h_{g}+k_{i}x/D_{\text{ox}}}}$

Если N — концентрация окислителя в единице объема оксида, то скорость роста оксида можно записать в виде дифференциального уравнения. Решение этого уравнения дает толщину оксида в любой момент времени t .

${\begin{aligned}&{\frac {dx}{dt}}={\frac {J_{\text{oxide}}}{N}}={\frac {k_{i}C_{g}/N}{1+k_{i}/h_{g}+k_{i}x/D_{\text{ox}}}}\\[8pt]&x^{2}+Ax=Bt+{x_{i}}^{2}+Ax_{i}\\[8pt]&x^{2}+Ax=B(t+\tau )\end{aligned}}$

где константы $A$ и $B$ инкапсулировать свойства реакции и оксидного слоя соответственно, и $x_{i}$ — это первоначальный слой оксида, который присутствовал на поверхности. Эти константы задаются как:

${\begin{aligned}A=2D_{\text{ox}}\left({\frac {1}{k_{i}}}+{\frac {1}{h_{g}}}\right)\\[8pt]B={\frac {2D_{\text{ox}}C_{s}}{N}}\\[8pt]\tau ={\frac {x_{i}^{2}+Ax_{i}}{B}}\end{aligned}}$

где $C_{s}=HP_{g}$, с $H$ являющийся параметром растворимости газа закона Генри и $P_{g}$ – парциальное давление диффундирующего газа.

Решение квадратного уравнения для x дает:

$x(t)={\frac {-A+{\sqrt {A^{2}+4(B)(t+\tau )}}}{2}}$

Принимая во внимание короткие и длинные временные пределы приведенного выше уравнения, мы обнаруживаем два основных режима работы. Первый режим, при котором рост является линейным, возникает первоначально, когда $t+\tau$ мал. Второй режим дает квадратичный рост и возникает при утолщении оксида по мере увеличения времени окисления.

${\begin{aligned}t+\tau \ll {\frac {A^{2}}{4B}}\Rightarrow x(t)={\frac {B}{A}}(t+\tau )\\[8pt]t+\tau \gg {\frac {A^{2}}{4B}}\Rightarrow x(t)={\sqrt {B(t+\tau )}}\end{aligned}}$

Величины B и B / A часто называют квадратичными и линейными константами скорости реакции . Они экспоненциально зависят от температуры, например:

$B=B_{0}e^{-E_{A}/kT};\quad B/A=(B/A)_{0}e^{-E_{A}/kT}$

где $E_{A}$ – энергия активации и $k$ — постоянная Больцмана в эВ. $E_{A}$ отличается от одного уравнения к другому. В следующей таблице приведены значения четырех параметров монокристаллического кремния в условиях, обычно используемых в промышленности (низкое легирование , атмосферное давление ). Константа линейной скорости зависит от ориентации кристалла (обычно обозначается индексами Миллера обращенной к поверхности кристаллической плоскости). В таблице приведены значения для ${\textstyle \langle 100\rangle }$ и ${\textstyle \langle 111\rangle }$ кремний.

Параметр	Количество	Влажный ( $H_{2}O$)	Сухой ( $O_{2}$)
Линейная константа скорости	$(B/A)_{0}\ \left({\frac {\mu m}{hr}}\right)$	${\textstyle \langle 100\rangle }$: 9.7 × 10 7 ${\textstyle \langle 111\rangle }$: 1.63 × 10 8	${\textstyle \langle 100\rangle }$: 3.71 × 10 6 ${\textstyle \langle 111\rangle }$: 6.23 × 10 6
	$E_{A}$ ( эВ )	2.05	2.00
Параболическая константа скорости	$B_{0}\ \left({\frac {(\mu m)^{2}}{hr}}\right)$	386	772
	$E_{A}$ (эВ)	0.78	1.23

Срок действия для кремния

Модель Дила-Гроува очень хорошо работает для монокристаллического кремния в большинстве условий. Однако экспериментальные данные показывают, что очень тонкие оксиды (менее 25 нанометров) растут гораздо быстрее в $O_{2}$ чем предсказывает модель. В кремниевых наноструктурах (например, кремниевых нанопроволоках ) за этим быстрым ростом обычно следует уменьшение кинетики окисления в процессе, известном как самоограничивающееся окисление, что требует модификации модели Дила-Гроува.

Если размер оксида, выращенного на определенном этапе окисления, значительно превышает 25 нм, простая корректировка приводит к аберрантной скорости роста. Модель дает точные результаты для толстых оксидов, если вместо предположения о нулевой начальной толщине (или любой начальной толщине менее 25 нм) мы предполагаем, что до начала окисления существует 25 нм оксида. Однако для оксидов, близких к этому порогу или тоньше него, необходимо использовать более сложные модели.

В 1980-х годах стало очевидно, что для моделирования вышеупомянутых тонких оксидов (самоограничивающихся случаев) необходимо обновление модели Дила-Гроува. Одним из таких подходов, который более точно моделирует тонкие оксиды, является модель Масуда 1985 года [2]. Модель Масуда является аналитической и основана на параллельных механизмах окисления. Он изменяет параметры модели Дила-Гроува, чтобы лучше моделировать начальный рост оксидов, с добавлением условий повышения скорости.

Модель Дила-Гроува также не работает для поликристаллического кремния («поликремния»). Во-первых, случайная ориентация кристаллических зерен затрудняет выбор значения линейной константы скорости. Во-вторых, молекулы окислителя быстро диффундируют по границам зерен, поэтому поликремний окисляется быстрее, чем монокристаллический кремний.

Атомы легирующей примеси напрягают решетку кремния и облегчают атомам кремния связь с поступающим кислородом. Во многих случаях этим эффектом можно пренебречь, но сильнолегированный кремний окисляется значительно быстрее. Давление окружающего газа также влияет на скорость окисления.

Библиография

• Массуд, Герцогия; Джей Ди Пламмер (1985). «Термическое окисление кремния в сухом кислороде: точное определение кинетических констант скорости». Журнал Электрохимического общества . 132 (11): 2693–2700. дои : 10.1149/1.2113649 .
• Джагер, Ричард К. (2002). «Термическое окисление кремния». Введение в производство микроэлектроники (2-е изд.). Река Аппер-Седл: Прентис-Холл. ISBN  0-201-44494-1 .
• Сделка, БЭ; А. С. Гроув (декабрь 1965 г.). «Общая зависимость термического окисления кремния». Журнал прикладной физики . 36 (12): 3770–3778. Бибкод : 1965JAP....36.3770D . дои : 10.1063/1.1713945 .

Внешние ссылки

• Онлайн-калькулятор, включая эффекты давления, легирования и тонкого оксида.