График изоморфизм

В теории графика изоморфизм графиков - g и h это биение между наборами вершин G и H

f\colon V(G)\to V(H)

так, что любые две вершины u и v of g были прилегают к G, если и только тогда, когда $f(u)$ и $f(v)$ прилегают к ч . Этот вид биении обычно описывается как «биография, сохраняющая края», в соответствии с общим понятием изоморфизма , являющейся сохраняющей структурой биографией.

Если изоморфизм существует между двумя графиками, то графики называются изоморфными и обозначаемыми как $G\simeq H$ Полем когда изоморфизм является отображением графика на себя, т.е., когда G и H же графом, изоморфизм называется автоорфизмом G. В случае , являются одним и тем

Изоморфизм графика является соотношением эквивалентности на графиках, и как таковой он разделяет класс всех графиков на классы эквивалентности . Набор графиков изоморфных друг для друга называется изоморфизма классом графиков . Вопрос о том, может ли изоморфизм графика быть определенным в полиномиальное время, является основной нерешенной проблемой в информатике, известной как проблема изоморфизма графика . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

Два графика, показанные ниже, являются изоморфными, несмотря на их различные рисунки .

График г	График h	Изоморфизм между G и H
		f ( a ) = 1 f ( b ) = 6 f ( c ) = 8 f ( d ) = 3 f ( g ) = 5 f ( h ) = 2 f ( i ) = 4 f ( j ) = 7

Вариации

В вышеупомянутом определении графики понимаются как неофициальные не меченные не взвешенные графики. Однако понятие изоморфизма может применяться ко всем другим вариантам понятия графика, добавив требования для сохранения соответствующих дополнительных элементов структуры: направления дуги, веса краев и т. Д., За следующим исключением.

Изоморфизм помеченных графиков

Для помеченных графиков используются два определения изоморфизма.

Под одним определением изоморфизм-это биография вершины, которая является как консервативной, так и сохранением этикетки. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

Под другим определением изоморфизм представляет собой биографию вершины, сохраняющую края, которая сохраняет классы эквивалентности меток, то есть вершины с эквивалентными (например, той же) метки отображаются на вершине с эквивалентными метками и наоборот; То же самое с Edge Labels. ^{[ 5 ]}

Например, $K_{2}$ График с двумя вершинами, помеченными 1 и 2, имеет один автоторфизм под первым определением, но под вторым определением есть два автоморфизма.

Второе определение предполагается в определенных ситуациях, когда графики наделены уникальными метками, обычно взятыми из целочисленного диапазона 1, ..., n , где n - количество вершин графика, используемые только для уникального идентификации вершин. В таких случаях иногда считаются изоморфными, если соответствующие базовые немабоненные графики являются изоморфными (в противном случае определение изоморфизма было бы тривиальным).

Мотивация

Формальное понятие «изоморфизма», например, «изоморфизма графика», отражает неформальное представление о том, что некоторые объекты имеют «такую же структуру», если кто -то игнорирует индивидуальные различия «атомных» компонентов рассматриваемых объектов. Всякий раз, когда индивидуальность «атомных» компонентов (вершины и ребра, для графиков) важна для правильного представления того, что моделируется с помощью графиков, модель уточняется путем наложения дополнительных ограничений на структуру, и используются другие математические объекты: Digraphs , помеченные графики Цветные графики , укоренившиеся деревья и так далее. Соотношение изоморфизма также может быть определена для всех этих обобщений графиков: биография изоморфизма должна сохранять элементы структуры, которые определяют рассматриваемый тип объекта: дуги , этикетки, цвета вершины/края, корень корневого дерева и т. Д.

Понятие «изоморфизма графика» позволяет нам различать свойства графика , присущие структурам самих графиков от свойств, связанных с представлениями графика: чертежи графов , структуры данных для графиков , метки графика и т. Д. Например, если график имеет ровно один цикл , тогда все графики в классе изоморфизма также имеют ровно один цикл. С другой стороны, в общем случае, когда вершины графика ( представлены ) целых числа 1, 2, ... n , затем выражение

\sum _{v\in V(G)}v\cdot {\text{deg }}v

может быть разным для двух изоморфных графиков.

Уитни Теорема

Теорема изоморфизма графика Уитни , ^{[ 6 ]} Показано Хасслером Уитни , гласит, что два подключенных графика являются изоморфными тогда и только тогда, когда их линейные графики являются изоморфными, за одним исключением: k ₃ , полный график на трех вершин и полный двухпартийный график K _1,3 , которые не являются Изоморфный, но оба имеют K ₃ в качестве линейного графика. Теорема графика Уитни может быть распространена на гиперграфы . ^{[ 7 ]}

Распознавание изоморфизма графика

В то время как изоморфизм графика может быть изучен классическим математическим способом, как показано теоремой Уитни, признается, что это проблема, которую нужно решать с помощью алгоритмического подхода. Вычислительная проблема определения того, называется ли два конечных графика изоморфных, называется проблемой изоморфизма графика.

Его практическое применение включают в первую очередь хеморинформатику , математическую химию (идентификация химических соединений) и автоматизацию электронных проектов (проверка эквивалентности различных представлений о конструкции электронной схемы ).

Проблема изоморфизма графика является одной из немногих стандартных задач в теории вычислительной сложности, принадлежащей к NP , но не известно, что они принадлежат ни к одной из его хорошо известных (и, если P ≠ np , Discoint) подмножества: P и NP-полные . Это одна из двух, из 12 общих проблем, перечисленных в Garey & Johnson (1979), сложность которого остается нерешенной, а другая - целочисленная факторизация . Однако известно, что если проблема является NP-полной, то полиномиальная иерархия падает до конечного уровня. ^{[ 8 ]}

В ноябре 2015 года László Babai , математик и компьютерный ученый в Чикагском университете, заявил, что проблема изоморфизма графика решается в квази-полиномиальное время . ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]} Он опубликовал предварительные версии этих результатов в процессе Симпозиума 2016 года о теории вычислений , ^{[ 11 ]} и Международного конгресса математиков 2018 года . ^{[ 12 ]} В январе 2017 года Бабай кратко отозвал к квази-полиномиальность и заявил вместо этого субэкспоненциальное время сложности. Он восстановил первоначальное требование пять дней спустя. ^{[ 13 ]} По состоянию на 2024 год ^[update]Полная версия журнала бумаги Бабая еще не была опубликована.

Известно , что его обобщение, проблема изоморфизма подграфа , является NP-полным.

Основными областями исследований для этой проблемы являются разработка быстрых алгоритмов и теоретические исследования ее вычислительной сложности , как для общей проблемы, так и для специальных классов графиков.

Тест на изоморфизм графика Weisfeiler Leman может быть использован для эвристического испытания на изоморфизм графика. ^{[ 14 ]} Если тест не пройдет, два входных графика гарантированно не являются изоморфными. Если тест добивается успеха, графики могут быть или не быть изоморфными. Существуют обобщения алгоритма тестирования, которые гарантированно обнаруживают изоморфизмы, однако их время выполнения является экспоненциальным.

Другим известным алгоритмом изоморфизма графика является алгоритм VF2, разработанный Cordella et al. в 2001 году. ^{[ 15 ]} Алгоритм VF2 представляет собой алгоритм поиска в глубине глубины, который пытается построить изоморфизм между двумя графиками постепенно. Он использует набор правил технико -экономического обоснования для обрезки пространства поиска, позволяя ему эффективно обрабатывать графики с тысячами узлов. Алгоритм VF2 широко использовался в различных приложениях, таких как распознавание шаблонов, компьютерное зрение и биоинформатика. Несмотря на то, что он имеет худшую экспоненциальную сложность времени, он хорошо работает на практике для многих типов графиков.

Смотрите также

Примечания

^ Грохе, Мартин (2020-11-01). «Проблема изоморфизма графика» . Коммуникации ACM . 63 (11): 128–134. doi : 10.1145/3372123 . Получено 2023-03-06 . {{cite journal}}: Cs1 Maint: дата и год ( ссылка )
^ Кларрейх, Эрика (2015-12-14). «Алгоритм достопримечательностей нарушает 30-летний тупик» . Quanta Magazine . Получено 2023-03-06 .
^ p.424
^ Ши, Шу-Мин; HSU, Chiun-Chieh; HSU, Li-Fu (2006). «Эффективный метод выполнения тестирования изоморфизма помеченных графиков» . Вычислительная наука и ее приложения - ICCSA 2006 . Заметки лекции в информатике. Тол. 3984. С. 422–431. doi : 10.1007/11751649_46 . ISBN 978-3-540-34079-9 .
^ Pierre-Antoine Champin, Christine Solnon, «Измерение сходства помеченных графиков» В: Заметки лекций в компьютерных науках , вып. 2689, стр. 80–95
^ Уитни, Хасслер (январь 1932 г.). «Конгруэнтные графики и связь графиков». Американский журнал математики . 54 (1): 150–168. doi : 10.2307/2371086 . HDL : 10338.dmlcz/101067 . JSTOR 2371086 .
^ Дирк Л. Вертиган, Джеффри П. Уиттл: 2-изоморфизм теорема для гиперграфов. J. Comb. Теория, сер. B 71 (2): 215–230. 1997.
^ Schöning, Uwe (1988). «Изоморфизм графика находится в низкой иерархии». Журнал компьютерных и системных наук . 37 (3): 312–323. doi : 10.1016/0022-0000 (88) 90010-4 .
^ CHO, Адриан (10 ноября 2015 г.), «Математические претензии в теории сложности», Science , Doi : 10.1126/Science.aad7416 .
^ Кларрейх, Эрика (14 декабря 2015 г.), «Алгоритм знакового алгоритма перерывает 30-летний тупик» , Журнал Quanta
^ Babai, László (2016), «Изоморфизм графика в квазиполиномиальное время [расширенное абстрактное]», Stoc'16 - Профессионалы 48 -го ежегодного симпозиума ACM SIGACT по теории вычислителей , ACM, Нью -Йорк, с. 684–697, DOI : 10.1145. /2897518.2897542 , MR 3536606 , S2CID 17118954
^ Babai, László (2018), «Группа, графики, алгоритмы: проблема изоморфизма графика», Труды Международного конгресса математиков - Rio de Janeiro 2018. Vol. IV Приглашенные лекции , World Sci. Publ., Hackensack, NJ, с. 3319–3336, MR 3966534
^ Бабай, Ласло (9 января 2017 г.), обновление изоморфизма графика
^ Хуан, Ниньюан Тереза; Виллар, Соледад (2021). «Короткое руководство по тесту Weisfeiler-Lehman и его вариантам». ICASSP 2021 - 2021 IEEE Международная конференция по акустике, обработке речи и сигнала (ICASSP) . С. 8533–8537. Arxiv : 2201.07083 . doi : 10.1109/icassp39728.2021.9413523 . ISBN 978-1-7281-7605-5 Полем S2CID 235780517 .
^ Cordella, LP; Foggia, P.; Sansone, C.; Венто М. (2001). «Улучшенный алгоритм для сопоставления больших графиков» . 3-й семинар IAPR-TC15 по графическим представлениям в распознавании шаблонов : 149–159.

Ссылки

Гари, Майкл Р .; Джонсон, Дэвид С. (1979). Компьютеры и неразрешимость: руководство по теории NP-законности . Серия книг в математических науках (1 -е изд.). Нью -Йорк: WH Freeman and Company . ISBN 9780716710455 Полем MR 0519066 . OCLC 247570676 .

[1] Грохе, Мартин (2020-11-01). «Проблема изоморфизма графика» . Коммуникации ACM . 63 (11): 128–134. doi : 10.1145/3372123 . Получено 2023-03-06 . {{cite journal}}: Cs1 Maint: дата и год ( ссылка )

[2] Кларрейх, Эрика (2015-12-14). «Алгоритм достопримечательностей нарушает 30-летний тупик» . Quanta Magazine . Получено 2023-03-06 .

[3] .424

[4] Ши, Шу-Мин; HSU, Chiun-Chieh; HSU, Li-Fu (2006). «Эффективный метод выполнения тестирования изоморфизма помеченных графиков» . Вычислительная наука и ее приложения - ICCSA 2006 . Заметки лекции в информатике. Тол. 3984. С. 422–431. doi : 10.1007/11751649_46 . ISBN 978-3-540-34079-9 .

[5] Pierre-Antoine Champin, Christine Solnon, «Измерение сходства помеченных графиков» В: Заметки лекций в компьютерных науках , вып. 2689, стр. 80–95

[6] Уитни, Хасслер (январь 1932 г.). «Конгруэнтные графики и связь графиков». Американский журнал математики . 54 (1): 150–168. doi : 10.2307/2371086 . HDL : 10338.dmlcz/101067 . JSTOR 2371086 .

[7] Дирк Л. Вертиган, Джеффри П. Уиттл: 2-изоморфизм теорема для гиперграфов. J. Comb. Теория, сер. B 71 (2): 215–230. 1997.

[8] Schöning, Uwe (1988). «Изоморфизм графика находится в низкой иерархии». Журнал компьютерных и системных наук . 37 (3): 312–323. doi : 10.1016/0022-0000 (88) 90010-4 .

[9] CHO, Адриан (10 ноября 2015 г.), «Математические претензии в теории сложности», Science , Doi : 10.1126/Science.aad7416 .

[10] Кларрейх, Эрика (14 декабря 2015 г.), «Алгоритм знакового алгоритма перерывает 30-летний тупик» , Журнал Quanta

[11] Babai, László (2016), «Изоморфизм графика в квазиполиномиальное время [расширенное абстрактное]», Stoc'16 - Профессионалы 48 -го ежегодного симпозиума ACM SIGACT по теории вычислителей , ACM, Нью -Йорк, с. 684–697, DOI : 10.1145. /2897518.2897542 , MR 3536606 , S2CID 17118954

[12] Babai, László (2018), «Группа, графики, алгоритмы: проблема изоморфизма графика», Труды Международного конгресса математиков - Rio de Janeiro 2018. Vol. IV Приглашенные лекции , World Sci. Publ., Hackensack, NJ, с. 3319–3336, MR 3966534

[13] Бабай, Ласло (9 января 2017 г.), обновление изоморфизма графика

[14] Хуан, Ниньюан Тереза; Виллар, Соледад (2021). «Короткое руководство по тесту Weisfeiler-Lehman и его вариантам». ICASSP 2021 - 2021 IEEE Международная конференция по акустике, обработке речи и сигнала (ICASSP) . С. 8533–8537. Arxiv : 2201.07083 . doi : 10.1109/icassp39728.2021.9413523 . ISBN 978-1-7281-7605-5 Полем S2CID 235780517 .

[15] Cordella, LP; Foggia, P.; Sansone, C.; Венто М. (2001). «Улучшенный алгоритм для сопоставления больших графиков» . 3-й семинар IAPR-TC15 по графическим представлениям в распознавании шаблонов : 149–159.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]