Функция Неванлинны

В математике , в области комплексного анализа , функция Неванлинны — это комплексная функция , которая является аналитической функцией на открытой верхней полуплоскости. $\,{\mathcal {H}}\,$ и имеет неотрицательную мнимую часть . Функция Неванлинны отображает верхнюю полуплоскость в себя или в действительную константу. но не обязательно является инъективным или сюръективным . Функции с этим свойством иногда также называют Герглотца , Пика или R. функциями

Интегральное представление

Любая функция Неванлинны N допускает представление

$N(z)=C+Dz+\int _{\mathbb {R} }{\bigg (}{\frac {1}{\lambda -z}}-{\frac {\lambda }{1+\lambda ^{2}}}{\bigg )}\operatorname {d} \mu (\lambda ),\quad z\in {\mathcal {H}},$

где C — действительная константа, D — неотрицательная константа, ${\mathcal {H}}$ — верхняя полуплоскость , а µ — борелевская мера на ℝ, удовлетворяющая условию роста

$\int _{\mathbb {R} }{\frac {\operatorname {d} \mu (\lambda )}{1+\lambda ^{2}}}<\infty .$

И наоборот, каждая функция этого вида оказывается функцией Неванлинны. Константы в этом представлении связаны с функцией N соотношением

$C=\Re {\big (}N(i){\big )}\qquad {\text{ and }}\qquad D=\lim _{y\rightarrow \infty }{\frac {N(iy)}{iy}}$

а борелевская мера µ может быть восстановлена ​​из N с помощью формулы обращения Стилтьеса (связанной с формулой обращения для преобразования Стилтьеса ):

$\mu {\big (}(\lambda _{1},\lambda _{2}]{\big )}=\lim _{\delta \rightarrow 0}\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {1}{\pi }}\int _{\lambda _{1}+\delta }^{\lambda _{2}+\delta }\Im {\big (}N(\lambda +i\varepsilon ){\big )}\operatorname {d} \lambda .$

Очень похожее представление функций еще называют представлением Пуассона .

Примеры

Ниже приведены некоторые элементарные примеры функций Неванлинны (с правильно выбранными разрезами в первых трех). ( $z$ можно заменить на $z-a$ для любого действительного числа $a$.)

• $z^{p}{\text{ with }}0\leq p\leq 1$

• $-z^{p}{\text{ with }}-1\leq p\leq 0$

Они инъективны , но когда p не равно 1 или -1, они не являются сюръективными и их можно в некоторой степени вращать вокруг начала координат, например: $i(z/i)^{p}~{\text{ with }}~-1\leq p\leq 1$.

• Лист $\ln(z)$ такой как тот, у которого $f(1)=0$.

• $\tan(z)$ (пример сюръективный, но не инъективный).

• Мёбиуса Преобразование

$z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}$

является функцией Неванлинны, если (достаточно, но не обязательно) ${\overline {a}}d-b{\overline {c}}$ является положительным действительным числом и $\Im ({\overline {b}}d)=\Im ({\overline {a}}c)=0$. Это эквивалентно набору таких преобразований, которые отображают реальную ось саму на себя. Затем можно добавить любую константу в верхнюю полуплоскость и переместить полюс в нижнюю полуплоскость, дав новые значения параметров. Пример: ${\frac {iz+i-2}{z+1+i}}$

• $1+i+z$ и $i+\operatorname {e} ^{iz}$ являются примерами, которые представляют собой целые функции . Второе не является ни инъективным, ни сюръективным.
• Если S — самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве и $f$ — произвольный вектор, то функция

$\langle (S-z)^{-1}f,f\rangle$

является функцией Неванлинны.

• Если $M(z)$ и $N(z)$ обе функции Неванлинны, то композиция $M{\big (}N(z){\big )}$ также является функцией Неванлинны.

Важность в теории операторов

Функции Неванлинны появляются при изучении операторных монотонных функций .

Ссылки

Общий

• Вадим Адамян, изд. (2009). Современный анализ и приложения . п. 27. ISBN  3-7643-9918-Х .
• Наум Ильич Ахиезер и И.М. Глазман (1993). Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве . ISBN  0-486-67748-6 .
• Марвин Розенблюм и Джеймс Ровняк (1994). Темы классов Харди и одновалентных функций . ISBN  3-7643-5111-Х .