Геопотенциальная сферическая гармоническая модель

В геофизике и физической геодезии геопотенциальная модель — это теоретический анализ измерения и расчета воздействия Земли гравитационного поля ( геопотенциала ). Земля не совсем сферическая, главным образом из-за вращения вокруг полярной оси, что делает ее форму слегка сплюснутой. Однако сферических гармоник разложение в ряд фиксирует фактическое поле с большей точностью.

Если бы форма Земли была точно известна вместе с точной плотностью массы ρ = ρ( x , y , z ), ее можно было бы проинтегрировать численно (в сочетании с ядром обратного расстояния ), чтобы найти точную модель гравитационного поля Земли. Однако на самом деле ситуация противоположная: наблюдая за орбитами космических кораблей и Луны, можно достаточно точно определить гравитационное поле Земли. Наилучшая оценка массы Земли получается путем деления произведения GM , определенного в результате анализа орбиты космического корабля, на значение гравитационной постоянной G , определенное с меньшей относительной точностью с использованием других физических методов.

Фон

Основная статья: Сферические гармоники

Из определяющих уравнений ( 1 ) и ( 2 ) ясно (с учетом частных производных подынтегрального выражения), что вне тела в пустом пространстве для поля, вызванного телом, справедливы следующие дифференциальные уравнения:

${\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}=0$ ( 5 )

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0$ ( 6 )

Функции формы $\phi =R(r)\,\Theta (\theta )\,\Phi (\varphi )$ где ( r , θ, φ) — сферические координаты , удовлетворяющие уравнению в частных производных ( 6 ) ( уравнению Лапласа ), называются сферическими гармоническими функциями .

Они принимают формы:

${\begin{aligned}g(x,y,z)&={\frac {1}{r^{n+1}}}P_{n}^{m}(\sin \theta )\cos m\varphi \,,&0&\leq m\leq n\,,&n&=0,1,2,\dots \\h(x,y,z)&={\frac {1}{r^{n+1}}}P_{n}^{m}(\sin \theta )\sin m\varphi \,,&1&\leq m\leq n\,,&n&=1,2,\dots \end{aligned}}$ ( 7 )

где сферические координаты ( r используются , θ, φ), данные здесь в декартовых координатах ( x, y, z ) для справки:

${\begin{aligned}x&=r\cos \theta \cos \varphi \\y&=r\cos \theta \sin \varphi \\z&=r\sin \theta \,,\end{aligned}}$ ( 8 )

также П ⁰ _n — полиномы Лежандра , а P ^м _n для 1 ≤ m ≤ n — ассоциированные функции Лежандра .

Первые сферические гармоники с n = 0, 1, 2, 3 представлены в таблице ниже. [Обратите внимание, что соглашение о знаках отличается от соглашения о соответствующих полиномах Лежандра, здесь $P_{2}^{1}(x)=3x{\sqrt {1-x^{2}}}$ тогда как там $P_{2}^{1}(x)=-3x{\sqrt {1-x^{2}}}$.]

н	Сферические гармоники
0	${\frac {1}{r}}$
1	${\frac {1}{r^{2}}}P_{1}^{0}(\sin \theta )={\frac {1}{r^{2}}}\sin \theta$
	${\frac {1}{r^{2}}}P_{1}^{1}(\sin \theta )\cos \varphi ={\frac {1}{r^{2}}}\cos \theta \cos \varphi$
	${\frac {1}{r^{2}}}P_{1}^{1}(\sin \theta )\sin \varphi ={\frac {1}{r^{2}}}\cos \theta \sin \varphi$
2	${\frac {1}{r^{3}}}P_{2}^{0}(\sin \theta )={\frac {1}{r^{3}}}{\frac {1}{2}}(3\sin ^{2}\theta -1)$
	${\frac {1}{r^{3}}}P_{2}^{1}(\sin \theta )\cos \varphi ={\frac {1}{r^{3}}}3\sin \theta \cos \theta \ \cos \varphi$
	${\frac {1}{r^{3}}}P_{2}^{1}(\sin \theta )\sin \varphi ={\frac {1}{r^{3}}}3\sin \theta \cos \theta \sin \varphi$
	${\frac {1}{r^{3}}}P_{2}^{2}(\sin \theta )\cos 2\varphi ={\frac {1}{r^{3}}}3\cos ^{2}\theta \ \cos 2\varphi$
	${\frac {1}{r^{3}}}P_{2}^{2}(\sin \theta )\sin 2\varphi ={\frac {1}{r^{3}}}3\cos ^{2}\theta \sin 2\varphi$
3	${\frac {1}{r^{4}}}P_{3}^{0}(\sin \theta )={\frac {1}{r^{4}}}{\frac {1}{2}}\sin \theta \ (5\sin ^{2}\theta -3)$
	${\frac {1}{r^{4}}}P_{3}^{1}(\sin \theta )\cos \varphi ={\frac {1}{r^{4}}}{\frac {3}{2}}\ (5\ \sin ^{2}\theta -1)\cos \theta \cos \varphi$
	${\frac {1}{r^{4}}}P_{3}^{1}(\sin \theta )\sin \varphi ={\frac {1}{r^{4}}}{\frac {3}{2}}\ (5\ \sin ^{2}\theta -1)\cos \theta \sin \varphi$
	${\frac {1}{r^{4}}}P_{3}^{2}(\sin \theta )\cos 2\varphi ={\frac {1}{r^{4}}}15\sin \theta \cos ^{2}\theta \cos 2\varphi$
	${\frac {1}{r^{4}}}P_{3}^{2}(\sin \theta )\sin 2\varphi ={\frac {1}{r^{4}}}15\sin \theta \cos ^{2}\theta \sin 2\varphi$
	${\frac {1}{r^{4}}}P_{3}^{3}(\sin \theta )\cos 3\varphi ={\frac {1}{r^{4}}}15\cos ^{3}\theta \cos 3\varphi$
	${\frac {1}{r^{4}}}P_{3}^{3}(\sin \theta )\sin 3\varphi ={\frac {1}{r^{4}}}15\cos ^{3}\theta \sin 3\varphi$

Формулировка

Модель гравитационного потенциала Земли представляет собой сумму

$u=-{\frac {\mu }{r}}+\sum _{n=2}^{N_{z}}{\frac {J_{n}P_{n}^{0}(\sin \theta )}{r^{n+1}}}+\sum _{n=2}^{N_{t}}\sum _{m=1}^{n}{\frac {P_{n}^{m}(\sin \theta )\left(C_{n}^{m}\cos m\varphi +S_{n}^{m}\sin m\varphi \right)}{r^{n+1}}}$ ( 9 )

где $\mu =GM$ а координаты ( 8 ) относятся к стандартной геодезической системе отсчета, вытянутой в пространство, с началом координат в центре опорного эллипсоида и с осью z в ​​направлении полярной оси.

Зональные термины относятся к терминам вида:

${\frac {P_{n}^{0}(\sin \theta )}{r^{n+1}}}\quad n=0,1,2,\dots$

а тессеральные термины термины относятся к терминам формы:

${\frac {P_{n}^{m}(\sin \theta )\cos m\varphi }{r^{n+1}}}\,,\quad 1\leq m\leq n\quad n=1,2,\dots$

${\frac {P_{n}^{m}(\sin \theta )\sin m\varphi }{r^{n+1}}}$

Зональные и тессеральные члены для n = 1 опущены в ( 9 ). Коэффициенты для n=1 с членами m=0 и m=1 соответствуют произвольно ориентированному дипольному члену в многополюсном разложении. Гравитация физически не проявляет дипольного характера, поэтому интеграл, характеризующий n = 1, должен быть равен нулю.

Различные коэффициенты J _n , C _n ^м , С _н ^м затем задаются значения, при которых достигается наилучшее согласие между вычисленными и наблюдаемыми орбитами космического корабля.

Как П ⁰ _п ( Икс ) знак равно - п ⁰ _n (− x ) ненулевые коэффициенты J _n для нечетных n соответствуют отсутствию симметрии «север-юг» относительно экваториальной плоскости распределения масс Земли. Ненулевые коэффициенты C _n ^м , С _н ^м соответствуют отсутствию вращательной симметрии вокруг полярной оси распределения массы Земли, т.е. «трехосности» Земли.

Для больших значений n приведенные выше коэффициенты (которые делятся на r ^{( п + 1)} в ( 9 )) принимают очень большие значения, когда, например, в качестве единиц измерения используются километры и секунды. В литературе принято вводить некоторый произвольный «опорный радиус» R, близкий к радиусу Земли, и работать с безразмерными коэффициентами.

${\begin{aligned}{\tilde {J_{n}}}&=-{\frac {J_{n}}{\mu \ R^{n}}},&{\tilde {C_{n}^{m}}}&=-{\frac {C_{n}^{m}}{\mu \ R^{n}}},&{\tilde {S_{n}^{m}}}&=-{\frac {S_{n}^{m}}{\mu \ R^{n}}}\end{aligned}}$

и записать потенциал как

$u=-{\frac {\mu }{r}}\left(1+\sum _{n=2}^{N_{z}}{\frac {{\tilde {J_{n}}}P_{n}^{0}(\sin \theta )}{{({\frac {r}{R}})}^{n}}}+\sum _{n=2}^{N_{t}}\sum _{m=1}^{n}{\frac {P_{n}^{m}(\sin \theta )({\tilde {C_{n}^{m}}}\cos m\varphi +{\tilde {S_{n}^{m}}}\sin m\varphi )}{{({\frac {r}{R}})}^{n}}}\right)$ ( 10 )

Вывод

показывать Компактный вывод сферических гармоник, используемых для моделирования гравитационного поля Земли.

The spherical harmonics are derived from the approach of looking for harmonic functions of the form $\phi =R(r)\ \Theta (\theta )\ \Phi (\varphi )$ (16) where (r, θ, φ) are the spherical coordinates defined by the equations (8). By straightforward calculations one gets that for any function f ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\ +\ {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\ +\ {\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}\ =\ {1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\cos \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\cos \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\cos ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}$ (17) Introducing the expression (16) in (17) one gets that ${\frac {r^{2}}{\phi }}\left({\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}\right)\ ={\frac {1}{R}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)+{\frac {1}{\Theta \cos \theta }}{\frac {d}{d\theta }}\left(\cos \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)+{\frac {1}{\Phi \cos ^{2}\theta }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}$ (18) As the term ${\frac {1}{R}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)$ only depends on the variable $r$ and the sum ${\frac {1}{\Theta \cos \theta }}{\frac {d}{d\theta }}\left(\cos \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)+{\frac {1}{\Phi \cos ^{2}\theta }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}$ only depends on the variables θ and φ. One gets that φ is harmonic if and only if ${\frac {1}{R}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)=\lambda$ (19) and ${\frac {1}{\Theta \cos \theta }}{\frac {d}{d\theta }}\left(\cos \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)+{\frac {1}{\Phi \cos ^{2}\theta }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}=-\lambda$ (20) for some constant $\lambda$. From (20) then follows that ${\frac {1}{\Theta }}\ \cos \theta \ {\frac {d}{d\theta }}\left(\cos \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)\ +\lambda \ \cos ^{2}\theta \ +\ {\frac {1}{\Phi }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}\ =\ 0$ The first two terms only depend on the variable $\theta$ and the third only on the variable $\varphi$. From the definition of φ as a spherical coordinate it is clear that Φ(φ) must be periodic with the period 2π and one must therefore have that ${\frac {1}{\Phi }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}=-m^{2}$ (21) and ${\frac {1}{\Theta }}\ \cos \theta \ {\frac {d}{d\theta }}\left(\cos \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)\ +\lambda \ \cos ^{2}\theta =m^{2}$ (22) for some integer m as the family of solutions to (21) then are $\Phi (\varphi )\ =a\ \cos m\varphi \ +\ b\ \sin m\varphi$ (23) With the variable substitution $x=\sin \theta$ equation (22) takes the form ${\frac {d}{dx}}\left(\left(1-x^{2}\right){\frac {d\Theta }{dx}}\right)+\left(\lambda -{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\Theta =0$ (24) From (19) follows that in order to have a solution $\phi$ with $R(r)={\frac {1}{r^{n+1}}}$ one must have that $\lambda =n(n+1)$ If Pn(x) is a solution to the differential equation ${\frac {d}{dx}}\left(\left(1-x^{2}\right)\ {\frac {dP_{n}}{dx}}\right)\ +\ n(n+1)\ P_{n}=0$ (25) one therefore has that the potential corresponding to m = 0 $\phi ={\frac {1}{r^{n+1}}}\ P_{n}(\sin \theta )$ which is rotationally symmetric around the z-axis is a harmonic function If $P_{n}^{m}(x)$ is a solution to the differential equation ${\frac {d}{dx}}\left(\left(1-x^{2}\right)\ {\frac {dP_{n}^{m}}{dx}}\right)\ +\ \left(n(n+1)-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\ P_{n}^{m}\ =\ 0$ (26) with m ≥ 1 one has the potential $\phi ={\frac {1}{r^{n+1}}}\ P_{n}^{m}(\sin \theta )\ (a\ \cos m\varphi \ +\ b\ \sin m\varphi )$ (27) where a and b are arbitrary constants is a harmonic function that depends on φ and therefore is not rotationally symmetric around the z-axis The differential equation (25) is the Legendre differential equation for which the Legendre polynomials defined ${\begin{aligned}P_{0}(x)&=1\\P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}n!}}\ {\frac {d^{n}\left(x^{2}-1\right)^{n}}{dx^{n}}}\quad n\geq 1\\\end{aligned}}$ (28) are the solutions. The arbitrary factor 1/(2nn!) is selected to make Pn(−1) = −1 and Pn(1) = 1 for odd n and Pn(−1) = Pn(1) = 1 for even n. The first six Legendre polynomials are: ${\begin{aligned}P_{0}(x)&=1\\P_{1}(x)&=x\\P_{2}(x)&={\frac {1}{2}}\left(3x^{2}-1\right)\\P_{3}(x)&={\frac {1}{2}}\left(5x^{3}-3x\right)\\P_{4}(x)&={\frac {1}{8}}\left(35x^{4}-30x^{2}+3\right)\\P_{5}(x)&={\frac {1}{8}}\left(63x^{5}-70x^{3}+15x\right)\\\end{aligned}}$ (29) The solutions to differential equation (26) are the associated Legendre functions $P_{n}^{m}(x)=\left(1-x^{2}\right)^{\frac {m}{2}}\ {\frac {d^{m}P_{n}}{dx^{m}}}\quad 1\leq m\leq n$ (30) One therefore has that $P_{n}^{m}(\sin \theta )=\cos ^{m}\theta \ {\frac {d^{n}P_{n}}{dx^{n}}}(\sin \theta )$

Крупнейшие сроки

Доминирующим членом (после члена −μ/ r ) в ( 9 ) является коэффициент J ₂ , второй динамический форм-фактор, представляющий сжатие Земли:

$u={\frac {J_{2}\ P_{2}^{0}(\sin \theta )}{r^{3}}}=J_{2}{\frac {1}{r^{3}}}{\frac {1}{2}}(3\sin ^{2}\theta -1)=J_{2}{\frac {1}{r^{5}}}{\frac {1}{2}}(3z^{2}-r^{2})$

Относительная система координат

${\begin{aligned}{\hat {\varphi }}&=-\sin \varphi {\hat {x}}+\cos \varphi {\hat {y}}\\{\hat {\theta }}&=-\sin \theta \,(\cos \varphi {\hat {x}}+\sin \varphi {\hat {y}})+\cos \theta {\hat {z}}\\{\hat {r}}&=\cos \theta \,(\cos \varphi {\hat {x}}+\sin \varphi {\hat {y}})+\sin \theta {\hat {z}}\end{aligned}}$ ( 11 )

Рисунок 1: Единичные векторы. Это неправильно. Должна быть тета, а не лямбда ${\hat {\varphi }}\ ,\ {\hat {\theta }}\ ,\ {\hat {r}}$

Как показано на рисунке 1, компоненты силы, вызванной « членом J ₂ », равны

${\begin{aligned}F_{\theta }&=-{\frac {1}{r}}\ {\frac {\partial u}{\partial \theta }}=-J_{2}\ {\frac {1}{r^{4}}}3\ \cos \theta \ \sin \theta \\F_{r}&=-{\frac {\partial u}{\partial r}}=J_{2}\ {\frac {1}{r^{4}}}{\frac {3}{2}}\ \left(3\sin ^{2}\theta \ -\ 1\right)\end{aligned}}$ ( 12 )

В прямоугольной системе координат ( x, y, z ) с единичными векторами ( x̂ ŷ ẑ ) компоненты силы:

${\begin{aligned}F_{x}&=-{\frac {\partial u}{\partial x}}=J_{2}\ {\frac {x}{r^{7}}}\left(6z^{2}-{\frac {3}{2}}(x^{2}+y^{2})\right)\\F_{y}&=-{\frac {\partial u}{\partial y}}=J_{2}\ {\frac {y}{r^{7}}}\left(6z^{2}-{\frac {3}{2}}(x^{2}+y^{2})\right)\\F_{z}&=-{\frac {\partial u}{\partial z}}=J_{2}\ {\frac {z}{r^{7}}}\left(3z^{2}-{\frac {9}{2}}(x^{2}+y^{2})\right)\end{aligned}}$ ( 13 )

Компоненты силы, соответствующие « терму J ₃ »

$u={\frac {J_{3}P_{3}^{0}(\sin \theta )}{r^{4}}}=J_{3}{\frac {1}{r^{4}}}{\frac {1}{2}}\sin \theta \left(5\sin ^{2}\theta -3\right)=J_{3}{\frac {1}{r^{7}}}{\frac {1}{2}}z\left(5z^{2}-3r^{2}\right)$

являются

${\begin{aligned}F_{\theta }&=-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial \theta }}=-J_{3}{\frac {1}{r^{5}}}{\frac {3}{2}}\cos \theta \left(5\sin ^{2}\theta -1\right)\\F_{r}&=-{\frac {\partial u}{\partial r}}=J_{3}{\frac {1}{r^{5}}}2\sin \theta \left(5\sin ^{2}\theta -3\right)\end{aligned}}$ ( 14 )

и

${\begin{aligned}F_{x}&=-{\frac {\partial u}{\partial x}}=J_{3}{\frac {xz}{r^{9}}}\left(10z^{2}-{\frac {15}{2}}(x^{2}+y^{2})\right)\\F_{y}&=-{\frac {\partial u}{\partial y}}=J_{3}{\frac {yz}{r^{9}}}\left(10z^{2}-{\frac {15}{2}}(x^{2}+y^{2})\right)\\F_{z}&=-{\frac {\partial u}{\partial z}}=J_{3}{\frac {1}{r^{9}}}\left(4z^{2}\ \left(z^{2}-3(x^{2}+y^{2})\right)+{\frac {3}{2}}(x^{2}+y^{2})^{2}\right)\end{aligned}}$ ( 15 )

Точные численные значения коэффициентов различаются (несколько) в разных моделях Земли, но для самых низких коэффициентов все они почти точно совпадают.

Для модели JGM-3 ( см. ниже ) значения следующие:

μ = 398600,440 км ³ ⋅s ⁻²

Дж ₂ = 1,75553×10 ¹⁰ км ⁵ ⋅s ⁻²

Дж ₃ = −2,61913 × 10 ¹¹ км ⁶ ⋅s ⁻²

Например, на радиусе 6600 км (около 200 км над поверхностью Земли) J ₃ /( J ₂ r ) составляет около 0,002; т.е. поправка к « силе J ₂ » из « члена J ₃ » составляет порядка 2 промилле. Отрицательное значение J ₃ означает, что для точечной массы в экваториальной плоскости Земли сила гравитации слегка наклонена к югу из-за отсутствия симметрии распределения массы Земли «север-юг».

Рекурсивные алгоритмы численного распространения орбит космических аппаратов

Орбиты космических аппаратов рассчитываются путем численного интегрирования уравнения движения . Для этого необходимо вычислить гравитационную силу, то есть градиент потенциала. эффективные рекурсивные алгоритмы для вычисления гравитационной силы для любого Были разработаны $N_{z}$ и $N_{t}$ (максимальная степень зональных и тессеральных членов), и такие алгоритмы используются в стандартном программном обеспечении для распространения по орбите.

Доступные модели

Самыми ранними моделями Земли, широко использовавшимися НАСА и ESRO / ESA, были «Модели Земли Годдарда», разработанные Центром космических полетов Годдарда (GSFC) и получившие обозначения «GEM-1», «GEM-2», «GEM-3» и т. д. на. Позже стали доступны «Объединенные модели земной гравитации» под обозначениями «JGM-1», «JGM-2», «JGM-3», разработанные GSFC в сотрудничестве с университетами и частными компаниями. Новые модели обычно обеспечивали условия более высокого порядка, чем их предшественники. EGM96 = 360 , использует N _z = N _t что дает 130317 коэффициентов. Также доступна модель EGM2008.

Для обычного спутника Земли, требующего точности определения/прогноза орбиты в несколько метров, «JGM-3», усеченного до N _z = N _t обычно достаточно = 36 (1365 коэффициентов). Неточности моделирования сопротивления воздуха и, в меньшей степени, давления солнечной радиации превысят неточности, вызванные ошибками моделирования гравитации.

Безразмерные коэффициенты ${\tilde {J_{n}}}=-{\frac {J_{n}}{\mu \ R^{n}}}$, ${\tilde {C_{n}^{m}}}=-{\frac {C_{n}^{m}}{\mu \ R^{n}}}$, ${\tilde {S_{n}^{m}}}=-{\frac {S_{n}^{m}}{\mu \ R^{n}}}$ для первых зональных и тессеральных термов (с использованием $R$ = 6 378 , 1363 км и $\mu$ = 398 600 .4415 км ³ /с ² ) модели JGM-3

Зональные коэффициенты

н
2	−0.108 263 5854 × 10 −2
3	0.253 243 5346 × 10 −5
4	0.161 933 1205 × 10 −5
5	0.227 716 1016 × 10 −6
6	−0.539 648 4906 × 10 −6
7	0.351 368 4422 × 10 −6
8	0.202 518 7152 × 10 −6

Тессеральные коэффициенты

н	м	С	С
2	1	−0.350 489 0360 × 10 −9	0.163 540 6077 × 10 −8
	2	0.157 453 6043 × 10 −5	−0.903 868 0729 × 10 −6
3	1	0.219 279 8802 × 10 −5	0.268 011 8938 × 10 −6
	2	0.309 016 0446 × 10 −6	−0.211 402 3978 × 10 −6
	3	0.100 558 8574 × 10 −6	0.197 201 3239 × 10 −6
4	1	−0.508 725 3036 × 10 −6	−0.449 459 9352 × 10 −6
	2	0.784 122 3074 × 10 −7	0.148 155 4569 × 10 −6
	3	0.592 157 4319 × 10 −7	−0.120 112 9183 × 10 −7
	4	−0.398 239 5740 × 10 −8	0.652 560 5810 × 10 −8

Следовательно, согласно JGM-3, J ₂ = 0,108 263 5854 × 10. ⁻² × 6378.1363 ² × 398 600 , 4415 км ⁵ /с ² = 1.755 53 × 10 ¹⁰ км ⁵ /с ² и Дж ₃ = −0,253 243 5346 × 10 ⁻⁵ × 6378.1363 ³ × 398 600 , 4415 км ⁶ /с ² = −2.619 13 × 10 ¹¹ км ⁶ /с ² .

См. также

• Геоид # Представление сферических гармоник

Ссылки

Дальнейшее чтение

• Эль-Ясберг. Теория полета искусственных спутников Земли , Израильская программа научных переводов (1967).
• Лерч, Ф. Дж., Вагнер, Калифорния, Смит, Д. Е., Сэндсон, М. Л., Браунд, Дж. Э., Ричардсон, Дж. А., «Модели гравитационного поля для Земли (GEM1 и 2)», отчет X55372146, Центр космических полетов Годдарда, Гринбелт / Мэриленд, 1972 г.
• Лерч, Ф. Дж., Вагнер, Калифорния, Путни, М. Л., Сэндсон, М. Л., Браунд, Дж. Э., Ричардсон, Дж. А., Тейлор, Вашингтон, «Модели гравитационного поля GEM3 и 4», отчет X59272476, Центр космических полетов Годдарда, Гринбелт / Мэриленд, 1972 г.
• Лерч, Ф.Дж., Вагнер, Калифорния, Ричардсон, Дж.А., Браунд, Дж.Э., «Модели Земли Годдарда (5 и 6)», Отчет X92174145, Центр космических полетов Годдарда, Гринбелт / Мэриленд, 1974 г.
• Лерч, Ф.Дж., Вагнер, К.А., Клоско, С.М., Белотт, Р.П., Лаубшер, Р.Э., Рэйлор, В.А., «Улучшение гравитационной модели с использованием альтиметрии Geos3 (GEM10A и 10B)», Весеннее ежегодное собрание Американского геофизического союза 1978 г., Майами, 1978 год
• Лерч, Ф.Дж.; Клоско, С.М.; Лаубшер, Р.Э.; Вагнер, Калифорния (1979). «Улучшение гравитационной модели с использованием Geos3 (GEM9 и 10)». Журнал геофизических исследований . 84 (Б8): 3897–3916. дои : 10.1029/JB084i/B08p03897 .
• Лерч, Ф.Дж.; Патни, Британская Колумбия; Вагнер, Калифорния; Клоско, С.М. (1981). «Модели Земли Годдарда для океанографических приложений (GEM 10B и 10C)». Морская геодезия . 5 (2): 145–187. дои : 10.1080/15210608109379416 .
• Лерч, Ф.Дж., Клоско, С.М., Патель, ГБ, «Уточненная модель гравитации из Лагеоса (GEML2)», Технический меморандум НАСА 84986, Центр космических полетов Годдарда, Гринбелт / Мэриленд, 1983 г.
• Лерч, Ф.Дж., Нерем, Р.С., Путни, Б.Х., Фельсентрегер, Т.Л., Санчес, Б.В., Клоско, С.М., Патель, ГБ, Уильямсон, Р.Г., Чинн, Д.С., Чан, Дж.К., Рахлин, К.Е., Чендлер, Н.Л., Маккарти, Джей-Джей, Маршалл, Дж.А., Лутке, С.Б., Павлис, Д.В., Роббинс, Дж.В., Капур С., Павлис Э.К., «Геопотенциальные модели Земли на основе спутникового слежения, альтиметра и наблюдений за поверхностной гравитацией: GEMT3 и GEMT3S», Технический меморандум НАСА 104555, Центр космических полетов Годдарда, Гринбелт / Мэриленд, 1992 г.
• Лерч, Ф.Дж.; Нерем, РС; Патни, Британская Колумбия; Фельсентрегер, ТЛ; Санчес, Б.В.; Маршалл, Дж.А.; Клоско, С.М.; Патель, ГБ; Уильямсон, Р.Г. (1994). «Геопотенциальная модель на основе данных спутникового слежения, альтиметра и приземной гравитации: GEMT3». Журнал геофизических исследований . 99 (Б2): 2815–2839. дои : 10.1029/93JB02759 .
• Нерем, РС; Лерч, Ф.Дж.; Маршалл, Дж.А.; Павлис, ЕС; Путни, Б.Х. (1994). «Разработка гравитационных моделей для Topex/Poseidon: совместные гравитационные модели 1 и 2». Журнал геофизических исследований . 99 (С12): 24421–24447. дои : 10.1029/94JC01376 .
• Тэпли, Б.Д.; Уоткинс, ММ; Райс, Дж. К.; Дэвис, GW; Инес, Р.Дж. (1996). «Модель совместной гравитации 3». Дж. Геофиз. Рез . 101 (Б12). дои : 10.1029/96JB01645 .

Внешние ссылки

• http://cddis.nasa.gov/lw13/docs/papers/sci_lemoine_1m.pdf. Архивировано 19 июля 2011 г. в Wayback Machine.
• http://geodesy.geology.ohio-state.edu/course/refpapers/Tapley_JGR_JGM3_96.pdf. Архивировано 4 марта 2016 г. в Wayback Machine.