Итерированная группа монодромии

В геометрической теории групп и динамических системах итерированная группа монодромии накрытия группа — это , описывающая действие монодромии фундаментальной группы на всех итерациях покрытия. Таким образом, одна карта покрытия между пространствами используется для создания башни покрытий путем многократного размещения покрытия поверх самого себя. В терминах теории Галуа накрывающих пространств ожидается, что эта конструкция пространств будет соответствовать конструкции групп. Итерированная группа монодромии обеспечивает эту конструкцию и применяется для кодирования комбинаторики и символической динамики покрытия, а также для предоставления примеров самоподобных групп .

Определение

Итерированная группа монодромии f представляет собой следующую факторгруппу :

\mathrm {IMG} f:={\frac {\pi _{1}(X,t)}{\bigcap _{n\in \mathbb {N} }\mathrm {Ker} \,\digamma ^{n}}}

где :

$f:X_{1}\rightarrow X$ является покрытием линейно -связного и локально линейно-связного топологического пространства X своим подмножеством $X_{1}$ ,
$\pi _{1}(X,t)$ является группой X и фундаментальной
$\digamma :\pi _{1}(X,t)\rightarrow \mathrm {Sym} \,f^{-1}(t)$ — действие монодромии для f .
$\digamma ^{n}:\pi _{1}(X,t)\rightarrow \mathrm {Sym} \,f^{-n}(t)$ есть монодромное действие $n^{\mathrm {th} }$ итерация f , $\forall n\in \mathbb {N} _{0}$ .

Действие

Итерированная группа монодромии действует автоморфизмом на корневом дереве прообразов.

T_{f}:=\bigsqcup _{n\geq 0}f^{-n}(t),

где вершина $z\in f^{-n}(t)$ соединен ребром с $f(z)\in f^{-(n-1)}(t)$ .

Примеры

Итерированные группы монодромии рациональных функций

Позволять :

f — комплексная рациональная функция
$P_{f}$ — объединение прямых орбит его критических точек ( посткритическое множество ).

Если $P_{f}$ конечна (или имеет конечное множество точек накопления ), то повторная группа монодромии f является повторной группой монодромии покрытия $f:{\hat {C}}\setminus f^{-1}(P_{f})\rightarrow {\hat {C}}\setminus P_{f}$ , где ${\hat {C}}$ это сфера Римана .

Итерированные группы монодромии рациональных функций обычно обладают экзотическими свойствами с точки зрения классической теории групп. Большинство из них представлены бесконечно, многие имеют промежуточный рост .

IMG полиномов

Группа Базилика - это итерированная группа монодромии полинома. $z^{2}-1$

См. также

Ссылки

Владимир Некрашевич, Самоподобные группы , Математические обзоры и монографии Vol. 117, амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд, 2005; ISBN 0-412-34550-1 .
Кевин М. Пилигрим, Комбинации сложных динамических систем , Springer-Verlag, Берлин, 2003; ISBN 3-540-20173-4 .

Внешние ссылки

arXiv .org - Группа итерированной монодромии - препринты об итерированной группе монодромии.
Страница Лорана Бартольди — Фильмы, иллюстрирующие повороты Дена о съемках Джулии .
mathworld .wolfram.com — страница группы монодромии.