Преобразование Джордана – Вигнера

Преобразование Джордана -Вигнера — это преобразование, которое отображает операторы спина на фермионные операторы рождения и уничтожения . Его предложили Паскуаль Джордан и Юджин Вигнер. для одномерных решетчатых моделей , но теперь созданы и двумерные аналоги преобразования. Преобразование Джордана-Вигнера часто используется для точного решения одномерных спиновых цепочек, таких как модели Изинга и XY, путем преобразования операторов спина в фермионные операторы и последующей диагонализации в фермионном базисе.

Это преобразование фактически показывает, что различия между частицами со спином 1/2 и фермионами не существует. Его можно применить к системам произвольной размерности.

Аналогия между спинами и фермионами

Далее мы покажем, как сопоставить одномерную спиновую цепочку частиц со спином 1/2 с фермионами.

Возьмем со спином 1/2, операторы Паули действующие на сайте. $j$ 1D-цепи, $\sigma _{j}^{+},\sigma _{j}^{-},\sigma _{j}^{z}$. Взяв антикоммутатор ​ $\sigma _{j}^{+}$ и $\sigma _{j}^{-}$, мы находим $\{\sigma _{j}^{+},\sigma _{j}^{-}\}=I$, как и следовало ожидать от фермионных операторов рождения и уничтожения. Тогда у нас может возникнуть соблазн установить

$\sigma _{j}^{+}=(\sigma _{j}^{x}+i\sigma _{j}^{y})/2\equiv f_{j}^{\dagger }$

$\sigma _{j}^{-}=(\sigma _{j}^{x}-i\sigma _{j}^{y})/2\equiv f_{j}$

$\sigma _{j}^{z}=2f_{j}^{\dagger }f_{j}-I.$

Теперь у нас есть правильные фермионные соотношения для одного узла. $\{f_{j}^{\dagger },f_{j}\}=I$; однако на разных сайтах мы имеем отношение $[f_{j}^{\dagger },f_{k}]=0$, где $j\neq k$, и поэтому спины на разных сайтах коммутируют, в отличие от фермионов, которые антикоммутируют. Мы должны исправить это, прежде чем сможем серьезно отнестись к этой аналогии.

Преобразование, которое восстанавливает истинные коммутационные соотношения фермионов из спин-операторов, было выполнено в 1928 году Джорданом и Вигнером. Это частный пример преобразования Клейна . Берем цепочку фермионов и определяем новый набор операторов

$a_{j}^{\dagger }=e^{\left(+i\pi \sum _{k=1}^{j-1}f_{k}^{\dagger }f_{k}\right)}\cdot f_{j}^{\dagger }$

$a_{j}=e^{\left(-i\pi \sum _{k=1}^{j-1}f_{k}^{\dagger }f_{k}\right)}\cdot f_{j}$

$a_{j}^{\dagger }a_{j}=f_{j}^{\dagger }f_{j}.$

Они отличаются от вышеперечисленных только фазой $e^{\pm i\pi \sum _{k=1}^{j-1}f_{k}^{\dagger }f_{k}}$. Фаза определяется числом занятых фермионных мод в модах $k=1,\ldots ,j-1$ поля. Фаза равна $+1$ если число занятых мод четное, и $-1$ если число занятых мод нечетное. Эту фазу часто выражают как

$e^{\left(\pm i\pi \sum _{k=1}^{j-1}f_{k}^{\dagger }f_{k}\right)}=\prod _{k=1}^{j-1}e^{\pm i\pi f_{k}^{\dagger }f_{k}}=\prod _{k=1}^{j-1}{e^{\pm i\pi {\frac {\sigma _{k}^{z}+I}{2}}}}=\prod _{k=1}^{j-1}(-\sigma _{k}^{z}).$

Преобразованные спиновые операторы теперь имеют соответствующие фермионные канонические антикоммутационные соотношения.

$\{a_{i}^{\dagger },a_{j}\}=\delta _{i,j},\,\{a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\}=0,\,\{a_{i},a_{j}\}=0.$

Вышеупомянутые антикоммутационные соотношения можно доказать, используя соотношения

$\{e^{(-i\pi f_{j}^{\dagger }f_{j})},f_{j}\}=\{e^{(i\pi f_{j}^{\dagger }f_{j})},f_{j}^{\dagger }\}=0$

Обратное преобразование определяется выражением

$\sigma _{j}^{+}=e^{\left(-i\pi \sum _{k=1}^{j-1}a_{k}^{\dagger }a_{k}\right)}\cdot a_{j}^{\dagger }$

$\sigma _{j}^{-}=e^{\left(+i\pi \sum _{k=1}^{j-1}a_{k}^{\dagger }a_{k}\right)}\cdot a_{j}$

$\sigma _{j}^{z}=2a_{j}^{\dagger }a_{j}-I$

Заметим, что определение фермионных операторов нелокально по отношению к бозонным операторам, поскольку нам приходится иметь дело с целой цепочкой операторов слева от узла, относительно которого определены фермионные операторы. Это также верно и наоборот. Это пример цикла 'т Хоофта , который является оператором беспорядка вместо оператора порядка . Это также пример S-двойственности .

Если система имеет более одного измерения, преобразование все равно можно применить. Необходимо только произвольно маркировать сайты единым индексом.

Квантовые вычисления

Преобразование Джордана-Вигнера можно инвертировать, чтобы отобразить фермионный гамильтониан в спиновый гамильтониан. Серия вращений эквивалентна цепочке кубитов для квантовых вычислений . С помощью этого преобразования некоторые молекулярные потенциалы можно эффективно смоделировать с помощью квантового компьютера.

См. также

• S-двойственность
• Преобразование Клейна
• Преобразование Боголюбова
• Преобразование Гольштейна – Примакова
• Преобразование Джордана – Швингера

Дальнейшее чтение

• Майкл Нильсен, Заметки о трансформации Джордана-Вигнера в Wayback Machine (архивировано 3 ноября 2019 г.)
• Пирс Коулман, простые примеры вторичного квантования