Синусоидальное состояние Аббе

Углы входа и выхода каждого луча, проходящего через систему визуализации (серый прямоугольник), связаны между собой. Когда система формирования изображения подчиняется условию синуса Аббе, соотношение синусов этих углов равно (латеральному абсолютному) увеличению системы.

В оптике условие синуса Аббе — это условие, которое должно выполняться линзой или другой оптической системой , чтобы она могла создавать резкие изображения как внеосевых, так и осевых объектов. Он был сформулирован Эрнстом Аббе применительно к микроскопам .

Условие синуса Аббе говорит, что

синус пространстве угла объекта в ${\textstyle \alpha _{\mathrm {o} }}$ должен быть пропорционален синусу угла пространства изображения ${\textstyle \alpha _{\mathrm {i} }}$

Более того, это соотношение равно увеличению системы. В математическом плане это: $${\frac {\sin \alpha _{\mathrm {o} }}{\sin \alpha _{\mathrm {i} }}}={\frac {\sin \beta _{\mathrm {o} }}{\sin \beta _{\mathrm {i} }}}=|M|$$

где переменные ${\textstyle (\alpha _{\mathrm {o} },\beta _{\mathrm {o} })}$ - это углы (относительно оптической оси) любых двух лучей, покидающих объект, и ${\textstyle (\alpha _{\mathrm {i} },\beta _{\mathrm {i} })}$ — это углы тех же лучей, где они достигают плоскости изображения (скажем, плоскости пленки фотоаппарата). Например, ( ${\textstyle \alpha _{\mathrm {o} },\alpha _{\mathrm {i} })}$ может представлять собой параксиальный луч (т. е. луч, почти параллельный оптической оси), и ${\textstyle (\beta _{\mathrm {o} },\beta _{\mathrm {i} })}$ может представлять собой краевой луч (т. е. луч с наибольшим углом, допускаемым апертурой системы). Говорят, что система оптического изображения, для которой это верно для всех лучей, подчиняется условию синуса Аббе.

Условие синуса Аббе можно вывести по принципу Ферма .

линза Тонкая удовлетворяет $${\frac {\tan \alpha _{\mathrm {o} }}{\tan \alpha _{\mathrm {i} }}}={\frac {\tan \beta _{\mathrm {o} }}{\tan \beta _{\mathrm {i} }}}=|M|$$вместо этого это означает, что он не удовлетворяет условию синуса Аббе при больших углах. Разница составляет порядок $\alpha _{o}^{3}$, что соответствует аберрации комы .

Увеличение и условие синуса Аббе

Система оптического изображения (серый прямоугольник), подчиняющаяся условию синуса, имеет фиксированное соотношение между синусом углов луча на входе и выходе системы, sin( α _o ) / sin ( α _i ) , которое равно увеличению M. .

Используя рамки оптики Фурье , мы можем легко объяснить значение условия синуса Аббе. Скажем, объект в объектной плоскости оптической системы имеет функцию пропускания вида T ( x _o , y _o ) . Мы можем выразить эту функцию пропускания через преобразование Фурье как

$$T(x_{\mathrm {o} },y_{\mathrm {o} })=\iint T(k_{x},k_{y})\exp \left({j(k_{x}x_{\mathrm {o} }+k_{y}y_{\mathrm {o} })}\right)\,dk_{x}\,dk_{y}\,,$$

где ${\textstyle \exp(z)=e^{z}}$ – показательная функция , а ${\textstyle j={\sqrt {-1}}}$ это мнимая единица .

Теперь предположим для простоты, что система не имеет искажений изображения , так что координаты плоскости изображения линейно связаны с координатами плоскости объекта соотношением

$${\begin{aligned}x_{\mathrm {i} }&=Mx_{\mathrm {o} }\\y_{\mathrm {i} }&=My_{\mathrm {o} }\,,\end{aligned}}$$

где М системы — увеличение . Приведенный выше коэффициент пропускания объектной плоскости теперь можно переписать в слегка измененной форме:

$$T(x_{\mathrm {o} },y_{\mathrm {o} })=\iint T(k_{x},k_{y})\exp \left({j\left({k_{x} \over M}Mx_{\mathrm {o} }+{k_{y} \over M}My_{\mathrm {o} }\right)}\right)\,dk_{x}\,dk_{y}$$

где различные члены были просто умножены и разделены в показателе степени на M , увеличение системы. Теперь приведенные выше уравнения можно заменить для координат плоскости изображения координатами плоскости объекта, чтобы получить:

$$T(x_{\mathrm {i} },y_{\mathrm {i} })=\iint T(k_{x},k_{y})\exp \left({j\left({k_{x} \over M}x_{\mathrm {i} }+{k_{y} \over M}y_{\mathrm {i} }\right)}\right)\,dk_{x}\,dk_{y}\,.$$

На этом этапе можно предложить другое преобразование координат (т. е. условие синуса Аббе), связывающее спектр волновых чисел плоскости объекта со спектром волновых чисел плоскости изображения как

$${\begin{aligned}k_{x}^{\mathrm {i} }&={\frac {k_{x}}{M}}\\k_{y}^{\mathrm {i} }&={\frac {k_{y}}{M}}\end{aligned}}$$

чтобы получить окончательное уравнение для поля плоскости изображения в терминах координат плоскости изображения и волновых чисел плоскости изображения как:

$$T(x_{\mathrm {i} },y_{\mathrm {i} })=M^{2}\iint T\left(Mk_{x}^{\mathrm {i} },Mk_{y}^{\mathrm {i} }\right)\exp \left({j\left(k_{x}^{\mathrm {i} }x_{\mathrm {i} }+k_{y}^{\mathrm {i} }y_{\mathrm {i} }\right)}\right)\,dk_{x}^{\mathrm {i} }\,dk_{y}^{\mathrm {i} }$$

Из оптики Фурье известно, что волновые числа могут быть выражены через сферическую систему координат как

$${\begin{aligned}k_{x}&=k\sin \theta \cos \varphi \\k_{y}&=k\sin \theta \sin \varphi \,.\end{aligned}}$$

Если рассматривать спектральную составляющую, для которой $\varphi =0$, то преобразование координат между волновыми числами плоскости объекта и изображения принимает вид

$$k^{\mathrm {i} }\sin \theta ^{\mathrm {i} }=k{\frac {\sin \theta }{M}}\,.$$

Это еще один способ записи условия синуса Аббе, который просто отражает классический принцип неопределенности для пар преобразований Фурье, а именно, что при расширении пространственной протяженности любой функции (на коэффициент увеличения M ) спектральная протяженность сужается на ту же величину. коэффициент M , так что произведение пространственной пропускной способности остается постоянным.

См. также

• Инвариант Лагранжа
• Инвариант Смита-Гельмгольца
• состояние Гершеля