Алгебра Фурье

Алгебры Фурье и родственные им алгебры естественным образом возникают при гармоническом анализе локально компактных групп . Они играют важную роль в теориях дуальности этих групп. Алгебра Фурье–Стилтьеса и преобразование Фурье–Стилтьеса на алгебре Фурье локально компактной группы были введены Пьером Эймаром в 1964 году.

Определение

Неофициальный

Пусть G — локально компактная абелева группа, а М — двойственная группа к G. Тогда $L_{1}({\hat {\mathit {G}}})$ - это пространство всех функций на Ĝ, которые интегрируются относительно меры Хаара на Ĝ, и оно имеет структуру банаховой алгебры , где произведение двух функций является сверткой . Мы определяем $A(G)$ быть множеством преобразований Фурье функций из $L_{1}({\hat {\mathit {G}}})$ , и это замкнутая подалгебра $CB(G)$ , пространство ограниченных непрерывных комплекснозначных функций на G с поточечным умножением. Мы звоним $A(G)$ алгебра Фурье G.

Аналогично пишем $M({\hat {\mathit {G}}})$ для алгебры меры на Ĝ — пространство всех конечных регулярных борелевских мер на Ĝ. Мы определяем $B(G)$ быть множеством преобразований Фурье-Стилтьеса мер в $M({\hat {\mathit {G}}})$ . Это закрытая подалгебра $CB(G)$ , пространство ограниченных непрерывных комплекснозначных функций на G с поточечным умножением. Мы звоним $B(G)$ алгебра Фурье-Стилтьеса группы G. Эквивалентно: $B(G)$ может быть определен как линейная оболочка множества $P(G)$ непрерывных положительно определенных функций на G. ^[1]

С $L_{1}({\hat {\mathit {G}}})$ естественно входит в $M({\hat {\mathit {G}}})$ , и поскольку преобразование Фурье-Стилтьеса $L_{1}({\hat {\mathit {G}}})$ функция — это просто преобразование Фурье этой функции, мы имеем это $A(G)\subset B(G)$ . Фактически, $A(G)$ является закрытым идеалом в $B(G)$ .

Формальный

Позволять $B({\mathit {G}})$ — алгебра Фурье–Стилтьеса и $A({\mathit {G}})$ — алгебра Фурье такая, что локально компактная группа ${\mathit {G}}$ является абелевым . Позволять $M({\widehat {\mathit {G}}})$ — алгебра меры конечных мер на ${\widehat {G}}$ и пусть $L_{1}({\widehat {\mathit {G}}})$ — свертки интегрируемых на функций алгебра ${\widehat {G}}$ , где ${\widehat {\mathit {G}}}$ - группа характеров абелевой группы ${\mathit {G}}$ .

Преобразование Фурье–Стилтьеса конечной меры $\mu$ на ${\widehat {\mathit {G}}}$ это функция ${\widehat {\mu }}$ на ${\mathit {G}}$ определяется

{\widehat {\mu }}(x)=\int _{\widehat {G}}{\overline {X(x)}}\,d\mu (X),\quad x\in G

Пространство $B({\mathit {G}})$ из этих функций является алгеброй относительно точечного умножения, изоморфна алгебре меры $M({\widehat {\mathit {G}}})$ . Ограничено $L_{1}({\widehat {\mathit {G}}})$ , рассматриваемый как подпространство $M({\widehat {\mathit {G}}})$ , преобразование Фурье – Стилтьеса является преобразованием Фурье на $L_{1}({\widehat {\mathit {G}}})$ и ее образ по определению есть алгебра Фурье $A({\mathit {G}})$ . Обобщенная теорема Бохнера утверждает, что измеримая функция на ${\mathit {G}}$ равно почти всюду преобразованию Фурье–Стилтьеса неотрицательной конечной меры на ${\widehat {G}}$ тогда и только тогда, когда оно положительно определено. Таким образом, $B({\mathit {G}})$ можно определить как линейную оболочку множества непрерывных положительно определенных функций на ${\mathit {G}}$ . Это определение остается в силе даже тогда, когда ${\mathit {G}}$ не является абелевым.

Теорема Хелсона – Кахане – Кацнельсона – Рудина

Пусть A(G) — алгебра Фурье компактной группы G. Опираясь на работы Винера , Леви , Гельфанда и Берлинга , в 1959 году Хелсон , Кахане , Кацнельсон и Рудин доказали, что, когда G компактна и абелева, функция f, определенная на замкнутом выпуклом подмножестве плоскости, работает в A(G) тогда и только тогда, когда f вещественно-аналитическая. ^[2] В 1969 году Данкль доказал, что этот результат верен, когда G компактна и содержит бесконечную абелеву подгруппу.

Ссылки

^ Рено, Жан (2001) [1994], «Алгебра Фурье (2)» , Математическая энциклопедия , EMS Press
^ Х. Хелсон; Ж.-П. Кахане; Ю. Кацнельсон; В. Рудин (1959). «Функции, работающие с преобразованиями Фурье» (PDF) . Акта Математика . 102 (1–2): 135–157. дои : 10.1007/bf02559571 . S2CID 121739671 .

«Функции, действующие в алгебре Фурье компактной группы» Чарльз Ф. Данкл, Труды Американского математического общества , Vol. 21, № 3. (июнь 1969 г.), стр. 540–544. Стабильный URL: [1]
«Функции, действующие в алгебре Фурье дискретной группы» Леонеде де Мишель; Паоло М. Соарди, Труды Американского математического общества , Vol. 45, № 3. (сентябрь 1974 г.), стр. 389–392. Стабильный URL: [2]
«Равномерное замыкание алгебр Фурье-Стилтьеса», Чинг Чжоу, Труды Американского математического общества , Vol. 77, № 1. (октябрь 1979 г.), стр. 99–102. Стабильный URL: [3]
«Централизаторы алгебры Фурье аменабельной группы», П. Ф. Рено, Труды Американского математического общества , Vol. 32, № 2 (апрель 1972 г.), стр. 539–542. Стабильный URL: [4]

[1] Рено, Жан (2001) [1994], «Алгебра Фурье (2)» , Математическая энциклопедия , EMS Press

[2] Х. Хелсон; Ж.-П. Кахане; Ю. Кацнельсон; В. Рудин (1959). «Функции, работающие с преобразованиями Фурье» (PDF) . Акта Математика . 102 (1–2): 135–157. дои : 10.1007/bf02559571 . S2CID 121739671 .

[1]

[2]