Абстрактная экономика

В теоретической экономике абстрактная экономика (также называемая обобщенной игрой N-человека ) — это модель, обобщающая как стандартную модель экономики обмена в микроэкономике , так и стандартную модель игры в теории игр . Равновесие в в абстрактной экономике обобщает как равновесие Вальраса микроэкономике, так и равновесие Нэша в теории игр.

Эта концепция была введена Жераром Дебре в 1952 году. Он назвал ее обобщенной игрой N лиц и доказал существование равновесия в этой игре. Позже Дебре и Кеннет Эрроу (переименовавшие эту концепцию в абстрактную экономику) использовали этот результат существования, чтобы доказать существование вальрасовского равновесия (также известного как конкурентное равновесие) в модели Эрроу-Дебре . Позже Шафер и Зонненшайн распространили обе теоремы на иррациональных агентов — агентов с нетранзитивными и неполными предпочтениями.

Абстрактная экономика с функциями полезности

Общий случай

Определение

В модели Дебре абстрактная экономика содержит конечное число N агентов . Для каждого агента $i$, есть:

• Набор выбора $X_{i}$ (подмножество некоторого евклидова пространства $\mathbb {R} ^{l}$). Это представляет собой глобальный набор вариантов, которые может сделать агент.
  • Мы определяем декартово произведение всех наборов выбора как: $X:=\prod _{j=1}^{N}X_{j}$.
• Действие-переписка $A_{i}:X\twoheadrightarrow X_{i}$. Это представляет собой набор возможных действий, которые агент может предпринять, учитывая выбор других агентов.
• Функция полезности: $U_{i}:X\to \mathbb {R}$, представляющий полезность, которую агент получает от каждой комбинации вариантов выбора.

Цель каждого агента — выбрать действие, максимизирующее его полезность.

Равновесие

Равновесие в абстрактной экономике — это вектор выбора, $x=(x_{1},\ldots ,x_{N})=(x_{i},x_{-i})$, такой, что для каждого агента $i$, действие $x_{i}$ максимизирует функцию $U_{i}(\cdot ,x_{-i})$ с учетом ограничения $x_{i}\in A_{i}(x)$:

$U_{i}(x_{i},x_{-i})=\max _{x_{i}'\in A_{i}(x)}U_{i}(x_{i}',x_{-i})$

Эквивалентно для каждого агента $i$, нет никаких действий $x_{i}'\in A_{i}(x)$ такой, что:

$U_{i}(x_{i}',x_{-i})>U_{i}(x_{i},x_{-i})$

Для существования равновесия достаточны следующие условия:

• Каждый набор вариантов $X_{i}$ компактно, непусто и выпукло.
• Каждое действие-соответствие $A_{i}$ непрерывно, а его значения непусты и выпуклы.
• Каждая функция полезности $U_{i}$ является непрерывным в $x$ и квазивогнутый в $x_{i}$.

Условия непрерывности функций полезности можно ослабить следующим образом:

• Каждая функция полезности $U_{i}$ является квазивогнутым в $x_{i}$, верхний полунепрерывный в $x$, и график непрерывен .

Еще одно ослабление, не использующее непрерывность графа:

• Каждая функция полезности $U_{i}$ является квазивогнутым в $x_{i}$, верхний полунепрерывный в $x$, и функция $W_{i}(x_{-i}):=\max _{x_{i}}U_{i}(x_{i},x_{-i})$ [который определен, поскольку $U_{i}$ ] полунепрерывен сверху полунепрерывен снизу .

В доказательствах используется теорема Какутани о неподвижной точке .

Экономика обмена как частный случай

Определение

Экономика обмена – это система с потребителями N-1 и $l$ однородный делимый товар. Для каждого потребителя i существует:

• Набор потребления $Y_{i}$ (подмножество $\mathbb {R} ^{l}$). Это представляет собой набор пакетов, которые может использовать агент.
  • Мы определяем декартово произведение всех потребительских множеств как: $Y:=\prod _{j=1}^{N}Y_{j}$.
• Начальный вектор обеспеченности $w_{i}\in \mathbb {R} _{+}^{l}.$
• Функция полезности $V_{i}:Y_{i}\to \mathbb {R}$. Это отражает предпочтения агента. Обратите внимание, что полезность потребителя зависит только от его собственного потребления, а не от всего распределения.

Определим набор возможных ценовых векторов как: $\Delta :=\{p\in \mathbb {R} _{+}^{l}|\sum _{i=1}^{l}p_{i}=1\}$.

Равновесие

Вальрасовское равновесие (также известное как конкурентное равновесие ) в экономике обмена представляет собой вектор потребительских наборов и вектор цен. $(y_{1},\ldots ,y_{N-1},p)$, такой, что:

• Общее потребление не превышает совокупного запаса: $\sum y_{i}\leq \sum w_{i}$.
• Общие расходы каждого агента не превышают его бюджета: $p\cdot y_{i}\leq p\cdot w_{i}$.
• Для каждого агента $i$, потребление $y_{i}$ максимизирует функцию $V_{i}(\cdot )$ с учетом ограничения $p\cdot y_{i}\leq p\cdot w_{i}$. Т.е., если $V_{i}(z)>V_{i}(y_{i})$, затем $p\cdot z>p\cdot w_{i}\geq p\cdot y_{i}$.

Сведение к абстрактной экономике

Стрела и Дебре представил следующее сведение от экономики обмена к абстрактной экономике.

Учитывая ( N -1)-агентную экономику обмена, мы определяем N -агентную абстрактную экономику, добавляя специального агента, называемого маркет-мейкером или рыночным игроком . «Потребление» этого специального игрока обозначается p . Компоненты абстрактной экономики определяются следующим образом:

• Каждый из первых N -1 агентов имеет множество вариантов выбора $X_{i}=Y_{i}$, функция полезности $U_{i}=V_{i}$, и набор действий, определенный его бюджетом: $A_{i}(y,p)=\{y_{i}\in Y_{i}|py_{i}\leq pw_{i}\}$.
• У игрока на рынке есть выбор $X_{N}:=\Delta$(множество возможных ценовых векторов), функция полезности $U_{N}(y,p):=p\cdot (\sum y_{i}-\sum w_{i})$и набор действий, определенный $A_{N}(y,p)\equiv \Delta$.

Интуитивно участник рынка выбирает цену таким образом, чтобы уравновесить спрос и предложение: для товаров, предложение которых превышает спрос, правый член в $U_{N}(y,p)$отрицательное значение, поэтому участник рынка выбирает низкую цену; для товаров, спрос на которые превышает предложение, этот термин положителен, поэтому участник рынка выбирает высокую цену.

Следующие условия в экономике обмена достаточны, чтобы гарантировать, что абстрактная экономика удовлетворяет условиям равновесия:

• Каждый потребительский набор $Y_{i}$ компактна и выпукла и содержит наполнение $w_{i}$ в его интерьере.
• Каждая функция полезности $V_{i}$ является непрерывным и квазивогнутым .

Более того, следующего дополнительного условия достаточно, чтобы гарантировать, что равновесие $y$ в абстрактной экономике соответствует конкурентному равновесию в экономике обмена:

• Для каждого агента i, $y_{i}$ не является локальным (неограниченным) максимумом $V_{i}$. Например, достаточно предположить, что все агенты не насыщены .

Определение $A_{i}(y,p)=\{y_{i}\in Y_{i}|py_{i}\leq pw_{i}\}$ гарантирует, что общие расходы каждого агента не превышают его бюджета. Определение $U_{i}=V_{i}$ гарантирует, что потребление каждого агента максимизирует его полезность при данном бюджете. И определение $U_{N}(y,p):=p\cdot (\sum y_{i}-\sum w_{i})$ гарантирует, что общее потребление равно общему запасу.

Следовательно, если экономика обмена удовлетворяет трем вышеуказанным условиям, существует конкурентное равновесие.

В доказательстве мы предполагали, что $V_{i}$ зависит только от $y_{i}$, но в этом предположении на самом деле нет необходимости: доказательство остается в силе, даже если полезность зависит от потребления других агентов ( экстерналии ) или от цен.

Абстрактная экономика с соответствиями предпочтений

Общий случай

Определение

В обобщенной модели Шафера и Зонненшайна Для каждого агента $i$ есть:

• Набор выбора $X_{i}$ - как указано выше;
• Соответствие ограничений $A_{i}:X\twoheadrightarrow X_{i}$ - как указано выше;
• Соответствие предпочтений $P_{i}:X\twoheadrightarrow X_{i}$. Для каждой комбинации вариантов выбора других агентов это представляет собой то, какой выбор агент строго предпочитает своему текущему выбору.

Модель Дебре является частным случаем этой модели, в которой соответствия предпочтений определяются на основе функций полезности: $P_{i}(x):=\{z_{i}\in X_{i}:U_{i}(z_{i},x_{-i})>U_{i}(x_{i},x_{-i})\}$. Однако обобщенная модель не требует, чтобы соответствие предпочтений могло быть представлено функцией полезности. В частности, оно не обязательно должно соответствовать транзитивному отношению .

Равновесие

Равновесие , в обобщенной абстрактной экономике — это вектор выбора $x=(x_{1},\ldots ,x_{N})=(x_{i},x_{-i})$, такой, что для каждого агента $i$, $x_{i}\in A_{i}(x)$ и $P_{i}(x)\cap A_{i}(x)=\emptyset$. Концепция равновесия Дебре представляет собой частный случай этого равновесия.

Для существования равновесия в обобщенной абстрактной экономике достаточны следующие условия:

• (а) Каждый набор вариантов выбора $X_{i}$ компактно, непусто и выпукло.
• (б') Каждое действие-соответствие $A_{i}$ является непрерывным.
• (б'') Значения $A_{i}(x)$ непусты и выпуклы для любого x.
• (c') Каждое предпочтение-соответствие $P_{i}$ имеет открытый граф в $X\times X_{i}$ (это форма условия непрерывности).
• (c'') Для каждого $x\in X$, выпуклая оболочка $P_{i}(x)$ не содержит $x_{i}$ (это форма условия нерефлексивности: агент строго не предпочитает выбор самому себе).

Экономика обмена как частный случай

Определение

Мас-Колелл обобщил определение экономики обмена следующим образом. Для каждого потребителя i существует:

• Набор потребления $Y_{i}$ - как указано выше;
• Начальный вектор обеспеченности $w_{i}\in \mathbb {R} _{+}^{l}$ - как указано выше;
• Отношение предпочтения $\prec _{i}$ что может быть эквивалентно представлено соответствием предпочтений $P_{i}:Y_{i}\twoheadrightarrow Y_{i}$, что зависит только от потребляемого пакета: $P_{i}(y_{i}):=\{z_{i}\in Y_{i}|z_{i}\succ _{i}y_{i}\}$. Обратите внимание, что отношение предпочтения не обязательно должно быть полным или транзитивным.

Равновесие

в Конкурентное равновесие такой экономике обмена определяется вектором цен p и распределением y таким образом, что:

• Сумма всех цен равна 1;
• Сумма всех распределений $y_{i}$ это не более чем сумма пожертвований $w_{i}$;
• Для каждого я: $p\cdot y_{i}=p\cdot w_{i}$;
• Для каждого пучка z: если $z\succ _{i}y_{i}$ затем $p\cdot z>p\cdot y_{i}$ (т.е. если агент строго предпочитает z своей доле, то агент не может позволить себе z).

Сведение к абстрактной экономике

Показанное выше сокращение «маркет-мейкера» от экономики обмена Эрроу-Дебре к абстрактной экономике Дебре может быть осуществлено от обобщенной экономики обмена Мас-Колеля к обобщенной абстрактной экономике Шафера-Зонненшайна. Это сокращение означает, что для существования конкурентного равновесия в обобщенной экономике обмена достаточны следующие условия:

• Каждый $\prec _{i}$ является относительно открытым (эквивалентно, каждый $P_{i}$ имеет открытый граф );
• Для каждого пакета x множество $P_{i}(x)$ выпукло и не содержит x (= иррефлексивность). Мас-Колель добавил условие, что множество $P_{i}(x)$ непусто (= ненасыщенность).
• Для каждого я: $w_{i}\gg x_{i}$ для некоторого расслоения x (это означает, что начальный запас находится внутри множеств выбора).

Негативный пример

Следующий пример показывает, что, когда свойство открытого графа не выполняется, равновесие может не существовать.

Существует экономика с двумя товарами, скажем, яблоками и бананами. Есть два агента с одинаковыми способностями (1,1). Они имеют одинаковые предпочтения, основанные на лексикографическом порядке: для каждого вектора $y_{i}=(a_{i},b_{i})$ из $a_{i}$ яблоки и $b_{i}$ бананы, набор $P_{i}(a_{i},b_{i}):=\{(a_{i}',b_{i}')|(a_{i}'>a_{i})~or~(a_{i}'=a_{i}~and~b_{i}'>b_{i})\}$, т. е. каждый агент хочет как можно больше яблок и при этом как можно больше бананов. Обратите внимание, что $P_{i}(a_{i},b_{i})$ представляет собой полное и транзитивное отношение, но не имеет открытого графа.

В этой экономике нет равновесия. Предположим от противного, что равновесие существует. Тогда выделение каждого агента должно быть лексикографически не менее (1,1). Но это означает, что распределения обоих агентов должны быть точно (1,1). Теперь есть два случая: если цена бананов равна 0, то оба агента могут позволить себе набор (1,2), который строго лучше, чем их распределение. Если цена бананов равна некоторому p > 0 (где цена яблок нормирована до 1), то оба агента могут позволить себе набор (1 + p , 0), который строго лучше, чем их распределение. В обоих случаях это не может быть равновесная цена.

Теоремы благосостояния в абстрактной экономике

Фон и Отани изучить распространение теорем благосостояния на обобщенную экономику обмена Мас-Колеля. Они делают следующие предположения:

• Каждый потребительский набор $Y_{i}$ непусто, выпукло, замкнуто и ограничено снизу.
• Соответствие предпочтений непусто: $P_{i}(y_{i})\neq \emptyset$ (это состояние ненасыщения).

– Конкурентное равновесие это вектор цен. $\mathbf {p}$ и распределение $\mathbf {y}$ такой, что:

• Осуществимость: сумма всех ассигнований $y_{i}$ равна сумме пожертвований $w_{i}$ нет ( бесплатного вывоза );
• Бюджет: на каждое i, $p\cdot y_{i}\leq p\cdot w_{i}$;
• Предпочтение: Для каждого i , $P_{i}(y_{i})\cap B_{i}(p,w_{i})=\emptyset$, где $B_{i}(p,w_{i})$ является бюджетным набором i . Другими словами, для каждого пакета $z\in Y_{i}$: если $z\succ _{i}y_{i}$ затем $p\cdot z>p\cdot y_{i}$ (если агент строго предпочитает z своей доле, то агент не может позволить себе z).

Компенсированное равновесие имеет те же условия осуществимости и бюджета, но вместо условия предпочтения оно удовлетворяет:

• Компенсированное предпочтение: для каждого i и для каждого пакета. $z\in Y_{i}$: если $z\succ _{i}y_{i}$ затем $p\cdot z\geq p\cdot y_{i}$.

распределение Оптимальное по Парето , как обычно, представляет собой распределение без улучшения по Парето. Парето -улучшение распределения $\mathbf {y}$ определяется как другое распределение $\mathbf {y'}$ это строго лучше для подмножества $J$ агентов и остается тем же распределением для всех остальных агентов. То есть:

• $\sum _{i\in J}y'_{i}=\sum _{i\in J}y_{i}.$
• $y'_{i}\in P_{i}(y_{i})$ для всех $i\in J$.

Обратите внимание, что это определение более слабое, чем обычное определение Парето-оптимальности (обычное определение не требует, чтобы наборы других агентов оставались прежними - только чтобы их полезность оставалась неизменной).

Фон и Отани доказывают следующие теоремы.

• Любое конкурентное равновесие является оптимальным по Парето.
• При определенных условиях предпочтений для каждого оптимального по Парето распределения существует вектор цен, с которым оно является компенсированным равновесием.

См. также

Дальнейшее обобщение этих концепций равновесия для общей модели без упорядоченных предпочтений можно найти в Barabolla (1985).