ПП (сложность)
Алгоритм ПП | ||
---|---|---|
Отвечать произведено Правильный отвечать | Да | Нет |
Да | > 1/2 | < 1/2 |
Нет | < 1/2 | > 1/2 |
В сложности теории PP — это класс задач решения , решаемых вероятностной машиной Тьюринга за полиномиальное время с вероятностью ошибки менее 1/2 для всех случаев. Аббревиатура PP относится к вероятностному полиномиальному времени. Класс сложности был определен Гиллом в 1977 году. [1]
Если проблема решения находится в PP , то для нее существует алгоритм, позволяющий подбрасывать монеты и принимать случайные решения. Гарантируется, что он будет работать за полиномиальное время. Если ответ ДА, алгоритм ответит ДА с вероятностью более 1/2. Если ответ НЕТ, алгоритм ответит ДА с вероятностью меньше 1/2. Говоря более практичным языком, это класс задач, которые можно решить с любой фиксированной степенью точности, запуская рандомизированный алгоритм с полиномиальным временем достаточное (но ограниченное) количество раз.
Машины Тьюринга, которые являются полиномиально связанными и вероятностными, характеризуются как PPT , что означает вероятностные машины с полиномиальным временем. [2] Эта характеристика машин Тьюринга не требует ограниченной вероятности ошибки. Следовательно, PP — это класс сложности, содержащий все задачи, решаемые машиной PPT с вероятностью ошибки менее 1/2.
Альтернативная характеристика ПП — это набор задач, которые могут быть решены с помощью недетерминированной машины Тьюринга за полиномиальное время, где условием приемлемости является то, что принимается большинство (более половины) вычислительных путей. Из-за этого некоторые авторы предложили альтернативное название Majority-P . [3]
Определение
[ редактировать ]Язык L находится в PP тогда и только тогда, когда существует вероятностная машина Тьюринга M такая, что
- M работает в течение полиномиального времени на всех входах
- Для всех x в L . M выводит 1 с вероятностью строго больше 1/2
- Для всех x, не входящих в L , M выводит 1 с вероятностью строго меньше 1/2.
Альтернативно, PP можно определить, используя только детерминированные машины Тьюринга. Язык L находится в PP тогда и только тогда, когда существуют полином p и детерминированная машина Тьюринга M такие, что
- M работает в течение полиномиального времени на всех входах
- Для всех x в L доля строк y длины p (| x |), удовлетворяющих условию M(x,y) = 1, больше 1/2.
- Для всех x, не входящих в L , доля строк y длины p (| x |), удовлетворяющих условию M(x,y) = 1, меньше 1/2.
В обоих определениях «меньше чем» можно изменить на «меньше или равно» (см. ниже), а порог 1/2 можно заменить любым фиксированным рациональным числом в (0,1) без изменения класса.
ПП против БПП
[ редактировать ]BPP — это подмножество PP ; его можно рассматривать как подмножество, для которого существуют эффективные вероятностные алгоритмы. Разница заключается в допустимой вероятности ошибки: в BPP алгоритм должен давать правильный ответ (ДА или НЕТ) с вероятностью, превышающей некоторую фиксированную константу c > 1/2, например 2/3 или 501/1000. Если это так, то мы можем запустить алгоритм несколько раз и принять большинство голосов, чтобы достичь любой желаемой вероятности правильности меньше 1, используя границу Чернова . Это количество повторений увеличивается, если c становится ближе к 1/2, но оно не зависит от входного размера n .
В более общем смысле, если c может зависеть от размера ввода полиномиально, так как , то мы можем перезапустить алгоритм для и получить большинство голосов. По неравенству Хеффдинга это дает нам алгоритм BPP .
Важно то, что эта константа c не может зависеть от входных данных. С другой стороны, алгоритму PP разрешено делать что-то вроде следующего:
- В случае YES выведите YES с вероятностью 1/2 + 1/2. н , где n — длина ввода.
- В случае NO выведите YES с вероятностью 1/2 − 1/2. н .
Поскольку эти две вероятности экспоненциально близки друг к другу, даже если мы запускаем ее полиномиальное количество раз, очень сложно определить, работаем ли мы с экземпляром ДА или экземпляром НЕТ. Попытка достичь фиксированного желаемого уровня вероятности с использованием большинства голосов и границы Чернова требует количества повторений, экспоненциального по n .
ПП в сравнении с другими классами сложности
[ редактировать ]PP включает в себя BPP , поскольку вероятностные алгоритмы, описанные в определении BPP, образуют подмножество алгоритмов, входящих в определение PP .
ПП также включает в себя НП . Чтобы доказать это, мы покажем, что проблема NP-полной выполнимости принадлежит PP . Рассмотрим вероятностный алгоритм, который по формуле F ( x 1 , x 2 , ..., x n ) выбирает назначение x 1 , x 2 , ..., x n равномерно случайным образом. Затем алгоритм проверяет, делает ли присвоение формулу F. истинной Если да, выводится YES. В противном случае он выводит YES с вероятностью. и НЕТ с вероятностью .
Если формула невыполнима, алгоритм всегда с вероятностью выдаст ДА. . Если существует удовлетворяющее присваивание, оно выдаст ДА с вероятностью не менее (ровно 1/2, если он выбрал неудовлетворительное задание, и 1, если он выбрал удовлетворительное задание, в среднем до некоторого числа, большего 1/2). Таким образом, этот алгоритм ставит выполнимость в PP . Поскольку SAT является NP-полным, и мы можем префикс любого детерминированного полиномиального сокращения «много-единица» к алгоритму PP , NP включен в PP . Поскольку PP закрыт относительно дополнения, он также включает в себя со-NP .
Кроме того, ПП включает в себя МА , [4] что включает в себя два предыдущих включения.
PP также включает BQP , класс задач решения, решаемых эффективными квантовыми компьютерами с полиномиальным временем . Фактически, BQP низкий для PP , а это означает, что машина PP не получает никакой выгоды от возможности мгновенного решения проблем BQP . Класс полиномиального времени на квантовых компьютерах постселекцией PostBQP с равен PP [5] (см. #PostBQP ниже).
Кроме того, PP включает QMA , что включает в себя включения MA и BQP .
Полиномиальная машина Тьюринга с PP- оракулом ( P ПП ) может решить все проблемы в PH , всю полиномиальную иерархию . Этот результат был показан Сейносуке Тодой в 1989 году и известен как теорема Тоды . Это свидетельство того, насколько сложно решать проблемы в ПП . Класс #P в некотором смысле такой же сложный, поскольку P #П = П ПП и поэтому П #П включает PH . также [6]
ПП строго включает единый ТК 0 , класс логических схем с неограниченным разветвлением постоянной глубины и однородными мажоритарными вентилями (генерируемыми алгоритмом с полиномиальным временем). [7]
PP включен в PSPACE . Это можно легко продемонстрировать, продемонстрировав полиномиальный алгоритм для MAJSAT , определенный ниже; просто попробуйте все задания и посчитайте количество удовлетворительных.
ПП не входит в РАЗМЕР (n к ) для любого k по теореме Каннана .
Полные задачи и другие свойства
[ редактировать ]В отличие от BPP , PP — это скорее синтаксический, чем семантический класс. Любая вероятностная машина с полиномиальным временем распознает некоторый язык в PP . Напротив, учитывая описание вероятностной машины с полиномиальным временем, в целом неразрешимо определить, распознает ли она язык в BPP .
У ПП естественно полные проблемы, например у MAJSAT . [1] MAJSAT — это задача решения, в которой задана булева формула F. Ответ должен быть ДА, если более половины всех присваиваний x 1 , x 2 , ..., x n делают F истинным, и НЕТ в противном случае.
Доказательство того, что PP закрыт при дополнении
[ редактировать ]Пусть L — язык в PP . Позволять обозначим дополнение к L . По определению PP существует вероятностный алгоритм A с полиномиальным временем , обладающий свойством, что
Мы утверждаем, что без ограничения общности последнее неравенство всегда строгое; теорему можно вывести из этого утверждения: пусть обозначаем машину, аналогичную A, за исключением того, что принимает, когда А отклоняет, и наоборот. Затем
что подразумевает, что находится в ПП .
Теперь обосновываем наше предположение без ограничения общности. Позволять быть полиномиальной верхней границей времени работы A на входе x . Таким образом, А составляет не более случайные подбрасывания монеты во время ее выполнения. В частности, вероятность принятия является целым кратным и у нас есть:
Определите машину A ′ следующим образом: на входе A x ′ запускает A как подпрограмму и отклоняет ее, если A отклоняет; в противном случае, если A согласится, A ' перевернет монеты и отклоняет, если все они орел, и принимает в противном случае. Затем
Это оправдывает предположение (поскольку A ′ по-прежнему является вероятностным алгоритмом с полиномиальным временем) и завершает доказательство.
Дэвид Руссо доказал в 1985 году докторскую степень. диссертация [8] что ПП замкнут относительно симметричной разности . оставался открытым вопрос о В течение 14 лет ли ПП том, закрыт при объединении и пересечении ; это было решено положительно Бейгелем, Рейнгольдом и Шпильманом. [9] Альтернативные доказательства были позже даны Ли. [10] и Ааронсон (см. #PostBQP ниже).
Другие эквивалентные классы сложности
[ редактировать ]ПостBQP
[ редактировать ]Класс квантовой сложности BQP — это класс задач, решаемых за полиномиальное время на квантовой машине Тьюринга . Добавляя postselection более крупный класс под названием PostBQP , получается . Неформально, постселекция дает компьютеру следующие возможности: всякий раз, когда какое-либо событие (например, измерение кубита в определенном состоянии) имеет ненулевую вероятность, вы можете предположить, что оно имеет место. [11] Скотт Ааронсон показал в 2004 году, что PostBQP равен PP . [5] [12] Такая переформулировка PP упрощает демонстрацию определенных результатов, таких как то, что замкнут при пересечении (и, следовательно, при объединении), что BQP низок PP для PP и что QMA включен в PP .
ПКП
[ редактировать ]PP также равен другому классу квантовой сложности, известному как PQP , который является аналогом BQP с неограниченной ошибкой . Он обозначает класс задач, решаемых квантовым компьютером за полиномиальное время с вероятностью ошибки менее 1/2 для всех случаев. Даже если все амплитуды, используемые для вычисления PQP , взяты из алгебраических чисел, PQP все равно совпадает с PP . [13]
Примечания
[ редактировать ]- ^ Jump up to: а б Гилл, Джон (1977). «Вычислительная сложность вероятностных машин Тьюринга». SIAM Journal по вычислительной технике . 6 (4): 675–695. дои : 10.1137/0206049 .
- ^ Линделл, Иегуда; Кац, Джонатан (2015). Введение в современную криптографию (2-е изд.). Чепмен и Холл/CRC. п. 46. ИСБН 978-1-4665-7027-6 .
- ^ Лэнс Фортноу. Сложность вычислений: среда, 4 сентября 2002 г.: Класс сложности недели: PP. http://weblog.fortnow.com/2002/09/complexity-class-of-week-pp.html
- ↑ Н.К. Верещагин, «О силе ПП».
- ^ Jump up to: а б Ааронсон, Скотт (2005). «Квантовые вычисления, постселекция и вероятностное полиномиальное время». Труды Королевского общества А. 461 (2063): 3473–3482. arXiv : Quant-ph/0412187 . Бибкод : 2005RSPSA.461.3473A . дои : 10.1098/rspa.2005.1546 . S2CID 1770389 .
- ^ Тода, Сейносукэ (1991). «PP так же сложен, как иерархия с полиномиальным временем». SIAM Journal по вычислительной технике . 20 (5): 865–877. дои : 10.1137/0220053 . МР 1115655 .
- ^ Аллендер 1996, цитируется по Бурчику 1999.
- ^ Дэвид Руссо (1985). Структурные свойства классов сложности (кандидатская диссертация). Калифорнийский университет, Санта-Барбара.
- ^ Р. Бейгель, Н. Рейнгольд и Д. А. Спилман, « PP замкнут при пересечении », Труды симпозиума ACM по теории вычислений 1991 , стр. 1–9, 1991.
- ^ Лиде Ли (1993). О счетных функциях (кандидатская диссертация). Чикагский университет.
- ^ Ааронсон, Скотт. «Удивительная сила постселекции» . Проверено 27 июля 2009 г.
- ^ Ааронсон, Скотт (11 января 2004 г.). «Класс сложности недели: ПП» . Блог о вычислительной сложности . Проверено 2 мая 2008 г.
- ^ Ямаками, Томоюки (1999). «Анализ квантовых функций». Межд. Дж. Нашел. Вычислить. Наука . 14 (5): 815–852. arXiv : Quant-ph/9909012 . Бибкод : 1999quant.ph..9012Y . дои : 10.1142/S0129054103002047 . S2CID 3265603 .
Ссылки
[ редактировать ]- Пападимитриу, К. (1994). «глава 11». Вычислительная сложность . Аддисон-Уэсли. .
- Аллендер, Э. (1996). «Заметка о нижних границах равномерной схемы для счетной иерархии». Материалы 2-й Международной конференции по вычислительной технике и комбинаторике (COCOON) . Конспекты лекций по информатике. Том. 1090. Шпрингер-Верлаг. стр. 127–135. .
- Бурчик, Ханс-Йорг; Воллмер, Гериберт (1998). «Кванторы Линдстрема и определимость листового языка». Межд. Дж. Нашел. Вычислить. Наука . 9 (3): 277–294. дои : 10.1142/S0129054198000180 . ЕССС ТР96-005 .