Jump to content

ПП (сложность)

Алгоритм ПП
Отвечать
произведено
Правильный
отвечать
Да Нет
Да > 1/2 < 1/2
Нет < 1/2 > 1/2


Схема рандомизированных классов сложности
PP по отношению к другим классам вероятностной сложности ( ZPP , RP , co-RP, BPP , BQP ), которые обобщают P в рамках PSPACE . Неизвестно, являются ли какие-либо из этих включений строгими.

В сложности теории PP — это класс задач решения , решаемых вероятностной машиной Тьюринга за полиномиальное время с вероятностью ошибки менее 1/2 для всех случаев. Аббревиатура PP относится к вероятностному полиномиальному времени. Класс сложности был определен Гиллом в 1977 году. [1]

Если проблема решения находится в PP , то для нее существует алгоритм, позволяющий подбрасывать монеты и принимать случайные решения. Гарантируется, что он будет работать за полиномиальное время. Если ответ ДА, алгоритм ответит ДА с вероятностью более 1/2. Если ответ НЕТ, алгоритм ответит ДА с вероятностью меньше 1/2. Говоря более практичным языком, это класс задач, которые можно решить с любой фиксированной степенью точности, запуская рандомизированный алгоритм с полиномиальным временем достаточное (но ограниченное) количество раз.

Машины Тьюринга, которые являются полиномиально связанными и вероятностными, характеризуются как PPT , что означает вероятностные машины с полиномиальным временем. [2] Эта характеристика машин Тьюринга не требует ограниченной вероятности ошибки. Следовательно, PP — это класс сложности, содержащий все задачи, решаемые машиной PPT с вероятностью ошибки менее 1/2.

Альтернативная характеристика ПП — это набор задач, которые могут быть решены с помощью недетерминированной машины Тьюринга за полиномиальное время, где условием приемлемости является то, что принимается большинство (более половины) вычислительных путей. Из-за этого некоторые авторы предложили альтернативное название Majority-P . [3]

Определение

[ редактировать ]

Язык L находится в PP тогда и только тогда, когда существует вероятностная машина Тьюринга M такая, что

  • M работает в течение полиномиального времени на всех входах
  • Для всех x в L . M выводит 1 с вероятностью строго больше 1/2
  • Для всех x, не входящих в L , M выводит 1 с вероятностью строго меньше 1/2.

Альтернативно, PP можно определить, используя только детерминированные машины Тьюринга. Язык L находится в PP тогда и только тогда, когда существуют полином p и детерминированная машина Тьюринга M такие, что

  • M работает в течение полиномиального времени на всех входах
  • Для всех x в L доля строк y длины p (| x |), удовлетворяющих условию M(x,y) = 1, больше 1/2.
  • Для всех x, не входящих в L , доля строк y длины p (| x |), удовлетворяющих условию M(x,y) = 1, меньше 1/2.

В обоих определениях «меньше чем» можно изменить на «меньше или равно» (см. ниже), а порог 1/2 можно заменить любым фиксированным рациональным числом в (0,1) без изменения класса.

ПП против БПП

[ редактировать ]

BPP — это подмножество PP ; его можно рассматривать как подмножество, для которого существуют эффективные вероятностные алгоритмы. Разница заключается в допустимой вероятности ошибки: в BPP алгоритм должен давать правильный ответ (ДА или НЕТ) с вероятностью, превышающей некоторую фиксированную константу c > 1/2, например 2/3 или 501/1000. Если это так, то мы можем запустить алгоритм несколько раз и принять большинство голосов, чтобы достичь любой желаемой вероятности правильности меньше 1, используя границу Чернова . Это количество повторений увеличивается, если c становится ближе к 1/2, но оно не зависит от входного размера n .

В более общем смысле, если c может зависеть от размера ввода полиномиально, так как , то мы можем перезапустить алгоритм для и получить большинство голосов. По неравенству Хеффдинга это дает нам алгоритм BPP .

Важно то, что эта константа c не может зависеть от входных данных. С другой стороны, алгоритму PP разрешено делать что-то вроде следующего:

  • В случае YES выведите YES с вероятностью 1/2 + 1/2. н , где n — длина ввода.
  • В случае NO выведите YES с вероятностью 1/2 − 1/2. н .

Поскольку эти две вероятности экспоненциально близки друг к другу, даже если мы запускаем ее полиномиальное количество раз, очень сложно определить, работаем ли мы с экземпляром ДА или экземпляром НЕТ. Попытка достичь фиксированного желаемого уровня вероятности с использованием большинства голосов и границы Чернова требует количества повторений, экспоненциального по n .

ПП в сравнении с другими классами сложности

[ редактировать ]

PP включает в себя BPP , поскольку вероятностные алгоритмы, описанные в определении BPP, образуют подмножество алгоритмов, входящих в определение PP .

ПП также включает в себя НП . Чтобы доказать это, мы покажем, что проблема NP-полной выполнимости принадлежит PP . Рассмотрим вероятностный алгоритм, который по формуле F ( x 1 , x 2 , ..., x n ) выбирает назначение x 1 , x 2 , ..., x n равномерно случайным образом. Затем алгоритм проверяет, делает ли присвоение формулу F. истинной Если да, выводится YES. В противном случае он выводит YES с вероятностью. и НЕТ с вероятностью .

Если формула невыполнима, алгоритм всегда с вероятностью выдаст ДА. . Если существует удовлетворяющее присваивание, оно выдаст ДА с вероятностью не менее (ровно 1/2, если он выбрал неудовлетворительное задание, и 1, если он выбрал удовлетворительное задание, в среднем до некоторого числа, большего 1/2). Таким образом, этот алгоритм ставит выполнимость в PP . Поскольку SAT является NP-полным, и мы можем префикс любого детерминированного полиномиального сокращения «много-единица» к алгоритму PP , NP включен в PP . Поскольку PP закрыт относительно дополнения, он также включает в себя со-NP .

Кроме того, ПП включает в себя МА , [4] что включает в себя два предыдущих включения.

PP также включает BQP , класс задач решения, решаемых эффективными квантовыми компьютерами с полиномиальным временем . Фактически, BQP низкий для PP , а это означает, что машина PP не получает никакой выгоды от возможности мгновенного решения проблем BQP . Класс полиномиального времени на квантовых компьютерах постселекцией PostBQP с равен PP [5] (см. #PostBQP ниже).

Кроме того, PP включает QMA , что включает в себя включения MA и BQP .

Полиномиальная машина Тьюринга с PP- оракулом ( P ПП ) может решить все проблемы в PH , всю полиномиальную иерархию . Этот результат был показан Сейносуке Тодой в 1989 году и известен как теорема Тоды . Это свидетельство того, насколько сложно решать проблемы в ПП . Класс #P в некотором смысле такой же сложный, поскольку P = П ПП и поэтому П включает PH . также [6]

ПП строго включает единый ТК 0 , класс логических схем с неограниченным разветвлением постоянной глубины и однородными мажоритарными вентилями (генерируемыми алгоритмом с полиномиальным временем). [7]

PP включен в PSPACE . Это можно легко продемонстрировать, продемонстрировав полиномиальный алгоритм для MAJSAT , определенный ниже; просто попробуйте все задания и посчитайте количество удовлетворительных.

ПП не входит в РАЗМЕР (n к ) для любого k по теореме Каннана .

Полные задачи и другие свойства

[ редактировать ]

В отличие от BPP , PP — это скорее синтаксический, чем семантический класс. Любая вероятностная машина с полиномиальным временем распознает некоторый язык в PP . Напротив, учитывая описание вероятностной машины с полиномиальным временем, в целом неразрешимо определить, распознает ли она язык в BPP .

У ПП естественно полные проблемы, например у MAJSAT . [1] MAJSAT — это задача решения, в которой задана булева формула F. Ответ должен быть ДА, если более половины всех присваиваний x 1 , x 2 , ..., x n делают F истинным, и НЕТ в противном случае.

Доказательство того, что PP закрыт при дополнении

[ редактировать ]

Пусть L — язык в PP . Позволять обозначим дополнение к L . По определению PP существует вероятностный алгоритм A с полиномиальным временем , обладающий свойством, что

Мы утверждаем, что без ограничения общности последнее неравенство всегда строгое; теорему можно вывести из этого утверждения: пусть обозначаем машину, аналогичную A, за исключением того, что принимает, когда А отклоняет, и наоборот. Затем

что подразумевает, что находится в ПП .

Теперь обосновываем наше предположение без ограничения общности. Позволять быть полиномиальной верхней границей времени работы A на входе x . Таким образом, А составляет не более случайные подбрасывания монеты во время ее выполнения. В частности, вероятность принятия является целым кратным и у нас есть:

Определите машину A ′ следующим образом: на входе A x запускает A как подпрограмму и отклоняет ее, если A отклоняет; в противном случае, если A согласится, A ' перевернет монеты и отклоняет, если все они орел, и принимает в противном случае. Затем

Это оправдывает предположение (поскольку A ′ по-прежнему является вероятностным алгоритмом с полиномиальным временем) и завершает доказательство.

Дэвид Руссо доказал в 1985 году докторскую степень. диссертация [8] что ПП замкнут относительно симметричной разности . оставался открытым вопрос о В течение 14 лет ли ПП том, закрыт при объединении и пересечении ; это было решено положительно Бейгелем, Рейнгольдом и Шпильманом. [9] Альтернативные доказательства были позже даны Ли. [10] и Ааронсон (см. #PostBQP ниже).

Другие эквивалентные классы сложности

[ редактировать ]

Класс квантовой сложности BQP — это класс задач, решаемых за полиномиальное время на квантовой машине Тьюринга . Добавляя postselection более крупный класс под названием PostBQP , получается . Неформально, постселекция дает компьютеру следующие возможности: всякий раз, когда какое-либо событие (например, измерение кубита в определенном состоянии) имеет ненулевую вероятность, вы можете предположить, что оно имеет место. [11] Скотт Ааронсон показал в 2004 году, что PostBQP равен PP . [5] [12] Такая переформулировка PP упрощает демонстрацию определенных результатов, таких как то, что замкнут при пересечении (и, следовательно, при объединении), что BQP низок PP для PP и что QMA включен в PP .

PP также равен другому классу квантовой сложности, известному как PQP , который является аналогом BQP с неограниченной ошибкой . Он обозначает класс задач, решаемых квантовым компьютером за полиномиальное время с вероятностью ошибки менее 1/2 для всех случаев. Даже если все амплитуды, используемые для вычисления PQP , взяты из алгебраических чисел, PQP все равно совпадает с PP . [13]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Jump up to: а б Гилл, Джон (1977). «Вычислительная сложность вероятностных машин Тьюринга». SIAM Journal по вычислительной технике . 6 (4): 675–695. дои : 10.1137/0206049 .
  2. ^ Линделл, Иегуда; Кац, Джонатан (2015). Введение в современную криптографию (2-е изд.). Чепмен и Холл/CRC. п. 46. ​​ИСБН  978-1-4665-7027-6 .
  3. ^ Лэнс Фортноу. Сложность вычислений: среда, 4 сентября 2002 г.: Класс сложности недели: PP. http://weblog.fortnow.com/2002/09/complexity-class-of-week-pp.html
  4. Н.К. Верещагин, «О силе ПП».
  5. ^ Jump up to: а б Ааронсон, Скотт (2005). «Квантовые вычисления, постселекция и вероятностное полиномиальное время». Труды Королевского общества А. 461 (2063): 3473–3482. arXiv : Quant-ph/0412187 . Бибкод : 2005RSPSA.461.3473A . дои : 10.1098/rspa.2005.1546 . S2CID   1770389 .
  6. ^ Тода, Сейносукэ (1991). «PP так же сложен, как иерархия с полиномиальным временем». SIAM Journal по вычислительной технике . 20 (5): 865–877. дои : 10.1137/0220053 . МР   1115655 .
  7. ^ Аллендер 1996, цитируется по Бурчику 1999.
  8. ^ Дэвид Руссо (1985). Структурные свойства классов сложности (кандидатская диссертация). Калифорнийский университет, Санта-Барбара.
  9. ^ Р. Бейгель, Н. Рейнгольд и Д. А. Спилман, « PP замкнут при пересечении », Труды симпозиума ACM по теории вычислений 1991 , стр. 1–9, 1991.
  10. ^ Лиде Ли (1993). О счетных функциях (кандидатская диссертация). Чикагский университет.
  11. ^ Ааронсон, Скотт. «Удивительная сила постселекции» . Проверено 27 июля 2009 г.
  12. ^ Ааронсон, Скотт (11 января 2004 г.). «Класс сложности недели: ПП» . Блог о вычислительной сложности . Проверено 2 мая 2008 г.
  13. ^ Ямаками, Томоюки (1999). «Анализ квантовых функций». Межд. Дж. Нашел. Вычислить. Наука . 14 (5): 815–852. arXiv : Quant-ph/9909012 . Бибкод : 1999quant.ph..9012Y . дои : 10.1142/S0129054103002047 . S2CID   3265603 .
  • Пападимитриу, К. (1994). «глава 11». Вычислительная сложность . Аддисон-Уэсли. .
  • Аллендер, Э. (1996). «Заметка о нижних границах равномерной схемы для счетной иерархии». Материалы 2-й Международной конференции по вычислительной технике и комбинаторике (COCOON) . Конспекты лекций по информатике. Том. 1090. Шпрингер-Верлаг. стр. 127–135. .
  • Бурчик, Ханс-Йорг; Воллмер, Гериберт (1998). «Кванторы Линдстрема и определимость листового языка». Межд. Дж. Нашел. Вычислить. Наука . 9 (3): 277–294. дои : 10.1142/S0129054198000180 . ЕССС   ТР96-005 .
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: d09bf776997abdf9fa5a1311151089f3__1717170900
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/d0/f3/d09bf776997abdf9fa5a1311151089f3.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
PP (complexity) - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)