Алгебра Лукасевича–Мойсила

Алгебры Лукасевича–Мойсила ( LM _n алгебры ) были введены в 1940-х годах Григоре Мойсилом (первоначально под названием алгебр Лукасевича). ^{[ 1 ]}) в надежде дать алгебраическую семантику логики n -значной Лукасевича . Однако в 1956 году Алан Роуз обнаружил, что при n ≥ 5 алгебра Лукасевича – Мойсила не моделирует логику Лукасевича. Точная модель ℵ _0- значной (бесконечно-многозначной) логики Лукасевича – Тарского была предоставлена , Чанга MV-алгеброй введенной в 1958 году. Для аксиоматически более сложных (конечных) n -значных логик Лукасевича подходит алгебры были опубликованы в 1977 году Ревазом Григолией и названы MV _n -алгебры . ^{[ 2 ]} MV _n -алгебры являются подклассом LM _n -алгебр, и включение строгое при n ≥ 5. ^{[ 3 ]} В 1982 году Роберто Чиньоли опубликовал некоторые дополнительные ограничения, которые, добавленные к _n -алгебрам LM, создают правильные модели для n -значной логики Лукасевича; Чиньоли назвал свое открытие собственными алгебрами Лукасевича . ^{[ 4 ]}

Однако Мойсил опубликовал в 1964 году логику, соответствующую его алгебре (в общем случае n ≥ 5), которая теперь называется логикой Мойсила . ^{[ 2 ]} После знакомства с Заде нечеткой логикой в 1968 году Мойсил также представил вариант бесконечно многозначной логики и соответствующие ему LM _θ -алгебры . ^{[ 5 ]} Хотя импликация Лукасевича не может быть определена в алгебре LM _n для n ≥ 5, импликация Гейтинга LM _n может быть определена, т. е. алгебры являются алгебрами Гейтинга ; в результате логика Мойсила также может быть развита (с чисто логической точки зрения) в рамках интуиционистской логики Брауэра . ^{[ 6 ]}

Определение

Алгебра LM _n — это алгебра Де Моргана (понятие, также введенное Мойсилом) с n -1 дополнительными унарными «модальными» операциями: $\nabla _{1},\ldots ,\nabla _{n-1}$ , т.е. алгебра сигнатуры $(A,\vee ,\wedge ,\neg ,\nabla _{j\in J},0,1)$ где J = { 1, 2, ... n -1 }. (В некоторых источниках дополнительные операторы обозначаются как $\nabla _{j\in J}^{n}$ чтобы подчеркнуть, что они зависят от порядка n алгебры. ^{[ 7 ]}) Дополнительные унарные операторы ∇ _j должны удовлетворять следующим аксиомам для всех x , y ∈ A и j , k ∈ J : ^{[ 3 ]}

$\nabla _{j}(x\vee y)=(\nabla _{j}\;x)\vee (\nabla _{j}\;y)$
$\nabla _{j}\;x\vee \neg \nabla _{j}\;x=1$
$\nabla _{j}(\nabla _{k}\;x)=\nabla _{k}\;x$
$\nabla _{j}\neg x=\neg \nabla _{n-j}\;x$
$\nabla _{1}\;x\leq \nabla _{2}\;x\cdots \leq \nabla _{n-1}\;x$
если $\nabla _{j}\;x=\nabla _{j}\;y$ для всех j ∈ J , то x = y .

(Прилагательное «модальный» связано с [в конечном итоге провалившейся] программой Таркси и Лукасевича по аксиоматизации модальной логики с использованием многозначной логики.)

Элементарные свойства

Двойственные некоторым из вышеперечисленных аксиом следуют как свойства: ^{[ 3 ]}

$\nabla _{j}(x\wedge y)=(\nabla _{j}\;x)\wedge (\nabla _{j}\;y)$
$\nabla _{j}\;x\wedge \neg \nabla _{j}\;x=0$

Кроме того: $\nabla _{j}\;0=0$ и $\nabla _{j}\;1=1$ . ^{[ 3 ]} Другими словами, унарные «модальные» операции $\nabla _{j}$ являются решеточными эндоморфизмами . ^{[ 6 ]}

Примеры

Алгебры LM ₂ являются булевыми алгебрами . Каноническая алгебра Лукасевича ${\mathcal {L}}_{n}$ которые имел в виду Моисил, были на съемочной площадке $L_{n}=\{0,\ {\frac {1}{n-1}},{\frac {2}{n-1}},...,{\frac {n-2}{n-1}}\ ,1\}$ с отрицанием $\neg x=1-x$ соединение $x\wedge y=\min\{x,y\}$ и дизъюнкция $x\vee y=\max\{x,y\}$ и унарные «модальные» операторы:

\nabla _{j}\left({\frac {i}{n-1}}\right)=\;{\begin{cases}0&{\mbox{if }}i+j<n\\1&{\mbox{if }}i+j\geq n\\\end{cases}}\quad i\in \{0\}\cup J,\;j\in J.

Если B — булева алгебра, то алгебра над множеством B ^[2] ≝ {( Икс , y ) ∈ B × B | x ≤ y } с решеточными операциями, определенными поточечно и с ¬( x , y ) ≝ (¬ y , ¬ x ) и с унарными «модальными» операторами ∇ ₂ ( x , y ) ≝ ( y , y ) и ∇ ₁ ( Икс , y ) знак равно ¬∇ ₂ ¬( Икс , y ) знак равно ( Икс , Икс ) [полученная аксиомой 4] является трехзначной алгеброй Лукасевича. ^{[ 7 ]}

Представительство

Мойсил доказал, что любую LM _n- алгебру можно вложить в прямое произведение (копий) канонической ${\mathcal {L}}_{n}$ алгебра. Как следствие, каждая алгебра LM _{подпрямым} является произведением алгебры подалгебр n ${\mathcal {L}}_{n}$ . ^{[ 3 ]}

Импликацию Гейтинга можно определить как: ^{[ 6 ]}

x\Rightarrow y\;{\overset {\mathrm {def} }{=}}\;y\vee \bigwedge _{j\in J}(\neg \nabla _{j}\;x)\vee (\nabla _{j}\;y)

Антонио Монтейро показал, что для каждой монадической булевой алгебры можно построить трехвалентную алгебру Лукасевича (взяв определенные классы эквивалентности) и что любая трехвалентная алгебра Лукасевича изоморфна алгебре Лукасевича, полученной таким образом из монадической булевой алгебры. ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]} Синьоли резюмирует важность этого результата следующим образом: «Поскольку Халмош показал, что монадические булевы алгебры являются алгебраическим аналогом классического монадического исчисления первого порядка, Монтейро считал, что представление трехзначных алгебр Лукасевича в монадические булевы алгебры дает доказательство непротиворечивость трехзначной логики Лукасевича относительно классической логики». ^{[ 7 ]}

Ссылки

^ Андрей Попеску, Алгебры отношений Лукасевича-Мойсила , Studia Logica , Vol. 81, No. 2 (ноябрь 2005 г.), стр. 167-189
^ Jump up to: ^а ^б Лавиния Корина Чиунгу (2013). Некоммутативные алгебры многозначной логики . Спрингер. стр. VII–VIII. ISBN 978-3-319-01589-7 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Йоргулеску, А.: Связи между MV _n -алгебрами и n -значными алгебрами Лукасевича-Мойсила — I. Дискретная математика. 181, 155–177 (1998) два : 10.1016/S0012-365X(97)00052-6
^ Лукасевича , Studia Logica, 41, 1982, 3–16, Р. Чиньоли, Собственные n-значные алгебры Лукасевича как S-алгебры n -значных исчислений высказываний дои : 10.1007/BF00373490
^ Джорджеску Г., Юргулеску А., Рудяну С.: « Григоре К. Мойсил (1906–1973) и его школа алгебраической логики ». Международный журнал компьютеров, связи и управления 1: 81–99 (2006).
^ Jump up to: ^а ^б ^с Джорджеску, Г. (2006). «N-значная логика и алгебры Лукасевича – Мойсила». Аксиоматика . 16 (1–2): 123–136. дои : 10.1007/s10516-005-4145-6 . , Теорема 3.6
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Синьоли, Р., «Алгебры многозначной логики Лукасевича. Исторический обзор», в книге С. Агуццоли и др. (ред.), «Алгебраические и теоретико-доказательные аспекты неклассической логики», LNAI 4460, Springer, 2007. , 69-83. дои : 10.1007/978-3-540-75939-3_5
^ Монтейру, Антониу «О симметричных алгебрах Гейтинга». Portugaliae Mathematica 39.1–4 (1980): 1–237. Глава 7. с. 204–206

Дальнейшее чтение

Раймонд Балбес; Филип Двингер (1975). Распределительные решетки . Университет Миссури Пресс. Глава IX. Алгебры де Моргана и алгебры Лукасевича. ISBN 978-0-8262-0163-8 .
Бойческу В., Филипойу А., Джорджеску Г., Рудяну С.: Алгебры Лукасевича-Мойсила. Северная Голландия, Амстердам (1991) ISBN 0080867898
Йоргулеску, А.: Связи между MV _n -алгебрами и n -значными алгебрами Лукасевича – Мойсила — II. Дискретная математика. 202, 113–134 (1999) два : 10.1016/S0012-365X(98)00289-1
Йоргулеску, А.: Связи между MV _n -алгебрами и n -значными Лукасевичем-Моисилом — III. Неопубликованная рукопись
Йоргулеску, А.: Связи между MV _n -алгебрами и n -значными алгебрами Лукасевича – Мойсила — IV. Дж. Универс. Вычислить. наук. 6, 139–154 (2000) два : 10.3217/jucs-006-01-0139
Р. Чиньоли, Алгебры Мойсила порядка n, доктор философии. Диссертация, Национальный университет Юга, Баия-Бланка, 1969 г.
http://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.ndjfl/1093635424

[1] Андрей Попеску, Алгебры отношений Лукасевича-Мойсила , Studia Logica , Vol. 81, No. 2 (ноябрь 2005 г.), стр. 167-189

[Ciungu2013-2] Jump up to: ^а ^б Лавиния Корина Чиунгу (2013). Некоммутативные алгебры многозначной логики . Спрингер. стр. VII–VIII. ISBN 978-3-319-01589-7 .

[iorg1-3] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Йоргулеску, А.: Связи между MV _n -алгебрами и n -значными алгебрами Лукасевича-Мойсила — I. Дискретная математика. 181, 155–177 (1998) два : 10.1016/S0012-365X(97)00052-6

[4] Лукасевича , Studia Logica, 41, 1982, 3–16, Р. Чиньоли, Собственные n-значные алгебры Лукасевича как S-алгебры n -значных исчислений высказываний дои : 10.1007/BF00373490

[5] Джорджеску Г., Юргулеску А., Рудяну С.: « Григоре К. Мойсил (1906–1973) и его школа алгебраической логики ». Международный журнал компьютеров, связи и управления 1: 81–99 (2006).

[Geo-6] Jump up to: ^а ^б ^с Джорджеску, Г. (2006). «N-значная логика и алгебры Лукасевича – Мойсила». Аксиоматика . 16 (1–2): 123–136. дои : 10.1007/s10516-005-4145-6 . , Теорема 3.6

[cign07-7] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Синьоли, Р., «Алгебры многозначной логики Лукасевича. Исторический обзор», в книге С. Агуццоли и др. (ред.), «Алгебраические и теоретико-доказательные аспекты неклассической логики», LNAI 4460, Springer, 2007. , 69-83. дои : 10.1007/978-3-540-75939-3_5

[8] Монтейру, Антониу «О симметричных алгебрах Гейтинга». Portugaliae Mathematica 39.1–4 (1980): 1–237. Глава 7. с. 204–206

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]