Критерий Лоусона

Критерий Лоусона — это показатель качества, используемый в исследованиях ядерного синтеза . Он сравнивает скорость энергии, вырабатываемой в результате реакций термоядерного синтеза в термоядерном топливе, со скоростью потерь энергии в окружающую среду. Когда скорость производства превышает скорость потерь, система будет производить чистую энергию. Если достаточное количество этой энергии улавливается топливом, система становится самоподдерживающейся и, как говорят, воспламеняется .

Эта концепция была впервые разработана Джоном Д. Лоусоном в секретной статье 1955 года. ^[1] который был рассекречен и опубликован в 1957 году. ^[2] В первоначальной формулировке критерий Лоусона дает минимально необходимое значение произведения плотности плазмы (электронов) n _e на « время удержания энергии ». $\tau _{E}$ что приводит к чистой выработке энергии.

что более полезным показателем качества является тройное произведение плотности, времени удержания и температуры плазмы T. Более поздний анализ показал , Тройное произведение также имеет минимально необходимое значение, и к этому значению может относиться название «критерий Лоусона».

8 августа 2021 года исследователи из Национальной установки зажигания Ливерморской национальной лаборатории Лоуренса в Калифорнии подтвердили, что им удалось добиться первого в истории успешного зажигания реакции ядерного синтеза, превосходящего критерии Лоусона в эксперименте. ^[3]^[4]

Энергетический баланс

Центральная концепция критерия Лоусона — исследование энергетического баланса любой термоядерной электростанции, использующей горячую плазму. Это показано ниже:

Полезная мощность = КПД × (Сварка – потери на излучение – потери проводимости)

Полезная мощность — это избыточная мощность сверх той, которая необходима для продолжения процесса на любой термоядерной электростанции.
Эффективность — это то, сколько энергии необходимо для привода устройства и насколько хорошо оно собирает энергию реакций.
Синтез — это скорость энергии, выделяемой в результате реакций синтеза.
Потери излучения — это энергия, теряемая в виде света (включая рентгеновские лучи ), покидающего плазму.
Потери проводимости — это энергия, теряемая при выходе частиц из плазмы, унося энергию.

Лоусон рассчитал скорость термоядерного синтеза, предположив, что термоядерный реактор содержит облако горячей плазмы, которое имеет гауссовую кривую энергий отдельных частиц, распределение Максвелла-Больцмана, характеризующееся температурой плазмы. Основываясь на этом предположении, он оценил первый член (энергию термоядерного синтеза), используя уравнение объемного термоядерного синтеза. ^[5]

Синтез = Численная плотность топлива A × Численная плотность топлива B × Поперечное сечение (температура) × Энергия на реакцию

Термоядерный синтез - это скорость термоядерной энергии, вырабатываемой плазмой.
Численная плотность - это плотность частиц на единицу объема соответствующего топлива (или в некоторых случаях только одного топлива).
Поперечное сечение - это мера вероятности термоядерного процесса, основанная на температуре плазмы.
Энергия реакции — это энергия, выделяющаяся в каждой реакции синтеза.

Это уравнение обычно усредняется по совокупности ионов, имеющих нормальное распределение . Результатом является количество энергии, создаваемой плазмой в любой момент времени.

Затем Лоусон оценил ^[5] радиационные потери, используя следующее уравнение:

$P_{B}=1.4\cdot 10^{-34}\cdot N^{2}\cdot T^{1/2}{\frac {\mathrm {W} }{\mathrm {cm} ^{3}}}$

где N — плотность облака, а T — температура. В своем анализе Лоусон игнорирует потери проводимости. На самом деле это почти невозможно; практически все системы теряют энергию за счет выхода массы из плазмы и уноса ее энергии.

Приравнивая радиационные потери и объемные скорости синтеза, Лоусон оценил минимальную температуру синтеза для реакции дейтерий - тритий (DT).

_{1}^{2}\mathrm {D} +\,_{1}^{3}\mathrm {T} \rightarrow \,_{2}^{4}\mathrm {He} \left(3.5\,\mathrm {MeV} \right)+\,_{0}^{1}\mathrm {n} \left(14.1\,\mathrm {MeV} \right)

быть 30 миллионов градусов (2,6 кэВ), а для реакции дейтерий-дейтерий (ДД)

_{1}^{2}\mathrm {D} +\,_{1}^{2}\mathrm {D} \rightarrow \,_{1}^{3}\mathrm {T} \left(1.0\,\mathrm {MeV} \right)+\,_{1}^{1}\mathrm {p} \left(3.0\,\mathrm {MeV} \right)

составит 150 миллионов градусов (12,9 кэВ). ^[2]^[6]

Расширения в nτ _E

Время заключения $\tau _{E}$ измеряет скорость, с которой система теряет энергию в окружающую среду. Чем выше скорость потери энергии, $P_{\mathrm {loss} }$ , тем короче время удержания энергии. Это плотность энергии $W$ (содержание энергии на единицу объема), деленное на плотность потерь мощности $P_{\mathrm {loss} }$ (скорость потерь энергии на единицу объема):

\tau _{E}={\frac {W}{P_{\mathrm {loss} }}}

Чтобы термоядерный реактор работал в устойчивом состоянии, термоядерная плазма должна поддерживаться при постоянной температуре. Поэтому тепловая энергия должна добавляться с той же скоростью, с которой плазма теряет энергию, чтобы поддерживать условия термоядерного синтеза. Эта энергия может быть получена за счет самих реакций синтеза, в зависимости от типа реакции, или за счет дополнительного нагрева различными методами.

Для иллюстрации здесь будет выведен критерий Лоусона для реакции DT, но тот же принцип можно применить и к другим термоядерным топливам. Также предполагается, что все виды имеют одинаковую температуру, что отсутствуют ионы, кроме ионов топлива (нет примесей и гелиевой золы), и что D и T присутствуют в оптимальной смеси 50-50. ^а Тогда плотность ионов равна плотности электронов, а плотность энергии как электронов, так и ионов вместе определяется выражением

W=3nT

где $T$ температура в электронвольтах (эВ) и $n$ – плотность частиц.

Скорость громкости $f$ (реакций на объем за время) реакций синтеза

f=n_{\mathrm {d} }n_{\mathrm {t} }\langle \sigma v\rangle ={\frac {1}{4}}n^{2}\langle \sigma v\rangle

где $\sigma$ – сечение плавления , $v$ - относительная скорость , а $\langle \rangle$ обозначает среднее по максвелловскому распределению скорости при температуре $T$ .

Объемная скорость нагрева плавлением равна $f$ раз $E_{\mathrm {ch} }$ , энергия заряженных продуктов синтеза (нейтроны не могут помочь нагреть плазму). В случае реакции DT $E_{\mathrm {ch} }=3.5\,\mathrm {MeV}$ .

Критерий Лоусона требует, чтобы нагрев расплава превышал потери:

fE_{\rm {ch}}\geq P_{\rm {loss}}

Замена в известных количествах дает:

{\frac {1}{4}}n^{2}\langle \sigma v\rangle E_{\rm {ch}}\geq {\frac {3nT}{\tau _{E}}}

Перестановка уравнения дает:

n\tau _{\rm {E}}\geq L\equiv {\frac {12T}{E_{\rm {ch}}\langle \sigma v\rangle }}

( 1 )

Количество $T/\langle \sigma v\rangle$ является функцией температуры с абсолютным минимумом. Замена функции на ее минимальное значение обеспечивает абсолютный нижний предел продукта. $n\tau _{E}$ . Это критерий Лоусона.

Для реакции дейтерий - тритий физическая величина составляет не менее

n\tau _{E}\geq 1.5\cdot 10^{20}{\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {m} ^{3}}}

Минимум произведения находится вблизи $T=26\,\mathrm {keV}$ .

Расширение до «тройного продукта»

Еще более полезным показателем качества является «тройное произведение» плотности, температуры и времени удержания nTτ _E . Для большинства концепций удержания, будь то инерционное , зеркальное или тороидальное удержание, плотность и температура могут варьироваться в довольно широком диапазоне, но максимально достижимое давление p является постоянным. В этом случае плотность термоядерной мощности пропорциональна p ²<σ v >/ Т ². Таким образом, максимальная мощность термоядерного синтеза, доступная для данной машины, достигается при температуре T , где <σ v >/ T ² это максимум. Продолжая приведенный выше вывод, легко получить следующее неравенство:

nT\tau _{\rm {E}}\geq {\frac {12}{E_{\rm {ch}}}}\,{\frac {T^{2}}{\langle \sigma v\rangle }}

Количество ${\frac {T^{2}}{\langle \sigma v\rangle }}$ также является функцией температуры с абсолютным минимумом при несколько более низкой температуре, чем ${\frac {T}{\langle \sigma v\rangle }}$ .

Для DT-реакции минимум наблюдается при T = 14 кэВ. Среднее значение <σ v > в этой области температур можно аппроксимировать следующим образом: ^[7]

\left\langle \sigma v\right\rangle =1.1\cdot 10^{-24}T^{2}\;{\frac {{\rm {m}}^{3}}{\rm {s}}}\,{\rm {,}}\quad {\rm {T\,in\,keV}}{\rm {,}}

поэтому минимальное значение тройного произведения при Т = 14 кэВ составляет около

{\begin{matrix}nT\tau _{E}&\geq &{\frac {12\cdot 14^{2}\cdot {\rm {keV}}^{2}}{1.1\cdot 10^{-24}{\frac {{\rm {m}}^{3}}{\rm {s}}}14^{2}\cdot 3500\cdot {\rm {keV}}}}\approx 3\cdot 10^{21}{\mbox{keV s}}/{\mbox{m}}^{3}\\\end{matrix}}(3.5\cdot 10^{28}{\mbox{K s}}/{\mbox{m}}^{3})

Такого числа еще не удалось достичь ни в одном реакторе, хотя последние поколения машин приблизились к этому. JT-60 сообщил 1,53x10 ²¹ кэВ.см ⁻³. ^[8] Например, TFTR достиг плотности и энергетического времени жизни, необходимых для достижения Лоусона при температурах, которые он может создать, но он не может создавать эти температуры одновременно. ИТЭР стремится сделать и то, и другое.

Что касается токамаков , то здесь есть особая мотивация использования тройного продукта. Эмпирически установлено, что время удержания энергии τ _E почти пропорционально n ^1/3/ П ^2/3^{[ нужна ссылка ]}. В зажженной плазме вблизи оптимальной температуры мощность нагрева P равна мощности термоядерного синтеза и, следовательно, пропорциональна n ²Т ². Тройное произведение масштабируется как

{\begin{matrix}nT\tau _{E}&\propto &nT\left(n^{1/3}/P^{2/3}\right)\\&\propto &nT\left(n^{1/3}/\left(n^{2}T^{2}\right)^{2/3}\right)\\&\propto &T^{-1/3}\\\end{matrix}}

Тройное произведение слабо зависит от температуры: T ^-1/3. Это делает тройное произведение адекватной мерой эффективности схемы локализации.

Инерционное удержание

Критерий Лоусона применим как к термоядерному синтезу с инерционным удержанием (ICF), так и к термоядерному синтезу с магнитным удержанием (MCF), но в инерционном случае его удобнее выражать в другой форме. Хорошее приближение для времени инерционного удержания $\tau _{E}$ это время, за которое ион преодолевает расстояние R со своей тепловой скоростью.

v_{th}={\sqrt {\frac {k_{\rm {B}}T}{m_{i}}}}

где m _i обозначает среднюю ионную массу. Время инерционного удержания $\tau _{E}$ таким образом, может быть аппроксимировано как

{\begin{matrix}\tau _{E}&\approx &{\frac {R}{v_{th}}}\\\\&=&{\frac {R}{\sqrt {\frac {k_{\rm {B}}T}{m_{i}}}}}\\\\&=&R\cdot {\sqrt {\frac {m_{i}}{k_{\rm {B}}T}}}{\mbox{ .}}\\\end{matrix}}

Подставив приведенное выше выражение в соотношение ( 1 ), получим

{\begin{matrix}n\tau _{E}&\approx &n\cdot R\cdot {\sqrt {\frac {m_{i}}{k_{B}T}}}\geq {\frac {12}{E_{\rm {ch}}}}\,{\frac {k_{\rm {B}}T}{\langle \sigma v\rangle }}\\\\n\cdot R&\gtrapprox &{\frac {12}{E_{\rm {ch}}}}\,{\frac {\left(k_{\rm {B}}T\right)^{3/2}}{\langle \sigma v\rangle \cdot m_{i}^{1/2}}}\\\\n\cdot R&\gtrapprox &{\frac {\left(k_{\rm {B}}T\right)^{3/2}}{\langle \sigma v\rangle }}{\mbox{ .}}\\\end{matrix}}

Это произведение должно быть больше значения, связанного с минимумом T ^3/2/<σv>. Это же требование традиционно выражается через массовую плотность ρ = < нм _i >:

\rho \cdot R\geq 1\mathrm {g} /\mathrm {cm} ^{2}

Удовлетворение этому критерию при плотности твердого ДТ (0,2 г/см ³) потребовал бы лазерного импульса невероятно большой энергии. Предполагая, что требуемая энергия зависит от массы термоядерной плазмы ( E- _лазер ~ ρR ³ ~ п ⁻²), сжимая топливо до 10 ³ или 10 ⁴ раз плотность твердого тела уменьшит требуемую энергию в 10 раз. ⁶ или 10 ⁸, приведя его в реалистичный диапазон. Со сжатием на 10. ³, плотность в сжатом виде составит 200 г/см. ³, а радиус сжатия может составлять всего 0,05 мм. Радиус топлива до сжатия будет 0,5 мм. Первоначальная гранула будет, возможно, в два раза больше, поскольку большая часть массы будет удалена во время сжатия.

Умножение плотности мощности термоядерного синтеза является хорошим показателем для определения оптимальной температуры для магнитного удержания, но для инерционного удержания, вероятно, более полезным является частичное выгорание топлива. Выгорание должно быть пропорционально удельной скорости реакции ( n ²< σv >), умноженное на время удержания (которое масштабируется как T ^-1/2) деленная на плотность частиц n :

{\begin{matrix}{\mbox{burn-up fraction }}&\propto &n^{2}\langle \sigma v\rangle T^{-1/2}/n\\&\propto &\left(nT\right)\langle \sigma v\rangle /T^{3/2}\\\end{matrix}}

Таким образом, оптимальная температура для инерционного термоядерного синтеза максимизирует <σv>/ T ^3/2, что несколько выше оптимальной температуры магнитного удержания.

Нетепловые системы

Анализ Лоусона основан на скорости синтеза и потери энергии в термализованной плазме. Существует класс термоядерных машин, которые не используют термализованную плазму, а вместо этого напрямую ускоряют отдельные ионы до необходимых энергий. Наиболее известные примеры — мигма , фузор и поливелл .

Применительно к фузору анализ Лоусона используется как аргумент в пользу того, что потери проводимости и излучения являются ключевыми препятствиями на пути достижения полезной мощности. Фузоры используют падение напряжения для ускорения и столкновения ионов, что приводит к термоядерному синтезу. ^[9] Падение напряжения создается проволочными клетками, которые отводят частицы.

Polywell представляют собой усовершенствованную конструкцию этой конструкции, предназначенную для уменьшения потерь проводимости за счет удаления вызывающих их проволочных клеток. ^[10] Несмотря на это, утверждается, что радиация по-прежнему остается серьезным препятствием. ^[11]

См. также

Коэффициент выигрыша энергии термоядерного синтеза ( Q )

Примечания

^a Эти предположения несложно ослабить. Самый сложный вопрос – как определить $n$ когда ион и электроны различаются по плотности и температуре. Учитывая, что это расчет производства и потерь энергии ионами и что любая концепция удержания плазмы должна учитывать силы давления плазмы, представляется целесообразным определить эффективную (электронную) плотность $n$ через (общее) давление $p$ как $n=p/2T_{\mathrm {i} }$ . Фактор $2$ включен, потому что $n$ обычно относится только к плотности электронов, но $p$ здесь имеется в виду общее давление. Учитывая два вида с плотностью ионов $n_{1,2}$ , атомные номера $Z_{1,2}$ , ионная температура $T_{\mathrm {i} }$ и температура электронов $T_{\mathrm {e} }$ , легко показать, что термоядерная мощность максимизируется за счет топливной смеси, определяемой формулой $n_{1}/n_{2}=(1+Z_{2}T_{\mathrm {e} }/T_{\mathrm {i} })/(1+Z_{1}T_{\mathrm {e} }/T_{\mathrm {i} })$ . Значения для $n\tau$ , $nT\tau$ , а плотность мощности необходимо умножить на коэффициент $(1+Z_{1}T_{\mathrm {e} }/T_{\mathrm {i} })\cdot (1+Z_{2}T_{\mathrm {e} }/T_{\mathrm {i} })/4$ . Например, с протонами и бором ( $Z=5$ ) в качестве топлива, еще один фактор $3$ должны быть включены в формулы. С другой стороны, для холодных электронов все формулы необходимо разделить на $4$ (без дополнительного коэффициента для $Z>1$ ).

Ссылки

^ Лоусон, доктор юридических наук (декабрь 1955 г.). Некоторые критерии полезного термоядерного реактора (PDF) (Технический отчет). Научно-исследовательский институт атомной энергии, Харвелл, Беркшир, Великобритания ^{[ мертвая ссылка ]}
^ Перейти обратно: ^а ^б Лоусон, доктор юридических наук (декабрь 1955 г.). «Некоторые критерии энергетического термоядерного реактора». Труды Физического общества, раздел Б. 70 (1): 6–10. Бибкод : 1957ППСБ...70....6Л . дои : 10.1088/0370-1301/70/1/303 .
^ «Ученые достигли самоподдерживающегося ядерного синтеза… но теперь они не могут его повторить» . Научная тревога . 16 августа 2022 г.
^ Абу-Шавареб, Х.; Акри, Р.; Адамс, П.; Адамс, Дж.; Аддис, Б.; Аден, Р.; Адриан, П.; Афеян, Б.Б.; Агглтон, М.; Агаян, Л.; Агирре, А.; Эйкенс, Д.; Акре, Дж.; Альберт, Ф.; Альбрехт, М. (08 августа 2022 г.). «Критерий Лоусона для воспламенения, превышенный в эксперименте по инерционному термоядерному синтезу» . Письма о физических отзывах . 129 (7): 075001. Бибкод : 2022PhRvL.129g5001A . doi : 10.1103/PhysRevLett.129.075001 . hdl : 10044/1/99300 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 36018710 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Спитцер, Лайман; Сигер, Раймонд Дж. (ноябрь 1963 г.). «Физика полностью ионизированных газов» . Американский журнал физики . 31 (11): 890–891. Бибкод : 1963AmJPh..31..890S . дои : 10.1119/1.1969155 . ISSN 0002-9505 .
^ «Преобразователь энергии» . www.phys.ksu.edu . Канзасский государственный университет . Проверено 17 февраля 2023 г.
^ Вессон, Дж. (2004). «Токамаки» . Оксфордская серия инженерных наук (48) (3-е изд.). Оксфорд: Кларендон Пресс.
^ «Тройной продукт термоядерного синтеза в мире, отмеченный в плазме H-моды с высоким βp» . Архивировано из оригинала 6 января 2013 г.
^ Хирш, Роберт Л. (октябрь 1967 г.). «Инерционно-электростатическое удержание ионизированных термоядерных газов» . Журнал прикладной физики . 38 (11): 4522–4534. Бибкод : 1967JAP....38.4522H . дои : 10.1063/1.1709162 . ISSN 0021-8979 .
^ Бассард, Роберт В. (2 октября 2006 г.). «Появление чистого ядерного синтеза: сверхэффективная космическая энергетика и двигательная установка» . 57-й Международный астронавтический конгресс . Рестон, Вириджина: Американский институт аэронавтики и астронавтики. дои : 10.2514/6.iac-06-d2.8.05 . ISBN 978-1-62410-042-0 .
^ Райдер, Тодд Х. (1 апреля 1997 г.). «Фундаментальные ограничения систем плазменного синтеза, не находящихся в термодинамическом равновесии» . Физика плазмы . 4 (4): 1039–1046. Бибкод : 1997PhPl....4.1039R . дои : 10.1063/1.872556 . hdl : 1721.1/11412 . ISSN 1070-664X .

Внешние ссылки

Математический вывод , заархивировано в 2019 году из оригинала.

[1] Лоусон, доктор юридических наук (декабрь 1955 г.). Некоторые критерии полезного термоядерного реактора (PDF) (Технический отчет). Научно-исследовательский институт атомной энергии, Харвелл, Беркшир, Великобритания ^{[ мертвая ссылка ]}

[Lawson-2] Перейти обратно: ^а ^б Лоусон, доктор юридических наук (декабрь 1955 г.). «Некоторые критерии энергетического термоядерного реактора». Труды Физического общества, раздел Б. 70 (1): 6–10. Бибкод : 1957ППСБ...70....6Л . дои : 10.1088/0370-1301/70/1/303 .

[3] «Ученые достигли самоподдерживающегося ядерного синтеза… но теперь они не могут его повторить» . Научная тревога . 16 августа 2022 г.

[4] Абу-Шавареб, Х.; Акри, Р.; Адамс, П.; Адамс, Дж.; Аддис, Б.; Аден, Р.; Адриан, П.; Афеян, Б.Б.; Агглтон, М.; Агаян, Л.; Агирре, А.; Эйкенс, Д.; Акре, Дж.; Альберт, Ф.; Альбрехт, М. (08 августа 2022 г.). «Критерий Лоусона для воспламенения, превышенный в эксперименте по инерционному термоядерному синтезу» . Письма о физических отзывах . 129 (7): 075001. Бибкод : 2022PhRvL.129g5001A . doi : 10.1103/PhysRevLett.129.075001 . hdl : 10044/1/99300 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 36018710 .

[autogenerated1963-5] Перейти обратно: ^а ^б Спитцер, Лайман; Сигер, Раймонд Дж. (ноябрь 1963 г.). «Физика полностью ионизированных газов» . Американский журнал физики . 31 (11): 890–891. Бибкод : 1963AmJPh..31..890S . дои : 10.1119/1.1969155 . ISSN 0002-9505 .

[6] «Преобразователь энергии» . www.phys.ksu.edu . Канзасский государственный университет . Проверено 17 февраля 2023 г.

[7] Вессон, Дж. (2004). «Токамаки» . Оксфордская серия инженерных наук (48) (3-е изд.). Оксфорд: Кларендон Пресс.

[8] «Тройной продукт термоядерного синтеза в мире, отмеченный в плазме H-моды с высоким βp» . Архивировано из оригинала 6 января 2013 г.

[9] Хирш, Роберт Л. (октябрь 1967 г.). «Инерционно-электростатическое удержание ионизированных термоядерных газов» . Журнал прикладной физики . 38 (11): 4522–4534. Бибкод : 1967JAP....38.4522H . дои : 10.1063/1.1709162 . ISSN 0021-8979 .

[10] Бассард, Роберт В. (2 октября 2006 г.). «Появление чистого ядерного синтеза: сверхэффективная космическая энергетика и двигательная установка» . 57-й Международный астронавтический конгресс . Рестон, Вириджина: Американский институт аэронавтики и астронавтики. дои : 10.2514/6.iac-06-d2.8.05 . ISBN 978-1-62410-042-0 .

[11] Райдер, Тодд Х. (1 апреля 1997 г.). «Фундаментальные ограничения систем плазменного синтеза, не находящихся в термодинамическом равновесии» . Физика плазмы . 4 (4): 1039–1046. Бибкод : 1997PhPl....4.1039R . дои : 10.1063/1.872556 . hdl : 1721.1/11412 . ISSN 1070-664X .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]