Аддитивно неразложимый порядковый номер

В теории множеств , разделе математики , аддитивно неразложимый ординал α — это любое порядковое число , отличное от 0, такое, что для любого $\beta ,\gamma <\alpha$ , у нас есть $\beta +\gamma <\alpha .$ Аддитивно неразложимые ординалы были названы гамма-числами . Кантором ^[1]^стр.20 и называются также аддитивными главными числами . Класс аддитивно неразложимых ординалов можно обозначить $\mathbb {H}$ , от немецкого «Hauptzahl». ^[2] Аддитивно неразложимыми ординалами являются именно ординалы вида $\omega ^{\beta }$ для какого-то порядкового номера $\beta$ .

Из непрерывности сложения в правом аргументе получаем, что если $\beta <\alpha$ и α аддитивно неразложима, то $\beta +\alpha =\alpha .$

Очевидно, 1 аддитивно неразложимо, поскольку $0+0<1.$ Нет конечного порядкового номера, кроме $1$ является аддитивно неразложимой. Также, $\omega$ аддитивно неразложимо, поскольку сумма двух конечных ординалов все еще конечна. В более общем смысле, каждый бесконечный начальный ординал (порядковый номер, соответствующий кардинальному числу ) является аддитивно неразложимым.

Класс аддитивно неразложимых чисел замкнут и неограничен. Его перечислительная функция является нормальной и определяется выражением $\omega ^{\alpha }$ .

Производная от $\omega ^{\alpha }$ (в котором перечислены его неподвижные точки) записывается $\varepsilon _{\alpha }$ Ординалы такого вида (т.е. неподвижные точки $\omega ^{\alpha }$ ) называются числами эпсилон . Число $\varepsilon _{0}=\omega ^{\omega ^{\omega ^{\cdots }}}$ следовательно, является первой фиксированной точкой последовательности $\omega ,\omega ^{\omega }\!,\omega ^{\omega ^{\omega }}\!\!,\ldots$

Мультипликативно неразложимый

Аналогичное понятие можно определить и для умножения. Если α больше мультипликативного тождества 1, а из β < α и γ < α следует β · γ < α , то α мультипликативно неразложимо. Конечный ординал 2 мультипликативно неразложим, поскольку 1 · 1 = 1 < 2. Помимо 2, мультипликативно неразложимые ординалы (названные дельта-числами Кантором ^[1]^стр.20) имеют вид $\omega ^{\omega ^{\alpha }}\,$ для любого порядкового номера α . Каждое число эпсилон мультипликативно неразложимо; и каждый мультипликативно неразложимый ординал (кроме 2) является аддитивно неразложимым. Дельта-числа (кроме 2) совпадают с простыми порядковыми номерами , которые являются пределами.

Высшие неразложимые элементы

Экспоненциально неразложимые ординалы равны эпсилон-числам, тетрационно неразложимые ординалы равны дзета-числам (неподвижным точкам $\varepsilon _{\alpha }$ ), и так далее. Поэтому, $\varphi _{\omega }(0)$ это первый порядковый номер, который $\uparrow ^{n}$ -неразложимый для всех $n$ , где $\uparrow$ обозначает обозначение Кнута, направленное вверх . ^{[ нужна ссылка ]}

См. также

Порядковая арифметика

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б А. Рея, « Порядковые числа как законченная абстракция числовых систем » (2017), препринт.
^ В. Полерс, «Краткий курс порядкового анализа», стр. 27–78. Появился в журнале Аксель , Симмонс, Теория доказательств: подборка статей из Лидсской программы теории доказательств 1990 (1992). Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-41413-5

Серпинский, Вацлав (1958), Кардинальные и порядковые числа , Monografie Matematyczne Польской академии наук, том 34, Варшава: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, MR 0095787

Эта статья включает в себя материал из Additively Indecomposable на PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

[Rhea2017-1] Jump up to: ^а ^б А. Рея, « Порядковые числа как законченная абстракция числовых систем » (2017), препринт.

[2] В. Полерс, «Краткий курс порядкового анализа», стр. 27–78. Появился в журнале Аксель , Симмонс, Теория доказательств: подборка статей из Лидсской программы теории доказательств 1990 (1992). Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-41413-5

[1]

[2]