Набор Бесконечность-Борел

В теории множеств — подмножество польского пространства. $X$ является ∞-борелевским, если ономожно получить, начав с открытых подмножеств $X$и трансфинитно повторяя операции дополнения и упорядоченного объединения . Эта концепция обычно рассматривается без предположения аксиомы выбора , которая означает, что ∞-борелевские множества могут не быть замкнутыми при хорошо упорядоченном объединении; см. ниже.

Формальное определение

Определим множество ∞-борелевских кодов $C$ и функция интерпретации $\left\|-\right\|:C\to {\mathcal {P}}(X)$ ниже. ∞ -борелевское множество — это подмножество $X$ который находится в образе функции интерпретации $\left\|-\right\|$.

Множество ∞-борелевских кодов имеет индуктивный тип $C$ генерируется функциями ${\mathtt {open}}:{\mathcal {O}}(X)\to C$, ${\mathtt {comp}}:C\to C$ и ${\mathtt {union}}_{\alpha }:C^{\alpha }\to C$ для каждого $\alpha <\Xi$; функция интерпретации определяется индуктивно как $\left\|{\mathtt {open}}(U)\right\|=U$, $\left\|{\mathtt {comp}}(c)\right\|=X\setminus \left\|c\right\|$ и $\left\|{\mathtt {union}}_{\alpha }({\vec {c}})\right\|=\cup _{\beta <\alpha }\left\|c_{\beta }\right\|$. Здесь $\Xi$ обозначает Хартогса число ${\mathcal {P}}(X)$: достаточно большой порядковый номер, такой, что нет инъекции из $\Xi$ к ${\mathcal {P}}(X)$. Ограничение объединениями длины ниже $\Xi$ не влияет на возможные объединения (как любое объединение длины $\geq \Xi$ можно заменить на один длиной $<\Xi$ путем удаления дубликатов), но гарантирует, что ∞-борелевские коды образуют набор, а не собственный класс .

Более теоретико-множественно это можно сформулировать как определение трансфинитной рекурсии следующим образом:

• Для каждого открытого подмножества $U\subseteq X$, упорядоченная пара $\left\langle 0,U\right\rangle$ – ∞-борелевский код; его интерпретация $U$.
• Если $c$ является ∞-борелевским кодом, то упорядоченная пара $\left\langle 1,c\right\rangle$ также является ∞-борелевским кодом; его интерпретация является дополнением $\left\|c\right\|$, то есть, $X\setminus \left\|c\right\|$.
• Если ${\vec {c}}$ длины α является последовательностью ∞-борелевских кодов для некоторого порядкового номера α < Ξ (т. е. если для любого β<α $c_{\beta }$ является ∞-борелевским кодом), то упорядоченная пара $\left\langle 2,{\vec {c}}\right\rangle$ – ∞-борелевский код; его интерпретация $\bigcup _{\beta <\alpha }\left\|c_{\beta }\right\|$.

Из аксиомы выбора следует, что любое множество может быть хорошо упорядочено и, следовательно, каждое подмножество любого польского пространства является ∞-борелевским. Следовательно, это понятие интересно только в тех контекстах, где аксиома выбора не выполняется (или о ее выполнении не известно). К сожалению, без аксиомы выбора неясно, замкнуты ли ∞-борелевские множества относительно упорядоченного объединения. Это связано с тем, что при наличии хорошо упорядоченного объединения ∞-борелевских множеств каждое из отдельных множеств может иметь множество ∞-борелевских кодов, и может не существовать возможности выбрать один код для каждого из множеств, с помощью которого можно сформировать код профсоюза.

Предположение о том, что каждое множество действительных чисел является ∞-борелевским, является частью AD. ⁺ , расширение аксиомы детерминированности, изученной Вудином .

Неверное определение

Очень заманчиво прочитать неформальное описание в начале этой статьи, утверждающее, что ∞-борелевские множества представляют собой наименьший класс подмножеств $X$ содержащее все открытые множества и замкнутое относительно дополнения и упорядоченного объединения. То есть можно было бы вообще отказаться от ∞-борелевских кодов и попробовать такое определение:

Для каждого ординала α определим трансфинитной рекурсией B _α следующим образом:

1. B ₀ — совокупность всех открытых подмножеств $X$.
2. Для данного четного ординала α B _α+1 является объединением B _α с множеством всех дополнений множеств из B _α .
3. Для данного четного порядкового номера α B _α+2 является множеством всех вполне упорядоченных объединений множеств из B _α+1 .
4. Для данного предельного ординала λ B _λ является объединением всех B _α для α<λ

B _β равно B _Ξ для любого β>Ξ; Тогда B _Ξ будет совокупностью «∞-борелевских множеств».

Это множество явно замкнуто относительно вполне упорядоченных объединений, но без аксиомы выбора его нельзя доказать равным ∞-борелевским множествам (как определено в предыдущем разделе). В частности, этот набор может содержать объединения последовательностей ${\vec {b}}$ ∞-борелевских множеств, для которых невозможно подобрать код для каждого $b_{\beta }$; это замыкание ∞-борелевских множеств относительно всех вполне упорядоченных объединений (и дополнений), даже тех, для которых невозможно сделать выбор кодов.

характеристика

Для подмножеств пространства Бэра или пространства Кантора существует более краткое (хотя и менее прозрачное) альтернативное определение, которое оказывается эквивалентным. Подмножество A пространства Бэра является ∞-борелевским в том случае, если существует набор ординалов S и формула первого порядка φ языка теории множеств такие, что для каждого x в пространстве Бэра

$x\in A\iff L[S,x]\models \phi (S,x)$

где L [ S , x ] — конструктивная вселенная Гёделя, релятивизированная к S и x . При использовании этого определения ∞-борелевский код состоит из множества S и формулы φ , вместе взятых.

Ссылки

• Вудин, В. Хью (1999). Аксиома детерминированности, вынуждающие аксиомы и нестационарный идеал . Серия Де Грюйтера по логике и ее приложениям. Том. 1. Берлин : Вальтер де Грюйтер . п. 618. ИСБН  3-11-015708-Х . ISSN   1438-1893 .