Анаморфное растягивающее преобразование

Анаморфное растягивающее преобразование ( AST ), также называемое искривленным растягивающим преобразованием, сигнала, основанное на физике представляет собой преобразование , которое возникло на основе дисперсионного преобразования Фурье с растяжением во времени . Преобразование можно применять к аналоговым временным сигналам, таким как сигналы связи, или к цифровым пространственным данным, таким как изображения. Преобразование изменяет форму данных таким образом, чтобы выходные данные имели свойства, способствующие сжатию и анализу данных . Изменение формы состоит из искривленного растяжения в области Фурье. Название «Анаморфный» используется из-за метафорической аналогии между операцией деформированного растяжения и деформацией изображений в анаморфозе. и сюрреалистические произведения искусства.

Принцип работы

Анаморфное растягивающее преобразование (AST) — это математическое преобразование, при котором аналоговые или цифровые данные растягиваются и деформируются с учетом контекста, что приводит к неоднородной выборке в области Фурье. Преобразование определяется как:

$AST\left\{{\tilde {E}}_{in}(\omega )\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }{{\tilde {E}}_{in}^{*}(\omega ){\tilde {E}}_{in}(\omega +\omega _{m})e^{j\omega _{m}\left[{\frac {\phi (\omega +\omega _{m})-\phi (\omega )}{\omega _{m}}}\right]}d\omega }$

где ${\textstyle {\tilde {E}}_{in}(\omega )}$ – входной оптический спектр, $\phi (\omega )$ — спектральная фаза, добавляемая AST ( ${\textstyle e^{j\phi (\omega )}}$ являющееся ядром деформации AST), и ${\textstyle \omega }$ и ${\textstyle \omega _{m}}$ обозначают соответственно оптическую и огибающую частоты модуляции. Детализация изменения формы зависит от разреженности и избыточности входного сигнала и может быть получена с помощью математической функции, которая называется «растянутой модуляцией». $(S_{M})$ распределение» или «распределение интенсивности модуляции» (не путать с другой одноименной функцией, используемой в механической диагностике).

$S_{M}\left(\omega _{m},T\right)=\int _{-\infty }^{\infty }{{\tilde {E}}_{in}^{*}(\omega ){\tilde {E}}_{in}(\omega +\omega _{m})e^{j\omega _{m}\left[{\frac {\phi (\omega +\omega _{m})-\phi (\omega )}{\omega _{m}}}\right]}e^{j\omega T}d\omega }$

Растянутое распределение модуляции представляет собой трехмерное представление типа билинейного частотно-временного распределения, похожего, но не такого же, как другие частотно-временные распределения. Можно интерпретировать добавленный векторный термин ${\textstyle e^{j\omega T}}$ чтобы представить влияние временного сдвига на спектральную автокорреляцию сигнала. В результате $S_{M}$ Распределение можно использовать, чтобы показать влияние спектральной фазы AST. $\phi (\omega )$ от временной длительности и полосы пропускания огибающей интенсивности выходного сигнала, что полезно при визуализации произведения ширины полосы пропускания сигнала.

Требование разреженности

AST применяет индивидуальную групповую дисперсию к различным спектральным характеристикам. Сопоставляя дисперсию групповой задержки со спектром конкретного интересующего сигнала, он выполняет преобразование частоты во время в индивидуальном порядке. Богатые информацией части спектра растянуты во времени сильнее, чем редкие области спектра, что упрощает их захват с помощью аналого-цифрового преобразователя (АЦП) реального времени, аналогично методологии, используемой в АЦП с растяжением во времени технологии . Это свойство получило название «самоадаптивное растяжение». Поскольку операция специфична для спектра сигнала, она не требует знаний о мгновенном поведении сигнала во временной области. Следовательно, никакого адаптивного управления в реальном времени не требуется. Параметры AST разрабатываются с использованием статистических спектральных (не мгновенных) свойств семейства сигналов, представляющего интерес в целевом приложении. После того, как параметры разработаны, им не нужно реагировать на мгновенное значение сигнала. Получающаяся в результате неравномерная выборка, когда богатые информацией части сигнала дискретизируются с более высокой частотой, чем разреженные области, может быть использована для сжатия данных. Как и любой другой метод сжатия данных, максимальное сжатие, которого можно достичь с помощью AST, зависит от сигнала.

Ограничения и проблемы

Точность восстановления и характер потерь этого метода сжатия были проанализированы ранее. Система изменяет спектрально-временную структуру сигнала таким образом, что почти вся энергия сигнала находится в пределах полосы пропускания дигитайзера системы сбора данных, работающего в режиме реального времени. Из-за ограниченной полосы пропускания и ограниченного разрешения дигитайзера, измеряемого его эффективным числом бит (ENOB), реконструкция никогда не будет идеальной, и, следовательно, это метод сжатия с потерями . По этой причине на практике можно добиться лишь умеренного сжатия.

Альтернативно, процесс реконструкции может быть значительно упрощен, если требуемая информация кодируется в спектральной огибающей входного сигнала вместо временной огибающей. В таком сценарии истинный выходной сигнал можно восстановить, просто устранив искажение измеренного выходного сигнала с учетом спроектированного ядра деформации. Это было достигнуто экспериментально при оптическом сжатии изображений.

Цифровая реализация

В цифровой реализации AST (DAST), которая выполняется в 2D и применяется к цифровым изображениям, соответствующим образом разработанное ядро ​​деформации растягивает входные данные таким образом, что уменьшается общая пространственная полоса пропускания и, следовательно, требования к выборке. Предыдущее уравнение для AST можно переписать в дискретной форме для DAST следующим образом: ${\breve {B}}[n,m]=\left|\sum _{k_{1},k_{2}=-\infty }^{\infty }K\left[n-k_{1},m-k_{2}\right]\cdot B\left[k_{1},k_{2}\right]\right|^{N}$,

где ${\textstyle K[n,m]=e^{j\phi [n,m]}}$ это цифровая версия ядра варпа. Как и в случае с одномерными временными сигналами, искаженный сигнал может затем дискретизироваться с более низкой скоростью, чем это было возможно ранее с наивной равномерной понижающей дискретизацией. Это свойство, известное как «выборочное растяжение по функциям», можно использовать для сжатия цифровых изображений. В DAST есть две проблемы: (1) реконструкция изображения и (2) разработка ядра деформации. Деформированное отображение обычно выполняется в частотной области. Реконструкция (обратное отображение) пространственного изображения с помощью преобразования Фурье требует знания фазы в дополнение к амплитуде искаженного изображения. В оригинальном АСТ и документы DAST, Предполагалось, что идеальное фазовое восстановление демонстрирует полезное влияние трансформации деформации. Однако, как упоминалось выше, также было показано, что восстановление фазы и реконструкция сигнала зависят от отношения сигнал/шум (SNR). Конечное соотношение сигнал/шум поставит под угрозу качество восстановления фазы и сжатия данных. Из-за этой проблемы практическая реализация анаморфного сжатия данных пока не достигнута. Что касается задачи поиска правильного ядра, недавно был опубликован алгоритм.

Подобно упомянутому выше упрощенному подходу реконструкции, недавно сообщалось также о цифровой реализации сжатия изображений, в которой используется прямое искажение. В этом альтернативном методе сжатия данных богатые информацией части данных расширяются в процессе, который имитирует эффект дисперсии групповой скорости на временные сигналы. С помощью этой операции кодирования данные можно субдискретизировать с более низкой скоростью, чем без нее, даже с учетом накладных расходов при передаче информации о деформации. В отличие от предыдущей реализации сжатия с искривленным растяжением, здесь декодирование может выполняться без необходимости восстановления фазы.

Связь с преобразованием фазового растяжения

Преобразование фазового растяжения или PST — это вычислительный подход к обработке сигналов и изображений. Одна из его утилит предназначена для обнаружения и классификации функций. И преобразование фазового растяжения, и AST преобразуют изображение, имитируя распространение через дифракционную среду с специально разработанными свойствами 3D-дисперсии (показателем преломления). Разница между двумя математическими операциями заключается в том, что AST использует величину комплексной амплитуды после преобразования, а преобразование растяжения фазы использует фазу комплексной амплитуды после преобразования. Кроме того, детали ядра фильтра в обоих случаях различны.

Приложения

Сжатие изображения

Анаморфное (искажённое) растягивающее преобразование — это основанная на физике математическая операция, которая уменьшает полосу пропускания сигнала без пропорционального увеличения размера сигнала, тем самым обеспечивая сжатие продукта пространственной полосы пропускания. Его цифровая реализация имитирует физический эффект за счет неравномерного распределения плотности пикселей. Эту операцию можно использовать в качестве операции предварительной обработки, которая может улучшить традиционные методы сжатия изображения.

Сигналы во временной области

Это преобразование с потерями может позволить захватывать и оцифровывать сигналы, скорость которых превышает скорость датчика и дигитайзера, а также минимизировать объем данных, генерируемых в процессе. Преобразование приводит к изменению формы сигнала таким образом, что резкие элементы растягиваются (в области Фурье) сильнее, чем грубые элементы. При последующей равномерной выборке это приводит к тому, что больше цифровых выборок выделяется для резких спектральных характеристик, где они необходимы больше всего, и меньше - для редких частей спектра, где они будут избыточными. Точность реконструкции зависит от соотношения сигнал/шум и никогда не будет идеальной.

См. также

• Фазовое растягивающее преобразование