Алгебры суперсимметрии в 1 + 1 измерениях

Двумерное пространство Минковского , то есть плоское пространство с одним временным и одним пространственным измерением, имеет двумерную группу Пуанкаре IO(1,1) в качестве группы симметрии . Соответствующая алгебра Ли называется алгеброй Пуанкаре . Эту алгебру можно расширить до алгебры суперсимметрии , которая представляет собой $\mathbb {Z} _{2}$-градуированная супералгебра Ли . Наиболее распространенные способы сделать это обсуждаются ниже.

N =(2,2) алгебра

Пусть алгебра Ли группы IO(1,1) порождается следующими генераторами:

• $H=P_{0}$ является генератором перевода времени,
• $P=P_{1}$ является генератором пространственного перевода,
• $M=M_{01}$ является генератором повышений Лоренца .

О коммутаторах между этими генераторами см. «Алгебра Пуанкаре» .

The ${\mathcal {N}}=(2,2)$ алгебра суперсимметрии над этим пространством является суперсимметричным расширением этой алгебры Ли с четырьмя дополнительными образующими ( суперзарядами ) $Q_{+},\,Q_{-},\,{\overline {Q}}_{+},\,{\overline {Q}}_{-}$, которые являются нечетными элементами супералгебры Ли. При преобразованиях Лоренца генераторы $Q_{+}$ и ${\overline {Q}}_{+}$ преобразуются как левые спиноры Вейля , а $Q_{-}$ и ${\overline {Q}}_{-}$ преобразуются как правые спиноры Вейля. Алгебра задается алгеброй Пуанкаре плюс

${\begin{aligned}&{\begin{aligned}&Q_{+}^{2}=Q_{-}^{2}={\overline {Q}}_{+}^{2}={\overline {Q}}_{-}^{2}=0,\\&\{Q_{\pm },{\overline {Q}}_{\pm }\}=H\pm P,\\\end{aligned}}\\&{\begin{aligned}&\{{\overline {Q}}_{+},{\overline {Q}}_{-}\}=Z,&&\{Q_{+},Q_{-}\}=Z^{*},\\&\{Q_{-},{\overline {Q}}_{+}\}={\tilde {Z}},&&\{Q_{+},{\overline {Q}}_{-}\}={\tilde {Z}}^{*},\\&{[iM,Q_{\pm }]}=\mp Q_{\pm },&&{[iM,{\overline {Q}}_{\pm }]}=\mp {\overline {Q}}_{\pm },\end{aligned}}\end{aligned}}$

где все оставшиеся коммутаторы исчезают, и $Z$ и ${\tilde {Z}}$ являются комплексными центральными зарядами . Надбавки связаны через $Q_{\pm }^{\dagger }={\overline {Q}}_{\pm }$. $H$, $P$, и $M$ являются эрмитовыми .

Подалгебры N =(2,2) алгебры

N = ( =(0,2) и N 2,0) Подалгебры

The ${\mathcal {N}}=(0,2)$ подалгебра получается из ${\mathcal {N}}=(2,2)$ алгебра путем удаления образующих $Q_{-}$ и ${\overline {Q}}_{-}$. Таким образом, его антикоммутационные соотношения задаются формулой

${\begin{aligned}&Q_{+}^{2}={\overline {Q}}_{+}^{2}=0,\\&\{Q_{+},{\overline {Q}}_{+}\}=H+P\\\end{aligned}}$

плюс приведенные выше коммутационные соотношения, которые не включают $Q_{-}$ или ${\overline {Q}}_{-}$. Оба генератора являются левыми спинорами Вейля.

Аналогичным образом, ${\mathcal {N}}=(2,0)$ подалгебра получается удалением $Q_{+}$ и ${\overline {Q}}_{+}$ и выполняет

${\begin{aligned}&Q_{-}^{2}={\overline {Q}}_{-}^{2}=0,\\&\{Q_{-},{\overline {Q}}_{-}\}=H-P.\\\end{aligned}}$

Оба генератора наддува правосторонние.

N = (1,1) Подалгебра

The ${\mathcal {N}}=(1,1)$ подалгебра порождается двумя генераторами $Q_{+}^{1}$ и $Q_{-}^{1}$ данный

${\begin{aligned}Q_{\pm }^{1}=e^{i\nu _{\pm }}Q_{\pm }+e^{-i\nu _{\pm }}{\overline {Q}}_{\pm }\end{aligned}}$для двух действительных чисел $\nu _{+}$и $\nu _{-}$.

По определению оба суперзаряда реальны, т.е. $(Q_{\pm }^{1})^{\dagger }=Q_{\pm }^{1}$. они преобразуются как спиноры Майораны-Вейля При преобразованиях Лоренца . Их антикоммутационные соотношения имеют вид

${\begin{aligned}&\{Q_{\pm }^{1},Q_{\pm }^{1}\}=2(H\pm P),\\&\{Q_{+}^{1},Q_{-}^{1}\}=Z^{1},\end{aligned}}$

где $Z^{1}$ это настоящее центральное обвинение.

N = (0,1) и N =(1,0) Подалгебры

Эти алгебры можно получить из ${\mathcal {N}}=(1,1)$ подалгебра удалением $Q_{-}^{1}$ соотв. $Q_{+}^{1}$от генераторов.

См. также

• Суперсимметрия
• Супер-Алгебра Пуанкаре (в измерениях 1+3)

Ссылки

• К. Схоутенс, Суперсимметрия и факторизованное рассеяние, Nucl.Phys. Б344, 665–695, 1990 г.
• Т. Дж. Холловуд, Э. Маврикис, Суперсимметричный бутстрап N = 1 и алгебры Ли, Nucl. Физ. B484, 631–652, 1997, arXiv:hep-th/9606116