Поток Тейлора – Куэтта

Настройка системы Тейлора – Куэтта

В гидродинамике поток Тейлора – Куэтта состоит из вязкой жидкости, заключенной в зазоре между двумя вращающимися цилиндрами. При малых угловых скоростях, измеряемых числом Рейнольдса Re , течение является стационарным и чисто азимутальным . Это основное состояние известно как круговое течение Куэтта , в честь Мориса Мари Альфреда Куэтта , который использовал это экспериментальное устройство в качестве средства измерения вязкости . Сэр Джеффри Ингрэм Тейлор исследовал стабильность течения Куэтта в новаторской статье. Статья Тейлора стала краеугольным камнем в развитии теории гидродинамической устойчивости и продемонстрировала, что условие прилипания , которое в то время оспаривалось научным сообществом, было правильным граничным условием для вязких течений на твердой границе.

Тейлор показал, что когда угловая скорость внутреннего цилиндра увеличивается выше определенного порога, течение Куэтта становится неустойчивым и возникает вторичное стационарное состояние, характеризующееся осесимметричными тороидальными вихрями, известное как вихревое течение Тейлора . В дальнейшем, при увеличении угловой скорости цилиндра, система претерпевает развитие неустойчивостей, которые приводят к состояниям с большей пространственно-временной сложностью, причем следующее состояние называется волновым вихревым течением . Если два цилиндра вращаются в противоположные стороны, спиральное вихревое течение возникает . За пределами определенного числа Рейнольдса возникает турбулентность .

Круговой поток Куэтта имеет широкое применение: от опреснения до магнитогидродинамики , а также вискозиметрического анализа. На протяжении многих лет различные режимы потока были классифицированы, включая закрученные вихри Тейлора и волнистые границы оттока. Это хорошо изученный и задокументированный поток в гидродинамике.

Описание потока

Простое течение Тейлора – Куэтта представляет собой устойчивый поток, возникающий между двумя вращающимися коаксиальными цилиндрами бесконечной длины. Поскольку длина цилиндров бесконечно велика, в установившемся состоянии поток по существу однонаправленный. Если внутренний цилиндр радиусом $R_{1}$ вращается с постоянной угловой скоростью $\Omega _{1}$ и внешний цилиндр радиусом $R_{2}$ вращается с постоянной угловой скоростью $\Omega _{2}$ как показано на рисунке, то азимутальная составляющая скорости определяется выражением

$v_{\theta }=Ar+{\frac {B}{r}},\quad A=\Omega _{1}{\frac {\mu -\eta ^{2}}{1-\eta ^{2}}},\quad B=\Omega _{1}R_{1}^{2}{\frac {1-\mu }{1-\eta ^{2}}}$

где

$\mu ={\frac {\Omega _{2}}{\Omega _{1}}},\quad \eta ={\frac {R_{1}}{R_{2}}}.$

Критерий Рэлея

Лорд Рэлей изучал устойчивость задачи с невязким предположением, т. е. с возмущающими уравнениями Эйлера . Критерий утверждает, что при отсутствии вязкости необходимое и достаточное условие распределения азимутальной скорости $v_{\theta }(r)$ быть стабильным - это

$\Phi \equiv {\frac {1}{r^{3}}}{\frac {d}{dr}}(rv_{\theta })^{2}\geq 0$

повсюду в интервале; и, кроме того, что распределение неустойчиво, если $(rv_{\theta })^{2}$ должно уменьшаться в любом месте интервала. С $|rv_{\theta }|$ представляет собой угловой момент на единицу массы жидкого элемента вокруг оси вращения, альтернативный способ формулировки критерия таков: расслоение углового момента вокруг оси стабильно тогда и только тогда, когда оно монотонно увеличивается наружу.

Применение этого критерия к потоку Тейлора-Куэтта показывает, что поток устойчив, если $\mu >\eta ^{2}$, т. е. для устойчивости внешний цилиндр должен вращаться (в том же смысле) с угловой скоростью, большей, чем $\eta ^{2}$- раз больше, чем у внутреннего цилиндра. Критерий Рэлея нарушен ( $\Phi <0$) по всей жидкости, когда $0<\mu <\eta ^{2}$. С другой стороны, когда цилиндры вращаются в противоположные стороны, т. е. когда $\mu <0$, критерий Рэлея нарушается только во внутренней области, т. е. $\Phi (r)<0$ для $\eta <r/R_{2}<\eta _{0}$ где $\eta _{0}=\eta [(1+|\mu |)/(\eta ^{2}+|\mu |)]^{1/2}$.

критерий Тейлора

В своей плодотворной работе Дж. Тэйлор нашел критерий неустойчивости при наличии вязких сил как экспериментально, так и теоретически. В целом обнаружено, что вязкие силы откладывают наступление нестабильности, предсказываемой критерием Рэлея. Устойчивость характеризуется тремя параметрами, а именно: $\eta$, $\mu$ и число Тейлора

$\mathrm {Ta} ={\frac {4\Omega _{1}^{2}R_{1}^{4}}{\nu ^{2}}}{\frac {(1-\mu )(1-\mu /\eta ^{2})}{(1-\eta ^{2})^{2}}}.$

Первый результат относится к тому, что течение устойчиво при $\mu >\eta ^{2}$, что соответствует критерию Рэлея. Однако существуют и устойчивые случаи в определенном параметрическом диапазоне для $\mu <\eta ^{2}$.

Тейлор получил явный критерий узкого зазора, в котором кольцевой зазор $R_{2}-R_{1}$ мал по сравнению со средним радиусом $(R_{1}+R_{2})/2$или, другими словами, $1-\eta \ll (1+\eta )/2\approx 1$. Лучшее определение числа Тейлора в приближении тонкой щели:

$\mathrm {Ta} =-{\frac {2A\Omega _{1}R_{2}^{4}}{\nu ^{2}}}(1-\eta )^{4}(1+\mu ).$

Было обнаружено, что с точки зрения этого числа Тейлора критическим условием для однонаправленного вращения является

$\mathrm {Ta} _{c}=1708,\quad 0\leq \mu \leq 1.$

Как $\mu \rightarrow 1$, критическое число Тейлора определяется выражением

$\mathrm {Ta} _{c}=1707.76\left[1-0.00761\left({\frac {1-\mu }{1+\mu }}\right)^{2}\right].$

Тейлор вихрь

Линии тока, показывающие вихри Тейлора – Куэтта в радиально-вертикальной плоскости, при Re = 950.

Вихри Тейлора (также названные в честь сэра Джеффри Ингрэма Тейлора ) представляют собой вихри, образующиеся во вращающемся потоке Тейлора – Куэтта, когда число Тейлора ( $\mathrm {Ta}$) потока превышает критическое значение $\mathrm {Ta_{c}}$.

Для потока, в котором

$\mathrm {Ta} <\mathrm {Ta_{c}} ,$

неустойчивостей в потоке нет, т.е. возмущения потока гасятся вязкими силами, и течение установится. Но, поскольку $\mathrm {Ta}$ превышает $\mathrm {Ta_{c}}$, появляются осесимметричные неустойчивости. Природа этих нестабильностей заключается в обмене нестабильностями (а не в сверхустойчивости), и в результате возникает не турбулентность, а, скорее, возникает устойчивая вторичная картина течения, в которой в потоке образуются большие тороидальные вихри, наложенные один на другой. . Это вихри Тейлора. Хотя гидромеханика исходного потока нестационарна, когда $\mathrm {Ta} >\mathrm {Ta_{c}}$, новый поток, называемый потоком Тейлора-Куэтта , с присутствующими вихрями Тейлора, фактически является устойчивым до тех пор, пока поток не достигнет большого числа Рейнольдса , после чего поток переходит в нестационарный «волнистый вихревой» поток, предположительно указывающий на наличие не- осесимметричные неустойчивости.

Идеализированная математическая задача ставится путем выбора конкретного значения $\mu$, $\eta$, и $\mathrm {Ta}$. Как $\eta \rightarrow 1$ и $\mu \rightarrow 0$ снизу критическое число Тейлора равно $\mathrm {Ta_{c}} \simeq 1708$⁠⁠

Круговой эксперимент Голлаба – Суинни Куэтта

В 1975 году Дж. П. Голлаб и Х. Л. Суинни опубликовали статью о возникновении турбулентности во вращающейся жидкости. В системе течения Тейлора – Куэтта они заметили, что по мере увеличения скорости вращения жидкость расслаивается в кучу «жидких пончиков». При дальнейшем увеличении скорости вращения пончики колеблются, скручиваются и, наконец, становятся турбулентными. Их исследование помогло установить сценарий Рюэля-Такенса в условиях турбулентности. это важный вклад Флориса Такенса и Дэвида Рюэля в понимание того, как гидродинамические системы переходят от стабильного режима течения к турбулентному. Хотя основным, определяющим фактором этого перехода является число Рейнольдса , существуют и другие важные влияющие факторы: является ли поток открытым (это означает, что существует боковой поток вверх и вниз по течению) или закрытым (поток ограничен в поперечном направлении; например, вращается), и ограниченный (под влиянием эффектов стены) или неограниченный (не подверженный влиянию стен). Согласно этой классификации течение Тейлора – Куэтта является примером схемы течения, формирующейся в замкнутой ограниченной системе течения.

Дальнейшее чтение

• Чоссат, П.; Иосс, Г. (1992). Задача Куэтта–Тейлора . Прикладные математические науки. Том. 102. Спрингер. дои : 10.1007/978-1-4612-4300-7 . ISBN  978-0387941547 .
• Кошмидер, Э.Л. (1993). Ячейки Бенара и вихри Тейлора . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-40204-0 .