функция Ляпунова

В теории обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) функции Ляпунова , названные в честь Александра Ляпунова , представляют собой скалярные функции, которые можно использовать для доказательства устойчивости равновесия ОДУ . Функции Ляпунова (также называемые вторым методом Ляпунова для устойчивости) важны для теории устойчивости динамических систем и теории управления . Подобная концепция появляется в теории общих цепей Маркова в пространстве состояний обычно под названием функций Фостера – Ляпунова.

Для некоторых классов ОДУ существование функций Ляпунова является необходимым и достаточным условием устойчивости. Хотя общей методики построения функций Ляпунова для ОДУ не существует, во многих конкретных случаях построение функций Ляпунова известно. Например, для систем с одним состоянием достаточно квадратичных функций, решение конкретного линейного матричного неравенства дает функции Ляпунова для линейных систем, а законы сохранения часто можно использовать для построения функций Ляпунова для физических систем .

Определение

Функция Ляпунова для автономной динамической системы

${\begin{cases}g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}&\\{\dot {y}}=g(y)\end{cases}}$

с точкой равновесия в $y=0$ скалярная функция $V:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ который непрерывен, имеет непрерывные первые производные, строго положителен для $y\neq 0$, и для которого производная по времени ${\dot {V}}=\nabla {V}\cdot g$ не является положительным (эти условия необходимы для некоторой области, содержащей начало координат). (более сильное) условие, согласно которому $-\nabla {V}\cdot g$ является строго положительным для $y\neq 0$ иногда указывается как $-\nabla {V}\cdot g$ является локально положительно определенным , или $\nabla {V}\cdot g$ является локально отрицательно определенным .

Дальнейшее обсуждение терминов, возникающих в определении

Функции Ляпунова возникают при изучении положений равновесия динамических систем. В $\mathbb {R} ^{n},$ произвольную автономную динамическую систему можно записать как

${\dot {y}}=g(y)$

для некоторого гладкого $g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}.$

Точка равновесия – это точка $y^{*}$ такой, что $g\left(y^{*}\right)=0.$ Учитывая точку равновесия, $y^{*},$ всегда существует преобразование координат $x=y-y^{*},$ такой, что:

${\begin{cases}{\dot {x}}={\dot {y}}=g(y)=g\left(x+y^{*}\right)=f(x)\\f(0)=0\end{cases}}$

Таким образом, при изучении точек равновесия достаточно предположить, что точка равновесия наступает при $0$.

По цепному правилу для любой функции $H:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,$ производная по времени функции, вычисляемой по решению динамической системы, равна

${\dot {H}}={\frac {d}{dt}}H(x(t))={\frac {\partial H}{\partial x}}\cdot {\frac {dx}{dt}}=\nabla H\cdot {\dot {x}}=\nabla H\cdot f(x).$

Функция $H$ определяется как локально положительно определенная функция (в смысле динамических систем), если обе $H(0)=0$ и есть окрестность начала координат, ${\mathcal {B}}$, такой, что:

$H(x)>0\quad \forall x\in {\mathcal {B}}\setminus \{0\}.$

Основные теоремы Ляпунова для автономных систем

Основная статья: Устойчивость Ляпунова

Позволять $x^{*}=0$ быть равновесием автономной системы

${\dot {x}}=f(x).$

и используйте обозначение ${\dot {V}}(x)$ для обозначения производной по времени функции-кандидата Ляпунова $V$:

${\dot {V}}(x)={\frac {d}{dt}}V(x(t))={\frac {\partial V}{\partial x}}\cdot {\frac {dx}{dt}}=\nabla V\cdot {\dot {x}}=\nabla V\cdot f(x).$

Локально асимптотически устойчивое равновесие

Если равновесие изолировано, функция-кандидат Ляпунова $V$ локально положительно определена, а производная по времени функции-кандидата Ляпунова локально отрицательно определена:

${\dot {V}}(x)<0\quad \forall x\in {\mathcal {B}}(0)\setminus \{0\},$

для какого-то района ${\mathcal {B}}(0)$ происхождения, то равновесие оказывается локально асимптотически устойчивым.

Стабильное равновесие

Если $V$ — функция Ляпунова, то равновесие устойчиво по Ляпунову . Обратное также верно и было доказано Хосе Луисом Массерой .

Глобально асимптотически устойчивое равновесие

Если функция-кандидат Ляпунова $V$ глобально положительно определена, радиально неограничена , равновесие изолировано, а производная по времени функции-кандидата Ляпунова глобально отрицательно определена:

${\dot {V}}(x)<0\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\},$

тогда доказано, что равновесие глобально асимптотически устойчиво .

Функция Ляпунова-кандидата $V(x)$ является радиально неограниченным, если

$\|x\|\to \infty \Rightarrow V(x)\to \infty .$

(Это также называется нормопринуждением.)

Пример

Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение на $\mathbb {R}$:

${\dot {x}}=-x.$

Учитывая, что $x^{2}$ всегда положительна относительно начала координат, это естественный кандидат на роль функции Ляпунова, которая поможет нам в изучении $x$. Так что пусть $V(x)=x^{2}$ на $\mathbb {R}$. Затем,

${\dot {V}}(x)=V'(x){\dot {x}}=2x\cdot (-x)=-2x^{2}<0.$

Это правильно показывает, что приведенное выше дифференциальное уравнение $x,$ асимптотически устойчива относительно начала координат. Заметим, что, используя того же кандидата Ляпунова, можно показать, что равновесие также глобально асимптотически устойчиво.

См. также

• Ляпуновская устойчивость
• Обыкновенные дифференциальные уравнения
• Функция управления-Ляпунова
• Функция Четаева
• Теорема Фостера
• оптимизация Ляпунова

Ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Функция Ляпунова» . Математический мир .
• Халил, Гонконг (1996). Нелинейные системы . Прентис-Холл, Аппер-Сэддл-Ривер, Нью-Джерси.
• Ла Саль, Жозеф; Лефшец, Соломон (1961). Устойчивость по прямому методу Ляпунова: с приложениями . Нью-Йорк: Академическая пресса.
• Эта статья включает в себя материал из функции Ляпунова на PlanetMath , которая распространяется под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

Внешние ссылки

• Пример определения устойчивости равновесного решения системы ОДУ с функцией Ляпунова