Ляпуновская устойчивость

Эта статья об асимптотической устойчивости нелинейных систем. Чтобы узнать об устойчивости линейных систем, см. экспоненциальную устойчивость .

Могут обсуждаться различные типы устойчивости решений дифференциальных уравнений или разностных уравнений, описывающих динамические системы . Наиболее важным типом является вопрос об устойчивости растворов вблизи точки равновесия. Об этом может говорить теория Александра Ляпунова . Проще говоря, если решения, возникающие вблизи точки равновесия, $x_{e}$ оставайся рядом $x_{e}$ навсегда, тогда $x_{e}$ стабилен ли Ляпунов . Сильнее, если $x_{e}$ устойчив ли Ляпунов и все решения, начинающиеся вблизи $x_{e}$ сходиться к $x_{e}$, затем $x_{e}$ называется асимптотически устойчивым (см. асимптотический анализ ). Понятие экспоненциальной устойчивости гарантирует минимальную скорость затухания, т. е. оценку того, насколько быстро сходятся решения. Идея устойчивости по Ляпунову может быть распространена на бесконечномерные многообразия, где она известна как структурная устойчивость , которая касается поведения различных, но «близких» решений дифференциальных уравнений. Стабильность входа в состояние (ISS) применяет понятия Ляпунова к системам с входами.

История

Устойчивость по Ляпунову названа в честь Александра Михайловича Ляпунова , русского математика, защитившего диссертацию «Общая проблема устойчивости движения» в Харьковском университете в 1892 году. А. М. Ляпунов был пионером успешных попыток разработать глобальный подход к анализу устойчивости нелинейных динамических систем на основе широко распространенного локального метода их линеаризации относительно точек равновесия. Его работа, первоначально опубликованная на русском языке, а затем переведенная на французский, в течение многих лет не привлекала особого внимания. Математическая теория устойчивости движения, созданная А. М. Ляпуновым, значительно опередила время своего внедрения в науку и технику. Более того, Ляпунов сам не применял приложения в этой области, его собственный интерес заключался в стабильности вращающихся жидких масс с астрономическими приложениями. У него не было докторантов, следивших за исследованиями в области устойчивости, а его собственная судьба сложилась ужасно трагично из-за его самоубийства в 1918 году. . На несколько десятилетий теория устойчивости канула в полное забвение. Российско-советский математик и механик Николай Гурьевич Четаев, работавший в Казанском авиационном институте в 1930-е годы, первым осознал невероятную значимость открытия А. М. Ляпунова. Вклад в теорию Н.Г. Четаева. было настолько значительным, что многие математики, физики и инженеры считают его прямым продолжателем Ляпунова и следующим научным потомком в создании и развитии математической теории устойчивости.

Интерес к нему внезапно резко возрос в период холодной войны , когда было обнаружено, что так называемый «Второй метод Ляпунова» (см. ниже) применим к стабильности аэрокосмических систем наведения , которые обычно содержат сильные нелинейности, не поддающиеся лечению другими методами. Тогда и с тех пор появилось большое количество публикаций в литературе по управлению и системам. Совсем недавно концепция показателя Ляпунова (связанная с первым методом Ляпунова для обсуждения устойчивости) получила широкий интерес в связи с теорией хаоса . Методы устойчивости Ляпунова также применялись для поиска равновесных решений в задачах распределения трафика.

Определение систем непрерывного времени

Рассмотрим автономную нелинейную динамическую систему

${\dot {x}}=f(x(t)),\;\;\;\;x(0)=x_{0}$,

где $x(t)\in {\mathcal {D}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ обозначает вектор состояния системы , ${\mathcal {D}}$ открытый набор, содержащий начало координат, и $f:{\mathcal {D}}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ является непрерывным векторным полем на ${\mathcal {D}}$. Предполагать $f$ имеет равновесие в $x_{e}$ так что $f(x_{e})=0$ затем

1. Такое равновесие называется устойчивым по Ляпунову, если для любого $\epsilon >0$ существует $\delta >0$ такое, что если $\|x(0)-x_{e}\|<\delta$ тогда для каждого $t\geq 0$ у нас есть $\|x(t)-x_{e}\|<\epsilon$.
2. Равновесие указанной системы называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и существует $\delta >0$ такое, что если $\|x(0)-x_{e}\|<\delta$ затем $\lim _{t\rightarrow \infty }\|x(t)-x_{e}\|=0$.
3. Равновесие указанной системы называется экспоненциально устойчивым , если оно асимптотически устойчиво и существуют $\alpha >0,~\beta >0,~\delta >0$ такое, что если $\|x(0)-x_{e}\|<\delta$ затем $\|x(t)-x_{e}\|\leq \alpha \|x(0)-x_{e}\|e^{-\beta t}$ для всех $t\geq 0$.

Концептуально значения приведенных выше терминов следующие:

1. Устойчивость равновесия по Ляпунову означает, что решения начинаются «достаточно близко» к равновесию (на расстоянии $\delta$ от него) навсегда остаются «достаточно близкими» (на расстоянии $\epsilon$ из него). Обратите внимание, что это должно быть верно для любого $\epsilon$ что человек может захотеть выбрать.
2. Асимптотическая устойчивость означает, что решения, которые начинаются достаточно близко, не только остаются достаточно близкими, но и в конечном итоге сходятся к равновесию.
3. Экспоненциальная устойчивость означает, что решения не только сходятся, но фактически сходятся быстрее, чем или, по крайней мере, так же быстро, как определенная известная скорость. $\alpha \|x(0)-x_{e}\|e^{-\beta t}$.

Траектория $x(t)=\phi (t)$ является (локально) привлекательным , если

$\|x(t)-\phi (t)\|\rightarrow 0$ как $t\rightarrow \infty$

для всех траекторий $x(t)$ которые начинаются достаточно близко к $\phi (t)$, и глобально привлекательным , если это свойство справедливо для всех траекторий.

То есть, если x принадлежит внутренней части своего устойчивого многообразия , он асимптотически устойчив, если он одновременно притягивает и устойчив. (Есть примеры, показывающие, что из привлекательности не следует асимптотическая устойчивость. Такие примеры легко создать, используя гомоклинические связи .)

Если якобиан динамической системы в состоянии равновесия является матрицей устойчивости (т. е. если действительная часть каждого собственного значения строго отрицательна), то равновесие асимптотически устойчиво.

Система отклонений

Вместо того, чтобы рассматривать устойчивость только вблизи точки равновесия (постоянное решение $x(t)=x_{e}$), можно сформулировать аналогичные определения устойчивости вблизи произвольного решения $x(t)=\phi (t)$. Однако можно свести более общий случай к состоянию равновесия путем замены переменных, называемой «системой отклонений». Определять $y=x-\phi (t)$, подчиняясь дифференциальному уравнению:

${\dot {y}}=f(t,y+\phi (t))-{\dot {\phi }}(t)=g(t,y)$.

Это уже не автономная система, но она имеет гарантированную точку равновесия при $y=0$ устойчивость которого эквивалентна устойчивости исходного решения $x(t)=\phi (t)$.

Второй метод Ляпунова для устойчивости.

Ляпунов в своей оригинальной работе 1892 года предложил два метода доказательства устойчивости . Первый метод представлял решение в виде ряда, сходимость которого затем была доказана в определенных пределах. Второй метод, который теперь называется критерием устойчивости Ляпунова или прямым методом, использует функцию Ляпунова V(x), имеющую аналог потенциальной функции классической динамики. Для системы она вводится следующим образом ${\dot {x}}=f(x)$ иметь точку равновесия в $x=0$. Рассмотрим функцию $V:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ такой, что

• $V(x)=0$ тогда и только тогда, когда $x=0$
• $V(x)>0$ тогда и только тогда, когда $x\neq 0$
• ${\dot {V}}(x)={\frac {d}{dt}}V(x)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}f_{i}(x)=\nabla V\cdot f(x)\leq 0$ для всех значений $x\neq 0$ . Примечание: для асимптотической устойчивости ${\dot {V}}(x)<0$ для $x\neq 0$ требуется.

Тогда V(x) называется функцией Ляпунова и система устойчива по Ляпунову. (Обратите внимание, что $V(0)=0$ требуется; иначе, например $V(x)=1/(1+|x|)$ «докажет» это ${\dot {x}}(t)=x$ локально устойчив.) Для заключения о глобальной устойчивости требуется дополнительное условие, называемое «собственностью» или «радиальной неограниченностью». Глобальная асимптотическая устойчивость (GAS) следует аналогичным образом.

Этот метод анализа легче визуализировать, представляя физическую систему (например, вибрирующую пружину и массу) и рассматривая энергию такой системы. Если система со временем теряет энергию и энергия никогда не восстанавливается, то в конечном итоге система должна остановиться и достичь некоторого окончательного состояния покоя. Это конечное состояние называется аттрактором . Однако найти функцию, которая дает точную энергию физической системы, может быть сложно, а для абстрактных математических, экономических или биологических систем концепция энергии может быть неприменима.

Ляпунов понял, что стабильность можно доказать, не требуя знания истинной физической энергии, при условии, что можно найти функцию Ляпунова , удовлетворяющую вышеуказанным ограничениям.

Определение систем дискретного времени

Определение систем с дискретным временем практически идентично определению систем с непрерывным временем. В приведенном ниже определении это обеспечивается с использованием альтернативного языка, обычно используемого в математических текстах.

Пусть ( X , d ) — метрическое пространство и f : X → X — непрерывная функция . Точка x в X называется устойчивой по Ляпунову , если

$\forall \epsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall y\in X\ \left[d(x,y)<\delta \Rightarrow \forall n\in \mathbf {N} \ d\left(f^{n}(x),f^{n}(y)\right)<\epsilon \right].$

Мы говорим, что x если асимптотически устойчив, он принадлежит внутренней части своего устойчивого множества , т. е . если

$\exists \delta >0\left[d(x,y)<\delta \Rightarrow \lim _{n\to \infty }d\left(f^{n}(x),f^{n}(y)\right)=0\right].$

Устойчивость линейных моделей в пространстве состояний

Линейная пространства состояний модель

${\dot {\textbf {x}}}=A{\textbf {x}}$,

где $A$ — конечная матрица, асимптотически устойчива (фактически экспоненциально устойчива ), если все действительные части собственных значений матрицы $A$ являются отрицательными. Это условие эквивалентно следующему:

$A^{\textsf {T}}M+MA$

отрицательно определен для некоторой положительно определенной матрицы $M=M^{\textsf {T}}$. (Соответствующая функция Ляпунова $V(x)=x^{\textsf {T}}Mx$.)

Соответственно, дискретная по времени линейного пространства состояний модель

${\textbf {x}}_{t+1}=A{\textbf {x}}_{t}$

асимптотически устойчива (фактически экспоненциально устойчива), если все собственные значения $A$ имеют модуль меньше единицы.

Это последнее условие было обобщено на системы с переключением: линейная система с дискретным временем с переключением (управляемая набором матриц $\{A_{1},\dots ,A_{m}\}$)

${{\textbf {x}}_{t+1}}=A_{i_{t}}{\textbf {x}}_{t},\quad A_{i_{t}}\in \{A_{1},\dots ,A_{m}\}$

асимптотически устойчив (фактически экспоненциально устойчив), если совместный спектральный радиус множества $\{A_{1},\dots ,A_{m}\}$ меньше единицы.

Стабильность систем с входами

Система с входами (или органами управления) имеет вид

${\dot {\textbf {x}}}={\textbf {f}}({\textbf {x}},{\textbf {u}})$

где (обычно зависящий от времени) входной сигнал u(t) можно рассматривать как управляющий , внешний входной сигнал , стимул , возмущение или принудительная функция . Было показано что вблизи точки равновесия, устойчивой по Ляпунову, система остается устойчивой при малых возмущениях. Для более крупных входных возмущений исследование таких систем является предметом теории управления и применяется в технике управления . Для систем с входами необходимо количественно оценить влияние входов на стабильность системы. Основными двумя подходами к этому анализу являются стабильность BIBO (для линейных систем ) и стабильность входного состояния (ISS) (для нелинейных систем ).

Пример

В этом примере показана система, в которой функция Ляпунова может использоваться для доказательства устойчивости по Ляпунову, но не может показать асимптотическую устойчивость.Рассмотрим следующее уравнение, основанное на уравнении осциллятора Ван дер Поля с измененным членом трения:

${\ddot {y}}+y-\varepsilon \left({\frac {{\dot {y}}^{3}}{3}}-{\dot {y}}\right)=0.$

Позволять

$x_{1}=y,x_{2}={\dot {y}}$

так что соответствующая система

${\begin{aligned}&{\dot {x}}_{1}=x_{2},\\&{\dot {x}}_{2}=-x_{1}+\varepsilon \left({\frac {x_{2}^{3}}{3}}-{x_{2}}\right).\end{aligned}}$

Происхождение $x_{1}=0,\ x_{2}=0$ является единственной точкой равновесия.Выберем в качестве функции Ляпунова

$V={\frac {1}{2}}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)$

что явно положительно определено . Его производная

${\dot {V}}=x_{1}{\dot {x}}_{1}+x_{2}{\dot {x}}_{2}=x_{1}x_{2}-x_{1}x_{2}+\varepsilon {\frac {x_{2}^{4}}{3}}-\varepsilon {x_{2}^{2}}=\varepsilon {\frac {x_{2}^{4}}{3}}-\varepsilon {x_{2}^{2}}.$

Кажется, что если параметр $\varepsilon$ положительна, устойчивость асимптотична для $x_{2}^{2}<3.$ Но это неправильно, поскольку ${\dot {V}}$ не зависит от $x_{1}$, и будет 0 всюду на $x_{1}$ ось. Равновесие устойчиво по Ляпунову, но не асимптотически устойчиво.

Лемма Барбала и устойчивость нестационарных систем.

Найти функцию Ляпунова с отрицательно определенной производной, как того требует критерий устойчивости Ляпунова, может оказаться затруднительно, однако функция $V$ с ${\dot {V}}$ то есть только отрицательное полуопределенное может быть доступно. В автономных системах теорема об инвариантном множестве может быть применена для доказательства асимптотической устойчивости, но эта теорема неприменима, когда динамика является функцией времени.

Вместо этого лемма Барбала допускает анализ этих неавтономных систем в стиле Ляпунова. Лемма мотивирована следующими наблюдениями. Предполагая, что f является функцией только времени:

• Имея ${\dot {f}}(t)\to 0$ не подразумевает, что $f(t)$ имеет предел в $t\to \infty$. Например, $f(t)=\sin(\ln(t)),\;t>0$.
• Имея $f(t)$ приближается к пределу, так как $t\to \infty$ не подразумевает, что ${\dot {f}}(t)\to 0$. Например, $f(t)=\sin \left(t^{2}\right)/t,\;t>0$.
• Имея $f(t)$ ограниченный снизу и убывающий ( ${\dot {f}}\leq 0$) означает, что оно сходится к пределу. Но не сказано, есть или нет ${\dot {f}}\to 0$ как $t\to \infty$.

Барбалата Лемма гласит:

Если $f(t)$ имеет конечный предел, так как $t\to \infty$ и если ${\dot {f}}$ равномерно непрерывна (достаточным условием равномерной непрерывности является то, что ${\ddot {f}}$ ограничено), то ${\dot {f}}(t)\to 0$ как $t\to \infty$.

Альтернативная версия выглядит следующим образом:

Позволять $p\in [1,\infty )$ и $q\in (1,\infty ]$. Если $f\in L^{p}(0,\infty )$ и ${\dot {f}}\in L^{q}(0,\infty )$, затем $f(t)\to 0$ как $t\to \infty .$

В следующей форме лемма верна и в векторнозначном случае:

Позволять $f(t)$ — равномерно непрерывная функция со значениями в банаховом пространстве. $E$ и предположим, что $\textstyle \int _{0}^{t}f(\tau )\mathrm {d} \tau$ имеет конечный предел, так как $t\to \infty$. Затем $f(t)\to 0$ как $t\to \infty$.

Следующий пример взят со страницы 125 книги Слотина и Ли « Прикладное нелинейное управление» .

Рассмотрим неавтономную систему

${\dot {e}}=-e+g\cdot w(t)$

${\dot {g}}=-e\cdot w(t).$

Это неавтономно, поскольку входные данные $w$ является функцией времени. Предположим, что вход $w(t)$ ограничен.

принимая $V=e^{2}+g^{2}$ дает ${\dot {V}}=-2e^{2}\leq 0.$

Это говорит о том, что $V(t)\leq V(0)$ по первым двум условиям и, следовательно, $e$ и $g$ ограничены. Но это ничего не говорит о сближении $e$ до нуля, так как ${\dot {V}}$ является только отрицательно полуопределенным (обратите внимание $g$ может быть ненулевым, когда ${\dot {V}}$=0) и динамика неавтономна.

Используя лемму Барбалата:

${\ddot {V}}=-4e(-e+g\cdot w)$.

Это ограничено, потому что $e$, $g$ и $w$ ограничены. Это подразумевает ${\dot {V}}\to 0$ как $t\to \infty$ и, следовательно, $e\to 0$. Это доказывает, что ошибка сходится.

См. также

• функция Ляпунова
• Принцип инвариантности ЛаСалле
• Теорема Ляпунова–Малкина
• Гипотеза Маркуса – Ямабе
• Орбита точки либрации
• Теорема Хартмана – Гробмана
• Теория возмущений

Дальнейшее чтение

• Бхатия, Нам Паршад; Сегё, Джорджио П. (2002). Теория устойчивости динамических систем . Спрингер. ISBN  978-3-540-42748-3 .
• Червин, Роберт (1971). Ляпунов Устойчивость и управление с обратной связью двухпотоковых плазменных систем (к.т.н.). Колумбийский университет.
• Гандольфо, Джанкарло (1996). Экономическая динамика (Третье изд.). Берлин: Шпрингер. стр. 407–428. ISBN  978-3-540-60988-9 .
• Паркс, ПК (1992). «Теория устойчивости А. М. Ляпунова — 100 лет спустя». Журнал IMA математического контроля и информации . 9 (4): 275–303. дои : 10.1093/имамци/9.4.275 .
• Слотин, Жан-Жак Э.; Вэйпин Ли (1991). Прикладное нелинейное управление . Нью-Джерси: Прентис Холл.
• Тешль, Г. (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-8328-0 .
• Виггинс, С. (2003). Введение в прикладные нелинейные динамические системы и хаос (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer Verlag . ISBN  978-0-387-00177-7 .

Эта статья включает в себя материал из асимптотически стабильной платформы PlanetMath , которая распространяется под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .