Методы доказательства сходимости

Методы доказательства сходимости являются каноническими компонентами математических доказательств того, что последовательности или функции сходятся к конечному пределу , когда аргумент стремится к бесконечности.

Существует множество типов рядов и способов сходимости, требующих разных методов. Ниже приведены некоторые из наиболее распространенных примеров. Эта статья задумана как введение, призванное помочь практикам изучить соответствующие методы. Ссылки ниже дают подробную информацию о необходимых условиях и обобщениях для более абстрактных настроек. Сходимость рядов уже рассмотрена в статье о тестах сходимости .

Сходимость в R ^н

Обычно возникает желание доказать сходимость последовательности $f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ или функция $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ , где $\mathbb {N}$ и $\mathbb {R}$ относятся к натуральным и действительным числам , а сходимость осуществляется по евклидовой норме , $||\cdot ||_{2}$ .

Полезными подходами для этого являются следующие.

Первые принципы

Аналитическое определение сходимости $f$ до предела $f_{\infty }$ это что ^[1] для всех $\epsilon$ существует $k_{0}$ такой для всех $k>k_{0}$ , $\|f(k)-f_{\infty }\|<\epsilon$ . Самый простой метод доказательства – найти такое $k_{0}$ и докажем требуемое неравенство. Если значение $f_{\infty }$ заранее неизвестно, могут оказаться полезными приведенные ниже методы.

Карты сжатия

Во многих случаях функция, сходимость которой представляет интерес, имеет вид $f(k+1)=T(f(k))$ для некоторой трансформации $T$ . Например, $T$ мог бы составить карту $f(k)$ к $f(k+1)=Af(k)$ для некоторой согласованной матрицы $A$ . Альтернативно, $T$ может быть поэлементной операцией, например заменой каждого элемента $f(k)$ на квадратный корень из его величины.

В таких случаях, если задача удовлетворяет условиям теоремы Банаха о неподвижной точке (область представляет собой непустое полное метрическое пространство ), то достаточно доказать, что $\|T(x)-T(y)\|<\|k(x-y)\|$ для некоторой константы $|k|<1$ который фиксирован для всех $x$ и $y$ . Такой $T$ называется сжимающим отображением . Композиция двух сжимающих отображений является сжимающим отображением, поэтому если $T=T_{1}\circ T_{2}$ , то достаточно показать, что $T_{1}$ и $T_{2}$ оба являются сжимающими отображениями.

Пример

Известный пример использования этого подхода включает в себя

Если $T$ имеет форму $T(x)=Ax+B$ для некоторых матриц $A$ и $B$ , то сходимость к $(I-A)^{-1}B$ происходит, если величины всех собственных значений $A$ меньше 1 ^{[ нужна ссылка ]}.

Отображения без расширения

Если оба приведенных выше неравенства слабые ( $k\leq 1$ ), отображение является нерасширяющим.Этого недостаточно для $T$ быть отображением без расширения. Например, $T(x)=-x$ является отображением без расширения, но последовательность не сходится.Однако композиция сжимающего отображения и нерасширяющего отображения (или наоборот) является сжимающим отображением.

Сокращение отображений на ограниченных областях

Если $T$ не является сжимающим отображением во всей своей области, но находится в своей кодомене (образе области), что также достаточно для сходимости.Это относится и к разложениям.Например, рассмотрим $T(x)=\cos(\sin(x))$ . Функция $\cos$ не является сжимающим отображением, но находится в ограниченной области $[-1,1]$ , который является кодоменом $\sin$ для реальных аргументов. С $\sin$ является отображением без расширения, отсюда следует $T$ является сжимающим отображением.

Сходящиеся подпоследовательности

Любая ограниченная последовательность в $\mathbb {R} ^{n}$ имеет сходящуюся подпоследовательность по теореме Больцано-Вейерштрасса . Если все они имеют один и тот же предел, то исходная последовательность сходится к этому пределу. Если можно показать, что все подпоследовательности $f$ имеют одинаковый предел, например, показывая, что существует уникальная фиксированная точка преобразования $T$ , то исходная последовательность также должна сходиться к этому пределу.

Монотонность (функции Ляпунова)

Любая ограниченная монотонная последовательность в $\mathbb {R} ^{n}$ сходится к пределу .

Этот подход также можно применить к немонотонным последовательностям. Вместо этого можно определить функцию $V:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ такой, что $V(f(n))$ является монотонным по $n$ . Если $V$ удовлетворяет условиям быть функцией Ляпунова , тогда $f$ является конвергентным. Теорема Ляпунова обычно формулируется для обыкновенных дифференциальных уравнений , но ее также можно применять к последовательностям итераций путем замены производных дискретными разностями.

Основные требования к $V$ это что

$V(f(n+1))-V(f(n))<0$ для $f(n)\neq 0$ и $V(0)=0$ (или ${\dot {V}}(x)<0$ для $x\neq 0$ )
$V(x)>0$ для всех $x\neq 0$ и $V(0)=0$
$V$ быть «радиально неограниченным», так что $V(x)$ стремится к бесконечности для любой последовательности с $\|x\|$ которое стремится к бесконечности.

Во многих случаях функция Ляпунова вида $V(x)=x^{T}Ax$ можно встретить, хотя используются и более сложные формы.

Для дифференциальных уравнений с запаздыванием аналогичный подход применяется с заменой функций Ляпунова функционалами Ляпунова, также называемыми Ляпунова-Красовского функционалами .

Если неравенство в условии 1 слабое, принцип инвариантности Ласалля можно использовать .

Сходимость последовательностей функций

Чтобы рассмотреть сходимость последовательностей функций, ^[2] необходимо определить расстояние между функциями, чтобы заменить евклидову норму. К ним часто относятся

Сходимость по норме (сильная сходимость) - норма функции, например ${\textstyle \|g\|_{f}=\int _{x\in A}\|g(x)\|dx}$ определено, и сходимость имеет место, если $||f(n)-f_{\infty }||_{f}\rightarrow 0$ . В этом случае все вышеперечисленные методы могут быть применены с этой функциональной нормой.
Поточечная сходимость — сходимость происходит, если для каждого $x$ , $f_{n}(x)\rightarrow f_{\infty }(x)$ . В этом случае описанные выше методы можно применить для каждой точки. $x$ с нормой, соответствующей $f(x)$ .
Равномерная сходимость . При поточечной сходимости некоторые (открытые) области могут сходиться сколь угодно медленно. При равномерной сходимости существует фиксированная скорость сходимости, при которой все точки сходятся как минимум с такой же скоростью. Формально, $\lim _{n\to \infty }\,\sup\{\,\left|f_{n}(x)-f_{\infty }(x)\right|:x\in A\,\}=0,$ где $A$ является доменом каждого $f_{n}$ .

См. также

Сходимость ряда Фурье

Сходимость случайных величин

Случайные переменные ^[3] сложнее простых элементов $\mathbb {R} ^{n}$ . (Формально случайная величина — это отображение $x:\Omega \rightarrow V$ из места проведения мероприятий $\Omega$ в пространство ценностей $V$ . Пространство значений может быть $\mathbb {R} ^{n}$ , например, бросок игральной кости, и о такой случайной величине часто неофициально говорят как о $\mathbb {R} ^{n}$ , но сходимость последовательности случайных величин соответствует сходимости последовательности функций или распределений , а не последовательности значений .)

Существует несколько типов сходимости , в зависимости от того, как расстояние измеряется между функциями.

Сходимость по распределению - поточечная сходимость функций распределения случайных величин к пределу.
Сходимость по вероятности
Почти уверенная сходимость — поточечная сходимость отображений. $x_{n}:\Omega \rightarrow V$ до предела, за исключением набора в $\Omega$ с мерой 0 в пределе.
Сходимость в среднем

Каждый из них имеет свои собственные методы доказательства, которые выходят за рамки данной статьи.