Обобщенная аддитивная модель местоположения, масштаба и формы.

Обобщенная аддитивная модель местоположения, масштаба и формы (GAMLSS) — это подход к статистическому моделированию и обучению. GAMLSS — это современный подход к ( полупараметрической ) регрессии, основанный на распределении. Для ответной (целевой) переменной предполагается параметрическое распределение, но параметры этого распределения могут варьироваться в зависимости от объясняющих переменных с использованием линейных, нелинейных или плавных функций. На языке машинного обучения GAMLSS — это форма контролируемого машинного обучения.

В частности, статистическая система GAMLSS позволяет адаптировать к данным гибкие модели регрессии и сглаживания. Модель GAMLSS предполагает, что переменная ответа имеет любое параметрическое распределение, которое может быть тяжелым или легким, а также положительно или отрицательно искаженным. Кроме того, все параметры распределения [местоположение (например, среднее значение), масштаб (например, дисперсия) и форма (асимметрия и эксцесс)] могут быть смоделированы как линейные, нелинейные или плавные функции объясняющих переменных.

Обзор модели

Обобщенная аддитивная модель местоположения, масштаба и формы (GAMLSS) — это статистическая модель, разработанная Ригби и Стасинопулосом (а позже расширенная) для преодоления некоторых ограничений, связанных с популярными обобщенными линейными моделями (GLM) и обобщенными аддитивными моделями (GAM). . Обзор этих ограничений см. в Nelder and Wedderburn (1972). и книга Хасти и Тибширани.

В GAMLSS предположение экспоненциального семейного распределения для переменной ответа ( $y$), (важно в GLM и GAM ), ослабляется и заменяется общим семейством распределений, включая сильно асимметричные и/или куртотические непрерывные и дискретные распределения .

Систематическая часть модели расширена, чтобы позволить моделировать не только среднее значение ( или местоположение ), но и другие параметры распределения y как линейные и/или нелинейные, параметрические и/или аддитивные непараметрические функции объясняющих переменных и/или случайные эффекты .

GAMLSS особенно подходит для моделирования лептокуртической или платикуртической и/или положительно или отрицательно искаженной переменной ответа. Для данных переменной ответа типа счетчика он имеет дело с чрезмерной дисперсией , используя правильные дискретные распределения с чрезмерной дисперсией. Неоднородность также решается путем моделирования параметров масштаба или формы с использованием объясняющих переменных. Существует несколько пакетов, написанных на R и связанных с моделями GAMLSS. и учебные пособия по использованию и интерпретации GAMLSS.

Модель GAMLSS предполагает независимые наблюдения. $y_{i}$ для $i=1,2,\dots ,n$с функцией вероятности (плотности) $f(y_{i}|\mu _{i},\sigma _{i},\nu _{i},\tau _{i})$ при условии $(\mu _{i},\sigma _{i},\nu _{i},\tau _{i})$ вектор из четырех параметров распределения, каждый из которых может быть функцией объясняющих переменных. Первые два параметра распределения населения $\mu _{i}$ и $\sigma _{i}$ обычно характеризуются как параметры местоположения и масштаба, тогда как остальные параметры, если таковые имеются, характеризуются как параметры формы, например параметры асимметрии и эксцесса , хотя модель может применяться в более общем плане к параметрам любого распределения населения с точностью до четыре параметра распределения и могут быть обобщены до более чем четырех параметров распределения.

${\begin{aligned}g_{1}(\mu )=\eta _{1}=X_{1}\beta _{1}+\sum _{j=1}^{J_{1}}{h}_{j1}(x_{j1})\\g_{2}(\sigma )=\eta _{2}=X_{2}\beta _{2}+\sum _{j=1}^{J_{2}}{h}_{j2}(x_{j2})\\g_{3}(\nu )=\eta _{3}=X_{3}\beta _{3}+\sum _{j=1}^{J_{3}}{h}_{j3}(x_{j3})\\g_{4}(\tau )=\eta _{4}=X_{4}\beta _{4}+\sum _{j=1}^{J_{4}}{h}_{j4}(x_{j4})\end{aligned}}$

где µ, σ, ν, τ и $\eta _{k}$ являются векторами длины $n$, $\beta _{k}^{T}=(\beta _{1k},\beta _{2k},\ldots ,\beta _{J'_{k}k})$ — вектор параметров длины $J'_{k}$, $X_{k}$ представляет собой фиксированную известную расчетную матрицу порядка $n\times J'_{k}$ и $h_{jk}$ – гладкая непараметрическая функция объясняющей переменной $x_{jk}$, $j=1,2,\ldots ,J_{k}$ и $k=1,2,3,4$. $g_{i}$ являются функциями связи .

Для центильной оценки Группа многоцентровых эталонных исследований роста ВОЗ рекомендовала GAMLSS и экспоненциальное распределение мощности Бокса-Кокса (BCPE). для разработки Норм роста детей ВОЗ.

Какие дистрибутивы можно использовать

Форма распределения, предполагаемая для переменной отклика y, является очень общей. Например, реализация GAMLSS в R доступно около 100 различных дистрибутивов. Такие реализации также позволяют использовать усеченные распределения и цензурированные (или интервальные) переменные отклика.

Дальнейшее чтение

• Байерляйн, А.; Фармейр, Л.; Мансманн, У.; Тошке, AM (2001). «Альтернативные регрессионные модели для оценки увеличения BM у детей» . Методология медицинских исследований BMC . 8:59 . дои : 10.1186/1471-2288-8-59 . ПМК   2543035 . ПМИД   18778466 .
• Коул, Т.Дж., Станоевич, С., Стокс, Дж., Коутс, А.Л., Хэнкинсон, Дж.Л., Уэйд, А.М. (2009), «Референсные диапазоны, связанные с возрастом и размером: тематическое исследование спирометрии в детстве и взрослой жизни», Статистика в медицине , 28 (5), 880–898. Связь
• Фенске Н., Фармейр Л., Ржехак П., Холе М. (25 сентября 2008 г.), «Выявление факторов риска ожирения в раннем детстве с помощью методов квантильной регрессии для продольных данных», Департамент статистики: Технические отчеты. , №38 Ссылка
• Хадсон, Иллинойс, Ким, С.В., Китли, М.Р. (2010), «Климатические влияния на фенологию цветения четырех эвкалиптов: фенологические исследования с использованием подхода GAMLSS». В «Фенологических исследованиях» , Ирен Л. Хадсон и Мари Р. Китли (редакторы), Springer Нидерланды Link
• Хадсон, Иллинойс, Ри, А., Далримпл, М.Л., Эйлерс, PHC (2008), «Влияние климата на синдром внезапной детской смертности: подход GAMLSS», Материалы 23-го международного семинара по статистическому моделированию, стр. 277–280. Связь
• Нотт, Д. (2006). «Полупараметрическая оценка функций среднего и дисперсии для негауссовских данных». Вычислительная статистика . 21 (3–4): 603–620. CiteSeerX   10.1.1.117.6518 . дои : 10.1007/s00180-006-0017-9 . S2CID   16900583 .
• Серинальди, Ф (2011). «Моделирование распределения и краткосрочное прогнозирование цен на электроэнергию с помощью обобщенных аддитивных моделей местоположения, масштаба и формы». Экономика энергетики . 33 (6): 1216–1226. doi : 10.1016/j.eneco.2011.05.001 .
• Серинальди, Ф.; Куомо, Дж. (2011). «Характеристика импульсных волновых нагрузок на прибрежные мосты с помощью вероятностных моделей максимумов воздействия и времени нарастания». Береговая инженерия . 58 (9): 908–926. дои : 10.1016/j.coastaleng.2011.05.010 .
• Серинальди Ф., Вилларини Г., Смит Дж. А., Краевски В. Ф. (2008), «Анализ точек изменений и тенденций в годовом максимальном расходе воды в континентальной части США», Осеннее собрание Американского геофизического союза 2008 г. , аннотация № H21A-0803 *
• ван Огтроп, ФФ; Верворт, RW; Хеллер, Г.З.; Стасинопулос, DM; Ригби, РА (2011). «Долгосрочное прогнозирование прерывистого речного стока» . Дискуссии по гидрологии и наукам о системе Земли . 8 (1): 681–713. doi : 10.5194/hessd-8-681-2011 .
• Вилларини, Дж.; Серинальди, Ф. (2011). «Разработка статистических моделей для натурного вероятностного прогноза сезонных осадков» . Международный журнал климатологии . 32 (14): 2197–2212. дои : 10.1002/joc.3393 .
• Вилларини, Дж.; Серинальди, Ф.; Смит, Дж.А.; Краевский, ВФ (2009). «О стационарности ежегодных пиков паводков в континентальной части США в 20 веке» . Исследования водных ресурсов . 45 (8). Бибкод : 2009WRR....45.8417V . дои : 10.1029/2008wr007645 .
• Вилларини, Дж.; Смит, Дж.А.; Наполитано, Ф. (2010). «Нестационарное моделирование длительного периода осадков и температуры над Римом». Достижения в области водных ресурсов . 33 (10): 1256–1267. Бибкод : 2010AdWR...33.1256V . дои : 10.1016/j.advwatres.2010.03.013 .

Внешние ссылки

• Официальный сайт ГАМЛСС gamlss.org
• Руководство по GAMLSS (можно загрузить)
• Таблицы распределения в GAMLSS
• Справочная карта пакетов GAMLSS (можно загрузить)
• Буклет для краткого курса по GAMLSS в Утрехте (можно загрузить)
• Пакеты R для GAMLSS на CRAN