Аддитивная функция

Алгебраическое значение см. в разделе Аддитивная карта .

В теории чисел аддитивная функция — это арифметическая функция f ( n ) положительной целочисленной переменной n, такая, что всякий раз, когда a и b , взаимно просты функция, применяемая к произведению ab, представляет собой сумму значений функции, примененной к a и b. б : $$f(ab)=f(a)+f(b).$$

Полностью аддитивный

Аддитивная функция f ( n ) называется полностью аддитивной , если $f(ab)=f(a)+f(b)$ справедливо для всех натуральных чисел a и b , даже если они не являются взаимно простыми. Тотально аддитивные функции также используются в этом смысле по аналогии с вполне мультипликативными функциями. Если f — вполне аддитивная функция, то f (1) = 0.

Любая полностью аддитивная функция является аддитивной, но не наоборот.

Примеры

Примеры полностью аддитивных арифметических функций:

• Ограничение логарифмической функции на $\mathbb {N} .$
• Кратность которого простого множителя p , в n , то есть наибольшего показателя степени m для p ^м делит n .
• a ₀ ( n ) – сумма простых чисел, делящих n с учетом кратности, иногда называемая sopfr( n ), эффективность n или целочисленный логарифм n (последовательность A001414 в OEIS ). Например:

а ₀ (4) = 2 + 2 = 4

а ₀ (20) = а ₀ (2 ² · 5) = 2 + 2 + 5 = 9

а ₀ (27) = 3 + 3 + 3 = 9

а ₀ (144) = а ₀ (2 ⁴ · 3 ² ) = а ₀ (2 ⁴ ) + а ₀ (3 ² ) = 8 + 6 = 14

а ₀ (2000) = а ₀ (2 ⁴ · 5 ³ ) = а ₀ (2 ⁴ ) + а ₀ (5 ³ ) = 8 + 15 = 23

а ₀ (2003) = 2003

а ₀ (54 032 858 972 279) = 1240658

а ₀ (54 032 858 972 302) = 1780417

а ₀ (20 802 650 704 327 415) = 1240681

• Функция Ω( n ), определяемая как общее количество простых множителей n , учитывающая несколько множителей несколько раз, иногда называется «функцией Большой Омеги» (последовательность A001222 в OEIS ). Например;

Ω(1) = 0, так как 1 не имеет простых множителей

Ом(4) = 2

Ом(16) = Ом(2·2·2·2) = 4

Ом(20) = Ом(2·2·5) = 3

Ом(27) = Ом(3·3·3) = 3

Ом(144) = Ом(2 ⁴ · 3 ² ) = Ом(2 ⁴ ) + Ом(3 ² ) = 4 + 2 = 6

Ом(2000) = Ом(2 ⁴ · 5 ³ ) = Ом(2 ⁴ ) + Ом(5 ³ ) = 4 + 3 = 7

Ом(2001) = 3

Ом(2002) = 4

Ом(2003) = 1

Ом(54032858972279) = Ом(11 ⋅ 1993 г.) ² ⋅ 1236661) = 4  ;

Ом(54032858972302) = Ом(2 ⋅ 7 ² ⋅ 149 ⋅ 2081 ⋅ 1778171) = 6

Ом(20802650704327415) = Ом(5 ⋅ 7 ⋅ 11 ² ⋅ 1993 ² ⋅ 1236661) = 7.

Примеры арифметических функций, которые являются аддитивными, но не полностью аддитивными:

• ω( n ), определяемый как общее количество различных простых делителей числа n (последовательность A001221 в OEIS ). Например:

ω(4) = 1

ω(16) = ω(2 ⁴ ) = 1

ω(20) = ω(2 ² · 5) = 2

ω(27) = ω(3 ³ ) = 1

ω(144) = ω(2 ⁴ · 3 ² ) = ω(2 ⁴ ) + ω(3 ² ) = 1 + 1 = 2

ω(2000) = ω(2 ⁴ · 5 ³ ) = ω(2 ⁴ ) + ω(5 ³ ) = 1 + 1 = 2

ω(2001) = 3

ω(2002) = 4

ω(2003) = 1

ω(54 032 858 972 279) = 3

ω(54 032 858 972 302) = 5

ω(20 802 650 704 327 415) = 5

• a ₁ ( n ) – сумма различных простых чисел, делящих n , иногда называемая sopf( n ) (последовательность A008472 в OEIS ). Например:

а ₁ (1) = 0

а ₁ (4) = 2

а ₁ (20) = 2 + 5 = 7

а ₁ (27) = 3

а ₁ (144) = а ₁ (2 ⁴ · 3 ² ) = а ₁ (2 ⁴ ) + 1 ₃ ( ² ) = 2 + 3 = 5

а ₁ (2000) = а ₁ (2 ⁴ · 5 ³ ) = а ₁ (2 ⁴ ) + 1 ₅ ( ³ ) = 2 + 5 = 7

а ₁ (2001) = 55

а ₁ (2002) = 33

а ₁ (2003 г.) = 2003 г.

а ₁ (54 032 858 972 279) = 1238665

а ₁ (54 032 858 972 302) = 1780410

а ₁ (20 802 650 704 327 415) = 1238677

Мультипликативные функции

Из любой аддитивной функции $f(n)$ можно создать связанную мультипликативную функцию $g(n),$ которая представляет собой функцию со свойством, что всякий раз, когда $a$ и $b$ взаимнопросты, то: $$g(ab)=g(a)\times g(b).$$Одним из таких примеров является $g(n)=2^{f(n)}.$

Сумматорные функции

Учитывая аддитивную функцию $f$, пусть его суммирующая функция определяется формулой ${\textstyle {\mathcal {M}}_{f}(x):=\sum _{n\leq x}f(n)}$. Среднее значение $f$ дается именно так $${\mathcal {M}}_{f}(x)=\sum _{p^{\alpha }\leq x}f(p^{\alpha })\left(\left\lfloor {\frac {x}{p^{\alpha }}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {x}{p^{\alpha +1}}}\right\rfloor \right).$$

Сумматорные функции $f$ можно расширить как ${\mathcal {M}}_{f}(x)=xE(x)+O({\sqrt {x}}\cdot D(x))$ где $${\begin{aligned}E(x)&=\sum _{p^{\alpha }\leq x}f(p^{\alpha })p^{-\alpha }(1-p^{-1})\\D^{2}(x)&=\sum _{p^{\alpha }\leq x}|f(p^{\alpha })|^{2}p^{-\alpha }.\end{aligned}}$$

Среднее значение функции $f^{2}$ также выражается этими функциями как $${\mathcal {M}}_{f^{2}}(x)=xE^{2}(x)+O(xD^{2}(x)).$$

Всегда существует абсолютная константа $C_{f}>0$ такая, что для всех натуральных чисел $x\geq 1$, $$\sum _{n\leq x}|f(n)-E(x)|^{2}\leq C_{f}\cdot xD^{2}(x).$$

Позволять $$\nu (x;z):={\frac {1}{x}}\#\!\left\{n\leq x:{\frac {f(n)-A(x)}{B(x)}}\leq z\right\}\!.$$

Предположим, что $f$ является аддитивной функцией с $-1\leq f(p^{\alpha })=f(p)\leq 1$ такой, что как $x\rightarrow \infty$, $$B(x)=\sum _{p\leq x}f^{2}(p)/p\rightarrow \infty .$$

Затем $\nu (x;z)\sim G(z)$ где $G(z)$ - функция распределения Гаусса $$G(z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{z}e^{-t^{2}/2}dt.$$

Примеры этого результата, связанные с простой омега-функцией и числом простых делителей сдвинутых простых чисел, включают следующие: для фиксированных $z\in \mathbb {R}$ где отношения сохраняются для $x\gg 1$: $$\#\{n\leq x:\omega (n)-\log \log x\leq z(\log \log x)^{1/2}\}\sim xG(z),$$$$\#\{p\leq x:\omega (p+1)-\log \log x\leq z(\log \log x)^{1/2}\}\sim \pi (x)G(z).$$

См. также

• Сигма-аддитивность
• Основная омега-функция
• Мультипликативная функция
• Арифметическая функция

Дальнейшее чтение

• Янко Брачич, Кольцо арифметических функций Обзорник ( , мат, физ. 49 (2002) 4, стр. 97–108) (MSC (2000) 11A25)
• Иванец и Ковальский, Аналитическая теория чисел , AMS (2004).