Уравнение потока Гольдмана – Ходжкина – Каца

Уравнение потока Гольдмана-Ходжкина-Каца (или уравнение потока GHK или уравнение плотности тока GHK) описывает поток ионов через клеточную мембрану как функцию трансмембранного потенциала и концентрации ионов внутри и снаружи клетки. Поскольку на движение ионов влияют как напряжение, так и градиенты концентрации, этот процесс представляет собой упрощенную версию электродиффузии . Электродиффузия наиболее точно определяется уравнением Нернста-Планка , а уравнение потока ГХК представляет собой решение уравнения Нернста-Планка с допущениями, перечисленными ниже.

Источник

Это уравнение вывели американец Дэвид Э. Голдман из Колумбийского университета и английские лауреаты Нобелевской премии Алан Ллойд Ходжкин и Бернард Кац .

Предположения

При выводе уравнения потока GHK сделано несколько допущений (Hille 2001, стр. 445):

Мембрана представляет собой однородное вещество
Электрическое поле постоянно, поэтому трансмембранный потенциал изменяется линейно поперек мембраны.
Ионы мгновенно попадают в мембрану из внутри- и внеклеточных растворов.
Проникающие ионы не взаимодействуют
На движение ионов влияют как концентрация, так и разница напряжений.

Уравнение

Уравнение потока GHK для иона S (Hille 2001, стр. 445):

\Phi _{S}=P_{S}z_{S}^{2}{\frac {V_{m}F^{2}}{RT}}{\frac {[{\mbox{S}}]_{i}-[{\mbox{S}}]_{o}\exp(-z_{S}V_{m}F/RT)}{1-\exp(-z_{S}V_{m}F/RT)}}

где

$\Phi$ _S — плотность тока (поток) тока наружу через мембрану, переносимая ионом S, измеряемая в амперах на квадратный метр (А·м ⁻²)
P _S — проницаемость мембраны для иона S, измеряемая в м·с. ⁻¹
z _S – валентность иона S
V _m — трансмембранный потенциал в вольтах.
F — константа Фарадея , равная 96 485 Кл·моль. ⁻¹ или СП ⁻¹·моль ⁻¹
R — газовая постоянная , равная 8,314 Дж·К. ⁻¹·моль ⁻¹
T — абсолютная температура , измеряемая в кельвинах (= градусы Цельсия + 273,15).
[S] _i — внутриклеточная концентрация иона S, измеряемая в моль·м. ⁻³ или ммоль·л ⁻¹
[S] _o — внеклеточная концентрация иона S, измеряемая в моль·м. ⁻³

Неявное определение потенциала разворота

Показано, что реверсивный потенциал содержится в уравнении потока GHK (Flax 2008). Доказательство воспроизведено из ссылки (Flax 2008) здесь.

Мы хотим показать, что когда поток равен нулю, трансмембранный потенциал не равен нулю. Формально написано $\lim _{\Phi _{S}\rightarrow 0}V_{m}\neq 0$ что эквивалентно написанию $\lim _{V_{m}\rightarrow 0}\Phi _{S}\neq 0$ , который утверждает, что когда трансмембранный потенциал равен нулю, поток не равен нулю.

Однако из-за формы уравнения потока GHK, когда $V_{m}=0$ , $\Phi _{S}={\frac {0}{0}}$ . Это проблема, поскольку значение ${\frac {0}{0}}$ является неопределенным .

обратимся к правилу Лопиталя Чтобы найти решение предела, :

\lim _{V_{m}\rightarrow 0}\Phi _{S}=P_{S}{\frac {z_{S}^{2}F^{2}}{RT}}{\frac {[V_{m}([{\mbox{S}}]_{i}-[{\mbox{S}}]_{o}\exp(-z_{S}V_{m}F/RT))]'}{[1-\exp(-z_{S}V_{m}F/RT)]'}}

где $[f]'$ представляет собой дифференциал f, и результат:

\lim _{V_{m}\rightarrow 0}\Phi _{S}=P_{S}z_{S}F([{\mbox{S}}]_{i}-[{\mbox{S}}]_{o})

Из предыдущего уравнения видно, что когда $V_{m}=0$ , $\Phi _{S}\neq 0$ если $([{\mbox{S}}]_{i}-[{\mbox{S}}]_{o})\neq 0$ и таким образом

\lim _{\Phi _{S}\rightarrow 0}V_{m}\neq 0

что является определением реверсивного потенциала.

Установив $\Phi _{S}=0$ мы также можем получить реверсивный потенциал:

\Phi _{S}=0=P_{S}{\frac {z_{S}^{2}F^{2}}{RT}}{\frac {V_{m}([{\mbox{S}}]_{i}-[{\mbox{S}}]_{o}\exp(-z_{S}V_{m}F/RT))}{1-\exp(-z_{S}V_{m}F/RT)}}

что сводится к:

[{\mbox{S}}]_{i}-[{\mbox{S}}]_{o}\exp(-z_{S}V_{m}F/RT)=0

и дает уравнение Нернста :

V_{m}=-{\frac {RT}{z_{S}F}}\ln \left({\frac {[{\mbox{S}}]_{i}}{[{\mbox{S}}]_{o}}}\right)

Исправление

Поскольку одно из предположений уравнения потока GHK состоит в том, что ионы движутся независимо друг от друга, общий поток ионов через мембрану просто равен сумме двух противоположно направленных потоков. Каждый поток приближается к асимптотическому значению по мере отклонения мембранного потенциала от нуля. Эти асимптоты

\Phi _{S|i\to o}=P_{S}z_{S}^{2}{\frac {V_{m}F^{2}}{RT}}[{\mbox{S}}]_{i}\ {\mbox{for}}\ V_{m}\gg \;0

\Phi _{S|i\to o}=0\;{\mbox{for}}\ V_{m}\ll \;0

и

\Phi _{S|o\to i}=P_{S}z_{S}^{2}{\frac {V_{m}F^{2}}{RT}}[{\mbox{S}}]_{o}\ {\mbox{for}}\ V_{m}\ll \;0

\Phi _{S|o\to i}=0\;{\mbox{for}}\ V_{m}\gg \;0

где индексы «i» и «o» обозначают внутри- и внеклеточные компартменты соответственно. Интуитивно эти пределы можно понять следующим образом: если ион находится только вне клетки, то поток является омическим (пропорциональным напряжению), когда напряжение заставляет ион течь в клетку, но никакое напряжение не может заставить ион течь в клетку. из клетки, поскольку внутри клетки ионов вообще нет.

Сохраняя все члены, кроме V _m , постоянными, уравнение при построении графика дает прямую линию. $\Phi$ _S против V _м . Очевидно, что соотношение между двумя асимптотами представляет собой просто соотношение между двумя концентрациями S, [S] _i и [S] _o . Таким образом, если две концентрации идентичны, наклон будет одинаковым (и постоянным) во всем диапазоне напряжения (что соответствует закону Ома, масштабируемому по площади поверхности). По мере увеличения соотношения между двумя концентрациями увеличивается и разница между двумя наклонами, а это означает, что ток больше в одном направлении, чем в другом, при одинаковой движущей силе противоположных знаков. Это противоречит результату, полученному при использовании закона Ома, масштабированного по площади поверхности, и этот эффект называется выпрямлением .

Уравнение потока GHK в основном используется электрофизиологами, когда соотношение между [S] _i и [S] _o велико и/или когда одна или обе концентрации значительно изменяются во время потенциала действия . Наиболее распространенным примером, вероятно, является внутриклеточный кальций [Ca ²⁺] _i , который в течение цикла потенциала действия сердца может изменяться в 100 и более раз, а соотношение между [Ca ²⁺] _o и [Ca ²⁺] _я могу достичь 20 000 или больше.

Ссылки

Хилле, Бертиль (2001). Ионные каналы возбудимых мембран , 3-е изд., Sinauer Associates, Сандерленд, Массачусетс. ISBN 978-0-87893-321-1
Флакс, Мэтт Р. и Холмс, У. Харви (2008). Модели волосковых клеток улитки Гольдмана-Ходжкина-Каца – основа нелинейной механики улитки , Материалы конференции: Interspeech 2008.

См. также