Уравнение Гольдмана

Уравнение напряжения Гольдмана -Ходжкина-Каца , иногда называемое уравнением Гольдмана , используется в физиологии клеточных мембран для определения потенциала покоя на клеточной мембране с учетом всех ионов, проникающих через эту мембрану.

Первооткрывателями этого явления являются Дэвид Э. Голдман из Колумбийского университета и лауреаты Нобелевской премии по медицине Алан Ллойд Ходжкин и Бернард Кац .

Уравнение для одновалентных ионов

Уравнение напряжения GHK для $M$ одновалентные положительные ионы и $A$ отрицательный:

E_{m}={\frac {RT}{F}}\ln {\left({\frac {\sum _{i}^{n}P_{M_{i}^{+}}[M_{i}^{+}]_{\mathrm {out} }+\sum _{j}^{m}P_{A_{j}^{-}}[A_{j}^{-}]_{\mathrm {in} }}{\sum _{i}^{n}P_{M_{i}^{+}}[M_{i}^{+}]_{\mathrm {in} }+\sum _{j}^{m}P_{A_{j}^{-}}[A_{j}^{-}]_{\mathrm {out} }}}\right)}

Это приводит к следующему, если рассматривать мембрану, разделяющую два $\mathrm {K} _{x}\mathrm {Na} _{1-x}\mathrm {Cl}$ -решения: ^[1]^[2]^[3]

E_{m,\mathrm {K} _{x}\mathrm {\text{Na}} _{1-x}\mathrm {Cl} }={\frac {RT}{F}}\ln {\left({\frac {P_{\text{Na}}[{\text{Na}}^{+}]_{\mathrm {out} }+P_{\text{K}}[{\text{K}}^{+}]_{\mathrm {out} }+P_{\text{Cl}}[{\text{Cl}}^{-}]_{\mathrm {in} }}{P_{\text{Na}}[{\text{Na}}^{+}]_{\mathrm {in} }+P_{\text{K}}[{\text{K}}^{+}]_{\mathrm {in} }+P_{\text{Cl}}[{\text{Cl}}^{-}]_{\mathrm {out} }}}\right)}

Он похож на Нернста , но имеет термин для каждого проникающего иона:

E_{m,{\text{Na}}}={\frac {RT}{F}}\ln {\left({\frac {P_{\text{Na}}[{\text{Na}}^{+}]_{\mathrm {out} }}{P_{\text{Na}}[{\text{Na}}^{+}]_{\mathrm {in} }}}\right)}={\frac {RT}{F}}\ln {\left({\frac {[{\text{Na}}^{+}]_{\mathrm {out} }}{[{\text{Na}}^{+}]_{\mathrm {in} }}}\right)}

$E_{m}$ = мембранный потенциал (в вольтах , что эквивалентно джоулям на кулон )
$P_{\mathrm {ion} }$ = селективность для этого иона (в метрах в секунду)
$[\mathrm {ion} ]_{\mathrm {out} }$ = внеклеточная концентрация этого иона (в молях на кубический метр, чтобы соответствовать другим единицам СИ ) ^[4]
$[\mathrm {ion} ]_{\mathrm {in} }$ = внутриклеточная концентрация этого иона (в молях на кубический метр) ^[4]
$R$ = постоянная идеального газа (джоули на кельвин на моль) ^[4]
$T$ = температура в кельвинах ^[4]
$F$ = постоянная Фарадея (кулоны на моль)

${\frac {RT}{F}}$ составляет примерно 26,7 мВ при температуре тела человека (37 °С); при учете формулы изменения основания между натуральным логарифмом ln и логарифмом с основанием 10 $([\log _{10}\exp(1)]^{-1}=\ln(10)=2.30258...)$ , это становится $26.7\,\mathrm {mV} \cdot 2.303=61.5\,\mathrm {mV}$ , значение, часто используемое в нейробиологии.

E_{X}=61.5\,\mathrm {mV} \cdot \log {\left({\frac {[X^{+}]_{\mathrm {out} }}{[X^{+}]_{\mathrm {in} }}}\right)}=-61.5\,\mathrm {mV} \cdot \log {\left({\frac {[X^{-}]_{\mathrm {out} }}{[X^{-}]_{\mathrm {in} }}}\right)}

Заряд иона определяет знак вклада мембранного потенциала. Во время потенциала действия, хотя мембранный потенциал изменяется примерно на 100 мВ, концентрации ионов внутри и снаружи клетки существенно не меняются. Они всегда очень близки к соответствующим концентрациям, когда мембрана находится в состоянии покоя.

Вычисление первого члена

С использованием $R\approx {\frac {8.3\ \mathrm {J} }{\mathrm {K} \cdot \mathrm {mol} }}$ , $F\approx {\frac {9.6\times 10^{4}\ \mathrm {J} }{\mathrm {mol} \cdot \mathrm {V} }}$ , (при условии температуры тела) $T=37\ ^{\circ }\mathrm {C} =310\ \mathrm {K}$ и тот факт, что один вольт равен одному джоулю энергии на кулон заряда, уравнение

E_{X}={\frac {RT}{zF}}\ln {\frac {X_{o}}{X_{i}}}

можно свести к

{\begin{aligned}E_{X}&\approx {\frac {0.0267\ \mathrm {V} }{z}}\ln {\frac {X_{o}}{X_{i}}}\\&={\frac {26.7\ \mathrm {mV} }{z}}\ln {\frac {X_{o}}{X_{i}}}\\&\approx {\frac {61.5\ \mathrm {mV} }{z}}\log {\frac {X_{o}}{X_{i}}}&{\text{ since }}\ln 10\approx 2.303\end{aligned}}

что представляет собой уравнение Нернста .

Вывод

Гольдмана направлено на определение напряжения Em _{Уравнение} на мембране. ^[5] направление z Для описания системы используется декартова система координат, при этом перпендикулярно мембране. Предполагая, что система симметрична в направлениях x и y (вокруг и вдоль аксона соответственно), z необходимо учитывать только направление ; таким образом, напряжение Em _- представляет собой интеграл компоненты z электрического поля на мембране.

Согласно модели Гольдмана, на движение ионов через проницаемую мембрану влияют только два фактора: среднее электрическое поле и разница в концентрации ионов с одной стороны мембраны на другую. Электрическое поле предполагается постоянным поперек мембраны, поэтому его можно положить равным Ем _. / Л , где L — толщина мембраны Для данного иона, обозначенного A, с валентностью n _A , его поток j _A — другими словами, количество ионов, пересекающих мембрану за время и на площадь мембраны, — определяется формулой

j_{\mathrm {A} }=-D_{\mathrm {A} }\left({\frac {d\left[\mathrm {A} \right]}{dz}}-{\frac {n_{\mathrm {A} }F}{RT}}{\frac {E_{m}}{L}}\left[\mathrm {A} \right]\right)

Первое слагаемое соответствует закону диффузии Фика , который дает поток за счет диффузии вниз по градиенту концентрации , т. е. от высокой концентрации к низкой. Константа D _A представляет собой константу диффузии иона A. Второе слагаемое отражает поток электрического поля, который линейно возрастает с увеличением электрического поля; Формально это [A], умноженное на скорость дрейфа ионов, причем скорость дрейфа выражается с использованием соотношения Стокса-Эйнштейна, примененного к электрофоретической подвижности . Константами здесь являются заряда валентность n _A иона A (например, +1 для K ⁺, +2 для Ca ²⁺ и −1 для Cl ⁻), температура T (в кельвинах ), молярная газовая постоянная R и фарадея F , который представляет собой общий заряд моля электронов .

Это ОДУ первого порядка формы y' = ay + b , где y = [A] и y' = d[A]/d z ; интегрируя обе части от z =0 до z = L с граничными условиями [A](0) = [A] _in и [A]( L ) = [A] _out , можно получить решение

j_{\mathrm {A} }=\mu n_{\mathrm {A} }P_{\mathrm {A} }{\frac {\left[\mathrm {A} \right]_{\mathrm {out} }-\left[\mathrm {A} \right]_{\mathrm {in} }e^{n_{\mathrm {A} }\mu }}{1-e^{n_{\mathrm {A} }\mu }}}

где μ — безразмерное число

\mu ={\frac {FE_{m}}{RT}}

и PA _— ионная проницаемость, определяемая здесь как

P_{\mathrm {A} }={\frac {D_{\mathrm {A} }}{L}}

Плотность электрического тока поток J _A равна заряду q _A иона, умноженному на j _A

J_{A}=q_{\mathrm {A} }j_{\mathrm {A} }

Плотность тока имеет единицы измерения (Ампер/м). ²). Молярный поток имеет единицы измерения (моль/(см ²)). Таким образом, чтобы получить плотность тока из молярного потока, нужно умножить его на постоянную Фарадея F (кулоны/моль). F затем отменит уравнение ниже. Поскольку валентность уже учтена выше, заряд q _A каждого иона в приведенном выше уравнении следует интерпретировать как +1 или -1 в зависимости от полярности иона.

Такой ток связан с каждым типом ионов, которые могут пересекать мембрану; это связано с тем, что каждому типу ионов потребуется отдельный мембранный потенциал для баланса диффузии, но мембранный потенциал может быть только один. По предположению, при напряжении Гольдмана Em _. полная плотность тока равна нулю

J_{tot}=\sum _{A}J_{A}=0

(Хотя ток для каждого рассматриваемого здесь типа ионов отличен от нуля, в мембране есть и другие насосы, например Na ⁺/К ⁺-АТФаза , здесь не рассматриваемая, которая служит для балансировки тока каждого отдельного иона, так что концентрации ионов по обе стороны мембраны не меняются со временем в равновесии.) Если все ионы одновалентны, то есть если все n _A равно +1 или -1 — это уравнение можно записать

w-ve^{\mu }=0

решением которого является уравнение Гольдмана

{\frac {FE_{m}}{RT}}=\mu =\ln {\frac {w}{v}}

где

w=\sum _{\mathrm {cations\ C} }P_{\mathrm {C} }\left[\mathrm {C} ^{+}\right]_{\mathrm {out} }+\sum _{\mathrm {anions\ A} }P_{\mathrm {A} }\left[\mathrm {A} ^{-}\right]_{\mathrm {in} }

v=\sum _{\mathrm {cations\ C} }P_{\mathrm {C} }\left[\mathrm {C} ^{+}\right]_{\mathrm {in} }+\sum _{\mathrm {anions\ A} }P_{\mathrm {A} }\left[\mathrm {A} ^{-}\right]_{\mathrm {out} }

двухвалентные ионы, такие как кальций Если рассматривать , такие термины, как e ^2м появляются, что квадратом e является ^м; в этом случае формулу уравнения Гольдмана можно решить с помощью квадратичной формулы .

См. также

Ссылки

^ Эндерле, Джон (01 января 2005 г.), Эндерле, Джон Д.; Бланшар, Сьюзен М.; Бронзино, Джозеф Д. (ред.), «Биоэлектрические явления» , Введение в биомедицинскую инженерию (второе издание) , Биомедицинская инженерия, Бостон: Academic Press, стр. 627–691, doi : 10.1016/b978-0-12-238662- 6.50013-6 , ISBN 978-0-12-238662-6 , получено 23 октября 2020 г.
^ Ройсс, Луис (01 января 2008 г.), Альперн, Роберт Дж.; Хеберт, Стивен С. (ред.), «Глава 2 - Механизмы транспорта ионов через клеточные мембраны и эпителий» , «Почка» Селдина и Гибиша (четвертое издание) , Сан-Диего: Academic Press, стр. 35–56, doi : 10.1016. /b978-012088488-9.50005-x , ISBN 978-0-12-088488-9 , получено 23 октября 2020 г.
^ Эндерле, Джон Д. (01 января 2012 г.), Эндерле, Джон Д.; Бронзино, Джозеф Д. (ред.), «Глава 12 – Биоэлектрические явления» , Введение в биомедицинскую инженерию (третье издание) , Биомедицинская инженерия, Бостон: Academic Press, стр. 747–815, doi : 10.1016/b978-0-12 -374979-6.00012-5 , ISBN 978-0-12-374979-6 , получено 23 октября 2020 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Бхадра, Нарендра (01 января 2015 г.), Килгор, Кевин (редактор), «2 - Физиологические принципы электростимуляции» , Имплантируемые нейропротезы для восстановления функции , Серия публикаций Woodhead Publishing по биоматериалам, Woodhead Publishing, стр. 13–43, doi : 10.1016/b978-1-78242-101-6.00002-1 , ISBN 978-1-78242-101-6 , получено 23 октября 2020 г.
^ Юнге Д. (1981). Нервное и мышечное возбуждение (2-е изд.). Сандерленд, Массачусетс: Sinauer Associates. стр. 33–37 . ISBN 0-87893-410-3 .

Внешние ссылки

Подпороговые мембранные явления Включает хорошо объясненный вывод уравнения Гольдмана-Ходжкина-Каца.
Симулятор уравнений Нернста/Голдмана. Архивировано 8 августа 2010 г. в Wayback Machine.
Калькулятор уравнения Гольдмана-Ходжкина-Каца
Интерактивный Java-апплет Нернста/Голдмана. Мембранное напряжение рассчитывается в интерактивном режиме по мере изменения количества ионов внутри и снаружи клетки.
Потенциал, импеданс и выпрямление в мембранах Голдмана (1943).

[1] Эндерле, Джон (01 января 2005 г.), Эндерле, Джон Д.; Бланшар, Сьюзен М.; Бронзино, Джозеф Д. (ред.), «Биоэлектрические явления» , Введение в биомедицинскую инженерию (второе издание) , Биомедицинская инженерия, Бостон: Academic Press, стр. 627–691, doi : 10.1016/b978-0-12-238662- 6.50013-6 , ISBN 978-0-12-238662-6 , получено 23 октября 2020 г.

[2] Ройсс, Луис (01 января 2008 г.), Альперн, Роберт Дж.; Хеберт, Стивен С. (ред.), «Глава 2 - Механизмы транспорта ионов через клеточные мембраны и эпителий» , «Почка» Селдина и Гибиша (четвертое издание) , Сан-Диего: Academic Press, стр. 35–56, doi : 10.1016. /b978-012088488-9.50005-x , ISBN 978-0-12-088488-9 , получено 23 октября 2020 г.

[3] Эндерле, Джон Д. (01 января 2012 г.), Эндерле, Джон Д.; Бронзино, Джозеф Д. (ред.), «Глава 12 – Биоэлектрические явления» , Введение в биомедицинскую инженерию (третье издание) , Биомедицинская инженерия, Бостон: Academic Press, стр. 747–815, doi : 10.1016/b978-0-12 -374979-6.00012-5 , ISBN 978-0-12-374979-6 , получено 23 октября 2020 г.

[:0-4] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Бхадра, Нарендра (01 января 2015 г.), Килгор, Кевин (редактор), «2 - Физиологические принципы электростимуляции» , Имплантируемые нейропротезы для восстановления функции , Серия публикаций Woodhead Publishing по биоматериалам, Woodhead Publishing, стр. 13–43, doi : 10.1016/b978-1-78242-101-6.00002-1 , ISBN 978-1-78242-101-6 , получено 23 октября 2020 г.

[5] Юнге Д. (1981). Нервное и мышечное возбуждение (2-е изд.). Сандерленд, Массачусетс: Sinauer Associates. стр. 33–37 . ISBN 0-87893-410-3 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]