Группа Бимонстров

В математике бимонстр — это группа являющаяся сплетением группы монстров M с Z2 _, :

Bi=M\wr \mathbb {Z} _{2}.\,

Бимонстер также является фактором группы Кокстера, соответствующим диаграмме Дынкина Y ₅₅₅ , Y-образному графу с 16 узлами:

На самом деле три крайних узла являются избыточными. Это связано с тем, что подгруппа Y ₁₂₄ является группой Кокстера E ₈ . Он генерирует оставшийся узел Y ₁₂₅ . Этот шаблон распространяется до Y ₄₄₄ : он автоматически генерирует 3 дополнительных узла Y ₅₅₅ .

Джон Х. Конвей предположил , что представление бимонстра можно дать, добавив определенное дополнительное отношение к представлению, определенному диаграммой Y ₄₄₄ . Более конкретно, аффинная группа Кокстера E6 $\mathbb {Z} ^{6}:O_{5}(3):2$ , которую можно свести к конечной группе $3^{5}:O_{5}(3):2$ путем добавления одного отношения, называемого отношением паука . Как только это отношение добавлено и диаграмма расширена до Y ₄₄₄ , созданная группа становится бимонстром. Это было доказано в 1990 году Саймоном П. Нортоном ; доказательство было упрощено в 1999 г. А. А. Ивановым.

Другие Y-группы

Многие подгруппы (би)монстра могут быть определены путем присоединения отношения паука к более мелким диаграммам Коксетера, в первую очередь к группам Фишера и группе детенышей-монстров . Группы Y _ij0 , Y _ij1 , Y ₁₂₂ , Y ₁₂₃ и Y ₁₂₄ конечны даже без присоединения дополнительных соотношений. Это группы Кокстера A _i+j+1 , D _i+j , E ₆ , E ₇ и E ₈ соответственно. Другие группы, которые были бы бесконечными без отношения паука, кратко описаны ниже:

Название Y-группы	Группа создана
Д ₂₂₂	$3^{5}:O_{5}(3):2$
Д ₂₂₃	$O_{7}(3)\times 2$
Д ₂₂₄	$O_{8}^{+}(3):2$ ^{[примечание 1]}
Д ₁₃₃	$2^{7}:(O_{7}(2)\times 2)$ ^{[примечание 2]}
Д ₁₃₄	$O_{9}(2)\times 2$ ^{[примечание 2]}
Д ₁₄₄	$O_{10}^{-}(2):2$ ^{[примечание 2]}
Д ₂₃₃	$2\times 2Fi_{22}$
Д ₂₃₄	$2\times Fi_{23}$
Д ₂₄₄	$3.Fi_{24}$
Д ₃₃₃	$2\times 2^{2}.^{2}E_{6}(2)$
Д ₃₃₄	$2\times 2.\mathbb {B}$
Д ₃₄₄	$2\times \mathbb {M}$
Д ₄₄₄	$\mathbb {M} \wr 2$ ^{[примечание 3]}

^ Это группа, полученная при реализации Y ₂₂₄ как подгруппы более крупной Y-группы. Однако если мы просто присоединим отношение паука к группе Кокстера, мы получим двойное накрытие $2.O_{8}^{+}(3):2$ .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Отношение паука может быть определено напрямую только в том случае, если диаграмма имеет как минимум 2 узла во всех 3 направлениях. Однако можно определить отношение паука для более крупной группы, а затем рассмотреть подгруппу, созданную меньшим количеством узлов.
^ Как упоминалось ранее, 3 крайних узла Y ₅₅₅ являются избыточными, поэтому Y ₄₄₄ достаточно для создания бимонстра.

См. также

Триальность - простая группа Ли D ₄ , Y ₁₁₁
Аффинный E_6 Y ₂₂₂

Ссылки

Басак, Татхагата (2007), «Комплексная лоренцева решетка Лича и бимонстр», Journal of Algebra , 309 (1): 32–56, arXiv : math/0508228 , doi : 10.1016/j.jalgebra.2006.05.033 , MR 2301231 , S2CID 125231322 .
Иванов А.А. (1999), «Y-группы посредством транзитивного расширения», Journal of Algebra , 218 (1): 142–435, doi : 10.1006/jabr.1999.7882 .
Конвей, Джон Х .; Нортон, Саймон П .; Сойчер, Леонард Х. (1988), «Бимонстр, группа Y ₅₅₅ и проективная плоскость порядка 3», Компьютеры в алгебре (Чикаго, Иллинойс, 1985) , Конспекты лекций по чистой и прикладной математике, том. 111, Нью-Йорк: Деккер, стр. 27–50, MR 1060755 .
Конвей, Дж. Х. ; Притчард, А.Д. (1992), «Гиперболические отражения для Бимонстра и 3Fi ₂₄ », Группы, комбинаторика и геометрия (Дарем, 1990) , London Math. Соц. Лекции. Сер., вып. 165, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. 24–45, номер документа : 10.1017/CBO9780511629259.006 , MR 1200248 .
Конвей, Джон Х .; Саймонс, Кристофер С. (2001), «26 подразумевает бимонстра», Journal of Algebra , 235 (2): 805–814, doi : 10.1006/jabr.2000.8494 , MR 1805481 .
Саймонс, Кристофер Смит (1997), Группы гиперболического отражения, полностью воспроизводимые функции, Монстр и Бимонстр , доктор философии. диссертация, Принстонский университет, факультет математики, ISBN 978-0591-50546-7 , МР 2696217 .
Сойчер, Леонард Х. (1989), «От монстра к бимонстру», Journal of Algebra , 121 (2): 275–280, doi : 10.1016/0021-8693(89)90064-1 , MR 0992763 .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Бимонстр» . Математический мир . ( Примечание: здесь неправильно названо как [3 ^6,6,6] )

Эта теории групп статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Это группа, полученная при реализации Y ₂₂₄ как подгруппы более крупной Y-группы. Однако если мы просто присоединим отношение паука к группе Кокстера, мы получим двойное накрытие $2.O_{8}^{+}(3):2$ .

[ghost-spider-2] Jump up to: ^а ^б ^с Отношение паука может быть определено напрямую только в том случае, если диаграмма имеет как минимум 2 узла во всех 3 направлениях. Однако можно определить отношение паука для более крупной группы, а затем рассмотреть подгруппу, созданную меньшим количеством узлов.

[3] Как упоминалось ранее, 3 крайних узла Y ₅₅₅ являются избыточными, поэтому Y ₄₄₄ достаточно для создания бимонстра.

[примечание 1]

[примечание 2]

[примечание 3]