Пограничный слой Блазиуса

В физике и механике жидкости пограничный слой Блазиуса (названный в честь Пауля Ричарда Генриха Блазиуса ) описывает устойчивый двумерный ламинарный пограничный слой , который образуется на полубесконечной пластине, которая удерживается параллельно постоянному однонаправленному потоку. Позже Фолкнер и Скан обобщили решение Блазиуса на клиновое течение ( пограничный слой Фолкнера – Скана ), то есть течения, в которых пластина не параллельна потоку.

Уравнения пограничного слоя Прандтля

Схематическая диаграмма профиля потока Блазиуса. Продольная составляющая скорости $u(\eta )/U$ показано как функция переменной сходства $\eta$.

Используя аргументы масштабирования, Людвиг Прандтль утверждал, что около половины членов в уравнениях Навье-Стокса пренебрежимо малы в течениях в пограничном слое (за исключением небольшой области вблизи передней кромки пластины). Это приводит к сокращенному набору уравнений, известных как уравнения пограничного слоя . Для устойчивого несжимаемого потока с постоянной вязкостью и плотностью они гласят:

• Массовая непрерывность: ${\dfrac {\partial u}{\partial x}}+{\dfrac {\partial v}{\partial y}}=0$
• $x$-Импульс: $u{\dfrac {\partial u}{\partial x}}+v{\dfrac {\partial u}{\partial y}}=-{\dfrac {1}{\rho }}{\dfrac {\partial p}{\partial x}}+{\nu }{\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}$
• $y$-Импульс: $0=-{\dfrac {\partial p}{\partial y}}$

Здесь система координат выбрана с $x$ направлен параллельно пластине по направлению потока и $y$ координата, указывающая нормаль к пластине, $u$ и $v$ являются $x$ и $y$ компоненты скорости, $p$ это давление , $\rho$ плотность ​ и $\nu$ – кинематическая вязкость .

Ряд решений подобия этой системы уравнений был найден для различных типов течения, в том числе для течения на тонкой плоской пластине. Термин «сходство» относится к тому свойству, что профили скорости в разных положениях потока одинаковы, за исключением масштабных коэффициентов. Масштабные коэффициенты подобия сводят набор уравнений в частных производных к относительно легко решаемому набору нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Пол Рихард Генрих Блазиус , один из учеников Прандтля разработал модель подобия, соответствующую течению для случая, когда градиент давления ${\partial p}$/ ${\partial x}$вдоль тонкой плоской пластины пренебрежимо мал по сравнению с любым градиентом давления в области пограничного слоя.

Уравнение Блазиуса - пограничный слой первого порядка

Блазиус показал, что для случая, когда ${\partial p}/{\partial x}=0$, Прандтль $x$Уравнение -импульса имеет автомодельное решение. Автомодельное решение существует, поскольку уравнения и граничные условия инвариантны относительно преобразования

$$x\rightarrow c^{2}x,\quad y\rightarrow cy,\quad u\rightarrow u,\quad v\rightarrow {\frac {v}{c}}$$

где $c$ — любая положительная константа. Он ввел самоподобные переменные

Разработка пограничного слоя Блазиуса (не в масштабе). Профиль скорости $f'$ отображается красным цветом в выбранных позициях на пластине. Синие линии представляют сверху вниз линию скорости набегающего потока 99% ( $\delta _{99\%},\eta \approx 5.29$), толщина смещения ( $\delta _{*},\eta \approx 1.79$) и $\delta (x)$ ( $\eta =1.51$). см . в разделе «Толщина пограничного слоя» . Более подробное объяснение

$$\eta ={\dfrac {y}{\delta (x)}}=y{\sqrt {\dfrac {U}{\nu x}}},\quad \psi ={\sqrt {\nu Ux}}f(\eta )$$

где ${\textstyle \delta (x)\propto {\sqrt {\nu x/U}}}$ – толщина пограничного слоя , $U$ - скорость набегающего потока, а $\psi$ — это функция потока . Функция потока прямо пропорциональна нормализованной функции: $f(\eta )$, которая является только функцией переменной толщины подобия. Это приводит непосредственно к компонентам скорости:

$$u(x,y)={\dfrac {\partial \psi }{\partial y}}=Uf'(\eta ),\quad v(x,y)=-{\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\dfrac {\nu U}{x}}}[\eta f'(\eta )-f(\eta )]$$

Где штрих обозначает вывод по отношению к $\eta$.Замена в $x$уравнение -импульса дает уравнение Блазиуса

$$2f^{(3)}+f''f=0$$

Граничными условиями являются условие прилипания , непроницаемость стенки и скорость набегающего потока вне пограничного слоя.

$${\begin{aligned}u(x,0)&=0&\rightarrow &&f'(0)&=0\\v(x,0)&=0&\rightarrow &&f(0)&=0\\u(x,\infty )&=U&\rightarrow &&f'(\infty )&=1\end{aligned}}$$

Это нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка , которое можно решить численно, например, методом стрельбы .

С решением для $f$ и его производные, Прандтль $y$Уравнение -импульса можно обезразмерить и переставить, чтобы получить $y$- градиент давления, ${\partial p}$/ ${\partial y}$, как

$${\frac {x^{2}}{U^{2}\delta ^{*}}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial P}{\partial y}}\quad =\quad {\frac {1}{2}}\eta f^{(3)}\;+\;{\frac {1}{2}}f''\;-\;{\frac {1}{4}}ff'\;+\;{\frac {1}{4}}\eta f'^{2}\;+\;{\frac {1}{4}}\eta ff''\quad ,$$где $\delta ^{*}$ – толщина смещения Блазиуса.

Нормальная скорость Блазиуса $v(x,y)$ и $y$-асимптоты градиента давления до значений 0,86 и 0,43 соответственно в целом $\eta$-значения, тогда как $u(x,y)$ асимптоты скорости набегающего потока $U$. Как $\eta$ стремится к нулю, масштабируемое $y$- Градиент давления достигает 0,16603.

Схематическое изображение масштабированных скоростей и $y$-градиент давления для потока в пограничном слое Блазиуса в зависимости от масштабированной нормальной высоты над стенкой, $\eta$. Красная линия — масштабированная скорость Блазиуса. $u(x,y)/U$, зеленая линия — Блазиус ${\textstyle v(x,y)/{\sqrt {\nu U/x}}}$ и синяя линия — это Блазиус ${\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dy}}/{\sqrt {\nu U^{3}/x^{3}}}$.

Предельная форма для малых $\eta \ll 1$ является

$$f(\eta )={\frac {1}{2}}\alpha \eta ^{2}+O(\eta ^{5}),\qquad \alpha =0.332057336215196$$

и предельная форма для больших $\eta \gg 1$ является

$$f(\eta )=\eta -\beta +O\left((\eta -\beta )^{-2}e^{-{\frac {1}{2}}(\eta -\beta )^{2}}\right),\qquad \beta =1.7207876575205$$

Характерными параметрами пограничных слоев являются двухсигма вязкая толщина пограничного слоя: $\delta _{v}$, толщина смещения $\delta ^{*}$, толщина импульса $\theta$ стенки , напряжение сдвига $\tau _{w}$ и сила сопротивления $F$ действующий на длину $l$ пластины. Для решения Блазиуса они имеют вид $${\begin{aligned}\delta _{99}&\approx \delta _{v}=5.29{\sqrt {\frac {\nu x}{U}}}\\[1ex]\delta ^{*}&=\delta _{1}=\int _{0}^{\infty }\left(1-{\frac {u}{U}}\right)dy=1.72{\sqrt {\frac {\nu x}{U}}}\\[1ex]\theta &=\delta _{2}=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{U}}\left(1-{\frac {u}{U}}\right)dy=0.665{\sqrt {\frac {\nu x}{U}}}\\[1ex]\tau _{w}&=\mu \left.{\frac {\partial u}{\partial y}}\right|_{y=0}=0.332{\sqrt {\frac {\rho \mu U^{3}}{x}}}\\[1ex]F&=2\int _{0}^{l}\tau _{w}dx=1.328{\sqrt {\rho \mu lU^{3}}}\end{aligned}}$$

Фактор $2$ В формуле силы сопротивления необходимо учитывать обе стороны пластины.

Интеграл фон Кармана по импульсу и интеграл энергии для профиля Блазиуса сводятся к

$${\begin{aligned}{\frac {\tau _{w}}{\rho U^{2}}}&={\frac {\partial \delta _{2}}{\partial x}}+{\frac {v_{w}}{U}}\\{\frac {2\varepsilon }{\rho U^{3}}}&={\frac {\partial \delta _{3}}{\partial x}}+{\frac {v_{w}}{U}}\end{aligned}}$$

где $\tau _{w}$ напряжение сдвига стенки, $v_{w}$ - скорость впрыска/всасывания стенки, $\varepsilon$ - скорость диссипации энергии, $\delta _{2}$ - толщина импульса и $\delta _{3}$ – энергетическая толщина.

Уникальность решения Blasius

Решение Блазиуса не уникально с математической точки зрения. как Людвиг Прандтль это отметил сам в своей теореме о транспозиции и проанализировал ряд исследователей, таких как Кейт Стюартсон , Пол А. Либби . К этому решению можно добавить любую из бесконечного дискретного набора собственных функций, каждая из которых удовлетворяет линейно возмущенному уравнению с однородными условиями и экспоненциальным затуханием на бесконечности. Первая из этих собственных функций оказывается $x$ производная от решения Блазиуса первого порядка, которая представляет собой неопределенность в эффективном местоположении начала координат.

Пограничный слой второго порядка

Это приближение пограничного слоя предсказывает ненулевую вертикальную скорость вдали от стенки, которую необходимо учитывать во внешнем невязком слое следующего порядка и соответствующем решении внутреннего пограничного слоя, которое, в свою очередь, будет прогнозировать новую вертикальную скорость и так далее. Вертикальная скорость на бесконечности для задачи пограничного слоя первого порядка из уравнения Блазиуса равна

$$v=0.86{\sqrt {\frac {\nu U}{x}}}$$

Решение для пограничного слоя второго порядка равно нулю. Решение для внешнего невязкого и внутреннего пограничного слоя:

$$\psi (x,y)\sim {\begin{cases}y-{\sqrt {\frac {\nu }{Ux}}}\beta \ \Re {\sqrt {x+iy}},&{\text{outer }}\\{\sqrt {\nu Ux}}f(\eta )+0,&{\text{inner}}\end{cases}}$$

Опять же, как и в краевой задаче первого порядка, к этому решению можно добавить любое из бесконечного множества собственных решений. Во всех решениях $Re=Ux/\nu$ можно рассматривать как число Рейнольдса .

Пограничный слой третьего порядка

Поскольку внутренняя проблема второго порядка равна нулю, соответствующие поправки к проблеме третьего порядка равны нулю, т.е. внешняя проблема третьего порядка такая же, как и внешняя проблема второго порядка. Решение для поправки третьего порядка не имеет точного выражения, но расширение внутреннего пограничного слоя имеет вид

$$\psi (x,y)\sim {\sqrt {2\nu Ux}}f(\eta )+0+\left({\frac {\nu }{Ux}}\right)^{3/2}\left[\log \left({\frac {Ux}{\nu }}\right){\sqrt {\frac {x}{2}}}f_{32}(\eta )+{\frac {1}{\sqrt {2x}}}f_{31}(\eta )\right]+\cdot \cdot \cdot$$

где $f_{32}$ является первым собственным решением решения пограничного слоя первого порядка (которое $x$ производная решения Блазиуса первого порядка) и решение для $f_{31}$ неединственна, и проблема остается с неопределенной константой.

Пограничный слой Блазиуса с отсосом

Отсасывание является одним из распространенных методов замедления отрыва пограничного слоя. Рассмотрим равномерную скорость всасывания у стены $v(0)=-V$. Брайан Туэйтс показал, что решение этой проблемы такое же, как решение Блазиуса без отсоса, для расстояний, очень близких к передней кромке. Представляем трансформацию

$$\psi ={\sqrt {2U\nu x}}f(\xi ,\eta ),\quad \xi =V{\sqrt {\frac {x}{2U\nu }}},\quad \eta ={\sqrt {\frac {U}{2\nu x}}}y$$

в уравнения пограничного слоя приводит к

$$u=U{\frac {\partial f}{\partial \eta }},\quad v=-{\sqrt {\frac {U\nu }{2x}}}\left(f+\xi {\frac {\partial f}{\partial \xi }}-\eta {\frac {\partial f}{\partial \eta }}\right),$$$${\frac {\partial ^{3}f}{\partial \eta ^{3}}}+f{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \eta ^{2}}}+\xi \left({\frac {\partial f}{\partial \xi }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \eta ^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \xi \partial \eta }}{\frac {\partial f}{\partial \eta }}\right)=0$$

с граничными условиями,

$$f(\xi ,0)=\xi ,\quad {\frac {\partial f}{\partial \eta }}(\xi ,0)=0,\quad {\frac {\partial f}{\partial \eta }}(\xi ,\infty )=0.$$

Преобразование фон Мизеса

Иглиш получил полное численное решение в 1944 году. Если дальнейшее Мизеса преобразование представлен

$$\sigma =2\xi ,\quad \psi -Vx={\frac {U\nu }{2V}}\sigma \tau ^{2},\quad \phi ={\frac {4u^{2}}{U^{2}}},\quad \chi =U^{2}-u^{2}=U^{2}\left(1-{\frac {V}{4}}\right),$$

тогда уравнения примут вид

$${\sqrt {\phi }}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \tau ^{2}}}+\left(2\sigma \tau +\tau ^{3}-{\frac {\sqrt {\phi }}{\tau }}\right){\frac {\partial \phi }{\partial \tau }}=2\sigma \tau ^{2}{\frac {\partial \phi }{\partial \sigma }}$$

с граничными условиями,

$$\phi (0,\tau )=4,\quad \phi (\sigma ,0)=0,\quad \phi (\sigma ,\infty )=4.$$

Это параболическое уравнение в частных производных можно построить, начиная с $\sigma =0$ численно.

Асимптотический профиль всасывания

Поскольку конвекция из-за всасывания и диффузия из-за твердой стенки действуют в противоположном направлении, профиль достигнет устойчивого решения на большом расстоянии, в отличие от профиля Блазиуса, где пограничный слой растет бесконечно. Решение было впервые получено Гриффитом и Ф.В. Мередитом . Для расстояний от передней кромки пластины $x\gg \nu U/V^{2}$, как толщина пограничного слоя, так и решение не зависят от $x$ данный

$$\delta ={\frac {\nu }{V}},\quad u=U(1-e^{-yV/\nu }),\quad v=-V.$$

Стюартсон исследовали соответствие полного решения асимптотическому профилю отсасывания.

Сжимаемый пограничный слой Блазиуса

Здесь пограничный слой Блазиуса с заданной удельной энтальпией $h$ у стены изучается. Плотность ​ $\rho$, вязкость $\mu$ и теплопроводность $\kappa$ здесь уже не постоянны. Уравнение сохранения массы, импульса и энергии принимает вид

$${\begin{aligned}{\frac {\partial (\rho u)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\rho v)}{\partial y}}&=0,\\\rho \left(u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)&={\frac {\partial }{\partial y}}\left(\mu {\frac {\partial u}{\partial y}}\right),\\\rho \left(u{\frac {\partial h}{\partial x}}+v{\frac {\partial h}{\partial y}}\right)&={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\mu }{Pr}}{\frac {\partial h}{\partial y}}\right)+\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}\end{aligned}}$$

где $Pr=c_{p_{\infty }}\mu _{\infty }/\kappa _{\infty }$ это число Прандтля с суффиксом $\infty$ представляющие свойства, оцениваемые на бесконечности. Граничные условия становятся

$$u=v=h-h_{w}(x)=0\ {\text{for}}\ y=0,$$$$u-U=h-h_{\infty }=0\ {\text{for}}\ y=\infty \ {\text{or}}\ x=0.$$

В отличие от несжимаемого пограничного слоя решение подобия существует только при условии преобразования

$$x\rightarrow c^{2}x,\quad y\rightarrow cy,\quad u\rightarrow u,\quad v\rightarrow {\frac {v}{c}},\quad h\rightarrow h,\quad \rho \rightarrow \rho ,\quad \mu \rightarrow \mu$$

имеет место, и это возможно только в том случае, если $h_{w}={\text{constant}}$.

Преобразование Говарта

Сжимаемый пограничный слой Блазиуса

Введение самоподобных переменных с помощью преобразования Ховарта – Дородницына.

$$\eta ={\sqrt {\frac {U}{2\nu _{\infty }x}}}\int _{0}^{y}{\frac {\rho }{\rho _{\infty }}}dy,\quad f(\eta )={\frac {\psi }{\sqrt {2\nu _{\infty }Ux}}},\quad {\tilde {h}}(\eta )={\frac {h}{h_{\infty }}},\quad {\tilde {h}}_{w}={\frac {h_{w}}{h_{\infty }}},\quad {\tilde {\rho }}={\frac {\rho }{\rho _{\infty }}},\quad {\tilde {\mu }}={\frac {\mu }{\mu _{\infty }}}$$

уравнения сводятся к $${\begin{aligned}2({\tilde {\rho }}{\tilde {\mu }}f'')'+ff''=0,\\({\tilde {\rho }}{\tilde {\mu }}{\tilde {h}}')'+Prf{\tilde {h}}'+Pr(\gamma -1)M^{2}{\tilde {\rho }}{\tilde {\mu }}f''^{2}=0\end{aligned}}$$где $\gamma$ - удельная теплоемкость и $M=U/c_{\infty }$ – число Маха , где $c_{\infty }$ это скорость звука . Уравнение можно решить один раз ${\tilde {\rho }}={\tilde {\rho }}({\tilde {h}}),\ {\tilde {\mu }}={\tilde {\mu }}({\tilde {h}})$ указаны. Граничные условия:

$$f(0)=f'(0)=\theta (0)-{\tilde {h}}_{w}=f'(\infty )-1={\tilde {h}}(\infty )-1=0.$$

Обычно используемые выражения для воздуха: $\gamma =1.4,\ Pr=0.7,\ {\tilde {\rho }}={\tilde {h}}^{-1},\ {\tilde {\mu }}={\tilde {h}}^{2/3}$. Если $c_{p}$ постоянно, то ${\tilde {h}}={\tilde {\theta }}=T/T_{\infty }$. Температура внутри пограничного слоя будет увеличиваться, даже если температура пластины поддерживается на том же уровне, что и температура окружающей среды, из-за диссипативного нагрева и, конечно, эти эффекты диссипации проявляются только тогда, когда число Маха $M$ большой.

Пограничный слой Блазиуса первого порядка в параболических координатах

Поскольку уравнения пограничного слоя представляют собой параболические уравнения в частных производных , естественными координатами задачи являются параболические координаты . Преобразование из декартовых координат $(x,y)$ в параболические координаты $(\xi ,\eta )$ дается

$$x+iy={\tfrac {1}{2}}(\xi +i\eta )^{2},\quad x={\tfrac {1}{2}}(\xi ^{2}-\eta ^{2}),\quad y=\xi \eta .$$

См. также

• Пограничный слой Фолкнера – Скана
• Проблема Эммонса

Внешние ссылки

• [1] — английский перевод оригинальной статьи Блазиуса — Технический меморандум NACA 1256.

Ссылки

• Парланж, JY; Брэддок, Род.; Сандер, Г. (1981). «Аналитические приближения к решению уравнения Блазиуса». Акта Мех . 38 (1–2): 119–125. Бибкод : 1981AcMec..38..119P . дои : 10.1007/BF01351467 . S2CID   122114667 .
• Позрикидис, К. (1998). Введение в теоретическую и вычислительную гидродинамику . Оксфорд. ISBN  978-0-19-509320-9 .
• Шлихтинг, Х. (2004). Теория пограничного слоя . Спрингер. ISBN  978-3-540-66270-9 .
• Уилкокс, Дэвид К. Базовая механика жидкостей DCW Industries Inc., 2007 г.
• Бойд, Джон П. (1999), «Функция Блазиуса в комплексной плоскости» , Experimental Mathematics , 8 (4): 381–394, doi : 10.1080/10586458.1999.10504626 , ISSN   1058-6458 , MR   1737233